3.2.2 第1课时 函数的奇偶性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

3.2.2　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义，培养数学抽象核心素养. 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题，培养直观想象和数学运算核心素养. 知识点　函数的奇偶性 1.偶函数 (1)定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数. (2)图象特征：图象关于y轴对称. 2.奇函数 (1)定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数. (2)图象特征：图象关于原点对称. [点拨]　关于奇偶函数的两点说明 (1)奇偶函数定义的等价形式. 奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0. 学生用书⬇第65页 (2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称. 一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数.例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称. (　　) (2)奇函数的图象一定过原点. (　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数. (　　) (4)若对于定义域内的任意一个x，都有函数f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.下列函数是偶函数的是(　　) A.y＝2x2－3 B.y＝x3 C.y＝x2，x∈[0，1] D.y＝x 答案：A 解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A. 3.已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值是(　　) A.0 B.－1 C.1 D.2 答案：A 解析：f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，则f(a)＋f(－a)＝0. 4.下列图象表示的函数是奇函数的是　　　　，是偶函数的是　　　　(填序号). 答案：②④　①③ 解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数. 探究点一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝｜x－2｜＋｜x＋2｜； (3)f(x)＝ 解：(1)由1－x2≥0，得－1≤x≤1， 又｜x＋2｜－2≠0，所以x≠0，且x≠－4，因此函数f(x)的定义域为D＝{x｜－1≤x≤1，且x≠0}， 所以函数f(x)的定义域关于原点对称，且x＋2＞0， 所以f(x)＝＝， 于是任取x∈D，都有f(－x)＝ ＝－＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数. (2)函数f(x)＝｜x－2｜＋｜x＋2｜的定义域为实数集R，关于原点对称. 因为f(－x)＝｜－x－2｜＋｜－x＋2｜＝｜x＋2｜＋｜x－2｜＝｜x－2｜＋｜x＋2｜＝f(x)，所以函数f(x)＝｜x－2｜＋｜x＋2｜是偶函数. (3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.任取x∈D， 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－＝＝f(x)； 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝＝－＝f(x). 综上可知，函数f(x)＝是偶函数. 判断函数奇偶性的两种方法 1.定义法 2.图象法 [注意]　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 对点练1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝｜x＋1｜－｜x－1｜； 学生用书⬇第66页 (3)f(x)＝. 解：(1)因为x∈R，关于原点对称， 又因为f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数. (2)因为x∈R，关于原点对称， 又因为f(－x)＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜ ＝｜x－1｜－｜x＋1｜＝－(｜x＋1｜－｜x－1｜) ＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称， 又因为f(－x)＝＝－＝－f(x). 所以f(x)为奇函数. 探究点二　奇、偶函数的图象及应用 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使y＝f(x)＜0的x的取值范围. 解：(1)由题意补全函数图象如图： (2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞). (3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值范围为(－2，0)∪(0，2). 1.巧用奇、偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性； (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的图象； (3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(－∞，0](或[0，＋∞))上的图象. 2.奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)应用类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察. 对点练2.已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示. (1)补全函数f(x)的图象； (2)写出使f(x)＜0的x的取值集合； (3)写出函数f(x)的最值. 解：(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可得使f(x)＜0的x的取值集合为{x｜－2＜x＜0，或2＜x＜5}. (3)由图象可知f(x)的最大值为2，最小值为－2. 探究点三　利用函数的奇偶性求参数 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝　　 　　，b＝　　　　. (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝　　　　　　. 答案：(1)　0　(2)0 解析：(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝. 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. 利用奇偶性求参数的常见类型 1.定义域含参数：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数. 2.解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解. 对点练3.若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A. B. C. D.1 答案：A 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)， 所以＝，所以1＋a＝3(1－a)， 解得a＝，经检验符合，故选A. 学生用书⬇第67页 1.(多选)下列说法不正确的是(　　) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0 C.奇函数y＝f(x)的图象一定过原点 D.图象过原点的奇函数必是单调函数 答案：ACD 解析：A项，若定义域不包含0，则图象与y轴不相交；C项，若定义域不包含0，则图象不过原点；D项，奇函数不一定是单调函数.故选ACD. 2.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为　　　　. 答案：－2 解析：f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2. 3.已知函数f(x)＝为奇函数，则a－b＝　　　　. 答案：－2 解析：由题意知经检验，当a＝－1，b＝1时，f(x)为奇函数，故a－b＝－2. 4.已知函数f(x)＝x＋(a＞0). (1)若f(1)＝3，求a的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明. 解：(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3， 所以a＝2＞0满足题意. (2)函数f(x)为奇函数，证明如下： 函数f(x)＝x＋(a＞0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称. 又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数. 课时分层评价18　函数的奇偶性 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)＝x3－ B.f(x)＝ C.f(x)＝(x－1) D.f(x)＝｜2x＋5｜＋｜2x－5｜ 答案：D 解析：在选项A中，f(x)＝x3－(x≠0)， f(－x)＝－x3＋，f(－x)＝－f(x)，是奇函数；在选项B中，f(x)＝＝(－1≤x≤1，x≠0)，f(－x)＝， f(－x)＝－f(x)，是奇函数；在选项C中，f(x)＝(x－1) (－1≤x＜1)，是非奇非偶函数；在选项D中，f(x)＝｜2x＋5｜＋｜2x－5｜(x∈R)， f(－x)＝｜－2x＋5｜＋｜－2x－5｜＝｜2x＋5｜＋｜2x－5｜， f(x)＝f(－x)，是偶函数，故选D. 2.已知f(x)是奇函数，当x∈时，f(x)＝x2－x，则f＝(　　 ) A.2 B.－2 C.4 D.－4 答案：B 解析：因为f(x)是奇函数， 所以f＝－f＝－＝－2.故选B. 3.奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　) A.f(2)＞0＞f(4) B.f(2)＜0＜f(4) C.f(2)＞f(4)＞0 D.f(2)＜f(4)＜0 答案：A 解析：由题意可知，函数的图象如图： 可知f(2)＞0＞f(4). 4.若奇函数f(x)在x∈(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　) A.最大值－　 B.最大值 C.最小值－　 D.最小值 答案：B 解析：方法一(奇函数的图象特征)：当x＜0时，f(x)＝x2＋x＝ － ， 所以f(x)有最小值－ ，因为f(x)是奇函数， 所以当x＞0时，f(x)有最大值. 方法二(直接法)：当x＞0时，－x＜0， 所以f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－ ＋ ， 所以f(x)有最大值. 5.(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是(　　) A.f(x)＋f(－x)＝0 B.f(x)－f(－x)＝2f(x) C.f(x)·f(－x)＜0 D.＝－1 答案：AB 解析：因为f(x)在R上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确；f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确；当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确；当x＝0时，的分母为0，无意义，故D不正确.故选AB. 6.已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(3)等于　　　　. 答案： 解析：因为f(x)为奇函数，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋1＝－f(1)＋1，所以f(1)＝. 令x＝1，得f(3)＝f(1)＋1＝ ＋1＝. 7.已知定义在(－∞，＋∞)的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，若f(2x－1)≥－ ，则x取值范围是　　　　. 答案：[0，1] 解析：因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－ ，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(1)＝－，由f(2x－1)≥－ ，得f(｜2x－1｜)≥ f(1)，即｜2x－1｜≤1，可得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1. 8.奇函数f(x)的定义域为(－1，1)， f(x)在第一象限的图象是圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式f(x)＜x的解集为　　　　. 答案：∪ 解析：因为奇函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(x)在第一象限的图象是圆心在原点，半径为1的圆弧，所以函数f(x)的图象如图所示， 当f(x)＝x时，解得x＝或x＝－， 由图知，不等式f(x)＜x的解集为∪. 9.(10分)已知函数f(x)＝为奇函数. (1)求f(2)和实数a的值； (2)求方程f(x)＝f(2)的解. 解：(1)设x＞0，则－x＜0. 当x≤0时，f(x)＝－x2－4x， 则f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x， 因为f(－x)＝－f(x)＝－x2＋4x， 所以f(x)＝x2－4x＝x2＋ax， 所以a＝－4，则f(2)＝－4. (2)原方程等价于 解得x＝2或x＝－2－2. 10.(10分)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式； (2)若实数t满足f(2t－1)＋f(t－1)＜0，求实数t的范围. 解：(1)函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数， 所以f(0)＝0，所以b＝0， 又f(1)＝，a＝1， 所以f(x)＝. (2)由f(x)＝， 设－1＜x1＜x2＜1，则x2－x1＞0， 于是f(x2)－f(x1)＝－ ＝， 又因为－1＜x1＜x2＜1， 则1－x1x2＞0，＋1＞0，＋1＞0 所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)， 所以f(x)在(－1，1)上单调递增， 又因为f(2t－1)＋f(t－1)＜0， 所以f(2t－1)＜－f(t－1)， 又由函数在(－1，1)上是奇函数， 所以f(2t－1)＜f(1－t)， 因为f(x)在(－1，1)上单调递增， 所以解不等式组可得0＜t＜， 综上可得：0＜t＜. (11、12每小题5分，共10分) 11.设函数f(x)的定义域为(－1，1)，且满足： ①x∈(－1，0)时， f(x)＞0； ②f(x)＋f(y)＝f()，x，y∈(－1，1). 则f(x)是　　　　函数(填“奇”或“偶”)，且f(x)在定义域上是　　　　函数(填“增”或“减”). 答案：奇　减 解析：f(x)＋f(y)＝f， 令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，又因为x∈(－1，1)， 所以f(x)为奇函数. 任取x1，x2∈(－1，0)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f， 因为－1＜x1＜x2＜0，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，所以1－x1x2＞0， 所以＜0，因为＋1＝＞0，所以＞－1，所以－1＜＜0， 由条件①得f＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0， 所以f(x)在(－1，0)上是减函数， 又f(x)为奇函数， 在(－1，0)上f(x)＞0， 所以f(x)在(－1，1)上是减函数. 12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则f(x)＝　　　　　　，不等式f(x－2)＞f(x)的解集为　　　　　　. 答案：　 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x， 所以x＜0时，－x＞0， 所以f(－x)＝(－x)2＋5x＝x2＋5x＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2－5x， 故f(x)＝ 因为f(x－2)＞f(x)， ①x－2≥0即x≥2时，(x－2)2－5(x－2)＞x2－5x， 解得x＜ ，此时2≤x＜. ②x＜0时，－(x－2)2－5(x－2)＞－x2－5x， 解得x＞－ ，此时－ ＜x＜0. ③当0≤x＜2时，－(x－2)2－5(x－2)＞x2－5x， 解得－1＜x＜3，此时0≤x＜2. 综上可得－ ＜x＜. 学科网（北京）股份有限公司 $