3.2.1 函数的单调性与最值-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦函数的单调性与最值核心知识点，前承函数基本概念，后续函数性质综合应用。通过定义解析（最值、增减函数）、关键点拨（如“任意”性）、基础辨析题，搭建从概念理解到应用的学习支架，层层递进。 资料以直观想象与数学思维为核心素养导向，借助函数图象分析单调性，通过定义证明（如x³单调性）培养逻辑推理，辨析易错点（如单调区间连接符号）。课中助力教师系统授课，课后学生可通过对点练与分层评价查漏补缺，提升学习效果。

3.2　函数的基本性质 3.2.1　函数的单调性与最值 学习目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解单调性的作用和实际意义，培养直观想象与数学运算核心素养. 3.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，培养数学抽象核心素养；能够借助函数的单调性求函数的最值，培养直观想象核心素养. 知识点一　函数的最值 　设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空子集.如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点. 依照上面，同样可以写出f(x)的最小值和最小值点的定义.最大值和最小值统称为最值. [点拨]　(1)f(a)是f(x)的一个函数值，它是f(x)的值域中的一个元素. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤f(a)(f(x)≥f(a)). 学生用书⬇第61页 知识点二　增函数、减函数的概念 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集. (1)如果对于区间I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增，如图(1)所示； (2)如果对于区间I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减，如图(2)所示. 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间. [点拨]　定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1＜x2； (3)属于同一个单调区间. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性. (　　) (2)任何函数都有最大(小)值. (　　) (3)函数的最大值一定比最小值大. (　　) (4)如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A.y＝｜x｜＋1 B.y＝ C.y＝－ D.y＝x＋ 答案：CD 解析：y＝｜x｜＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x＜0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x＜0)在(－∞，0)上也是增函数，故选CD. 3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　) A.[－3，1]∪[1，4] B.[－5，－3]∪[－1，1] C.[－3，－1]，[1，4] D.[－5，－3]，[－1，1] 答案：C 解析：在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为[－3，－1]，[1，4]. 4.若函数f(x)＝则f(x)的最大值为　　　　. 答案：11 解析：当x∈[1，2]时，f(x)单调递增，其最大值为f(2)＝10；当x∈[－4，1)时，f(x)单调递减，其最大值为f(－4)＝11.故函数f(x)的最大值为11. 探究点一　函数单调性的证明 利用定义证明下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3在R上是增函数； (2)f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数. 证明：(1)任取R上的两个实数x1，x2，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝(x1－x2) ， 因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，又2≥0，≥0，且x1＝x2＝0时等号同时成立， 所以2＋＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)＝x3在R上是增函数. (2)任取[0，＋∞)上的两个实数x1，x2，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 因为0≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，＋＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数. 利用定义证明函数单调性的4个步骤 学生用书⬇第62页 对点练1.已知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)＞0，f(3)＝1.试判断g(x)＝f(x)＋在(0，3]上的单调性，并加以证明. 解：函数g(x)在(0，3]上单调递减. 证明如下： 任取x1，x2∈(0，3]，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2) ＝ － ＝[f(x1)－f(x2)]. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x1)－f(x2)＜0. 又f(x)＞0，f(3)＝1， 所以0＜f(x1)＜f(x2)≤f(3)＝1， 则0＜f(x1)f(x2)＜1，＞1， 即1－＜0， 所以g(x1)－g(x2)＞0，g(x1)＞g(x2). 故g(x)＝f(x)＋在(0，3]上单调递减. 探究点二　求函数的单调区间 求函数y＝－x2＋2｜x｜＋3的单调增区间和单调减区间. 解：y＝－x2＋2｜x｜＋3 ＝ 函数图象如图所示. 由图象可知： 函数在(－∞，－1]，[0，1]上单调递增， 函数在[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减. 所以函数y＝－x2＋2｜x｜＋3的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞). 函数单调区间的两种求法 [注意]　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接. 对点练2.如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，则函数f(x)的单调增区间是　　　　　　. 答案：[－1.5，3]和[5，6] 解析：由图象知单调增区间为[－1.5，3]和[5，6]. 探究点三　函数单调性的应用 角度1　比较函数值的大小 (1)已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(2)，f(π)，f(3)的大小关系是(　　) A.f(π)＞f(2)＞f(3) B.f(3)＞f(π)＞f(2) C.f(2)＞f(3)＞f(π) D.f(π)＞f(3)＞f(2) (2)已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　) A.f(1)＜c＜f(－2) B.c＜f(－2)＜f(1) C.c＞f(1)＞f(－2) D.f(1)＞c＞f(－2) 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且π＞3＞2，所以f(π)＞f(3)＞f(2).故选D. (2)因为二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－2，且开口向上，所以函数在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(1)＞f(0)＞f(－2)，又f(0)＝c，所以f(1)＞c＞f(－2).故选D. 　　利用单调性比较大小，应先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性进行比较. 对点练3.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2(a＞0)，则f(0)，f(－1)的大小关系是(　　) A.f(0)＞f(－1) B.f(0)＝f(－1) C.f(0)＜f(－1) D.f(0)与f(－1)的大小关系不确定 答案：C 解析：f(x)＝ax2－2ax＋2＝a(x－1)2＋2－a，因为a＞0，所以f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，故f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(0)＜f(－1).故C正确.故选C. 角度2　解不等式 已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为　　　　　　　　. 答案： 解析：由题意，得解得1≤x≤2.① 因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，所以x－2＜1－x，解得x＜.　② 由①②得1≤x＜.所以x的取值范围为. 学生用书⬇第63页 利用函数的单调性解不等式的方法 　　在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 对点练4.已知函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有＜0，且f(2－2m)＞f(1＋m)，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意得f(x)在R上单调递减，因为f(2－2m)＞f(1＋m)，所以2－2m＜1＋m，解得m＞.故选A. 角度3　由函数单调性求参数的值(范围) (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　； (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)＞f(5x－6)，则实数x的取值范围为　　　　　　. 答案：(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1) 解析：(1)因为f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.所以实数a的取值范围为(－∞，－4]. (2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)＞f(5x－6)， 所以2x－3＞5x－6，即x＜1. 所以实数x的取值范围为(－∞，1). 已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 1.将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； 2.运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围. 对点练5.若函数f(x)＝，x∈(－∞，－1)是减函数，则实数a的取值范围是　　. 答案：(－∞，－1) 解析：f(x)＝＝a－. 设x1＜x2＜－1， 则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝. 因为函数f(x)，x∈(－∞，－1)是减函数， 所以f(x1)－f(x2)＞0. 因为x1＜x2＜－1， 所以x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0， 所以a＋1＜0，即a＜－1. 故实数a的取值范围是(－∞，－1). 探究点四　函数的最值 已知函数f(x)＝x＋. (1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数； (2)求f(x)在[2，4]上的最值. 解：(1)证明：设对于任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·＝. 因为x2＞x1＞1，所以x1－x2＜0， 又因为x1x2＞1，所以x1x2－1＞0， 故(x1－x2)·＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数. (2)由(1)可知f(x)在[2，4]上是增函数， 所以当x∈[2，4]时，f(2)≤f(x)≤f(4). 又f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝， 所以f(x)在[2，4]上的最大值为，最小值为. 1.图象法求函数最值的一般步骤 2.单调性法求函数的最值 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值为ymin＝f(a)，最大值为ymax＝f(b). (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值为ymin＝f(b)，最大值为ymax＝f(a). 对点练6.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　) A.3，0 B.3，1 C.3，无最小值 D.3，－2 答案：C 解析：观察题中图象可知，图象的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；图象无最低点，即该函数不存在最小值，故选C. 对点练7.已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0，2])有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　) A.4 B.6 C.1 D.2 答案：B 解析：f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1(x∈[0，2])为增函数，所以最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(2)＝8＋a＝6. 学生用书⬇第64页 1.函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是(　　) A.－1，3 B.0，2 C.－1，2 D.3，2 答案：C 解析：当x∈[－2，2]时，由题图可知， x＝－2时，f(x)取最小值为f(－2)＝－1； x＝1时，f(x)取最大值为2.故选C. 2.若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 答案：A 解析：要使f(x)是减函数，需满足： ≤a＜. 3.设函数y＝f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有＞0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是(　　) A.f(－3)＞f(－π) B.f(－3)≥f(－π) C.f(－3)＜f(－π) D.f(－3)≤f(－π) 答案：A 解析：因为＞0，所以当x1＞x2时，f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递增.又－3＞－π，所以f(－3)＞f(－π).故选A. 4.已知函数f(x)＝，x∈[3，5]. (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 解：(1)f(x)是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝， 因为3≤x1＜x2≤5， 所以x1－x2＜0，(x1＋2)(x2＋2)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 所以f(x)在[3，5]上为增函数. (2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数， 则f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝. 课时分层评价17　函数的单调性与最值 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是(　　) A.[－2，0] B.[0，1] C.[－2，1] D.[－1，1] 答案：C 解析：由图可知，函数的增区间是[－2，1].故选C. 2.函数y＝的减区间是(　　) A.[0，＋∞)　 B.(－∞，0] C.(－∞，0)，(0，＋∞)　 D.(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：C 解析：由图象知单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞). 3.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)的是(　　) A.f(x)＝x2　 B.f(x)＝ C.f(x)＝｜x｜　 D.f(x)＝2x＋1 答案：B 解析：由0＜x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数.A选项，f(x)＝x2在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意.B选项，f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，符合题意.C选项，f(x)＝｜x｜在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意.D选项，f(x)＝2x＋1在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意.故选B. 4.若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围为(　　 ) A. B. C. D. 答案：D 解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在上单调递增，满足题意； 当a≠0时，要使f(x)在上单调递增，则满足解得－≤a＜0， 综上，实数a的取值范围为.故选D. 5.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A.＞0 B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 C.若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b) D.＜0 答案：AB 解析：因为f(x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A、B正确，D不正确；C中，若x1＜x2，则f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)，所以C不正确.故选AB. 6.已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上具有单调性，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析：因为函数y＝x2－2ax－3 在区间[1，2]上具有单调性，函数y＝x2－2ax－3的对称轴为x＝a，所以a≤1或a≥2， 故a的取值范围为(－∞，1]∪[2，＋∞). 7.若函数f(x)＝(4－x)·(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝3， 所以解得1＜a≤. 故a的取值范围是. 8.已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域为 ，则a＝　　　　. 答案： 解析：由题意知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)在 上单调递增， 所以解得a＝. 9.(10分)已知函数f(x)＝ (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象； (2)写出此函数的定义域、单调区间及值域(不需要写过程). 解：(1)函数f(x)的图象如图所示： (2)函数f(x)的定义域为R，单调递增区间为(－∞，－3)和(－1，0)，单调递减区间为(－3，－1)和(0，＋∞)，值域为R. 10.(10分)已知函数f(x)＝x＋. (1)判断f(x)在(2，＋∞)上的单调性并用定义证明； (2)求f(x)在[1，4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值. 解：(1)f(x)在(2，＋∞)上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)()，因为x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，故x1－x2＜0，且x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，故f(x)在(2，＋∞)上单调递增. (2)由(1)知，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，同理可证，f(x)在(0，2)上单调递减，故f(x)在[1，2)上单调递减，在[2，4]上单调递增，故f(x)的最小值在x＝2处取到，f(x)min＝f(2)＝2＋2＝4，又f(1)＝1＋4＝5，f(4)＝4＋1＝5，综上：f(x)的最大值为5，对应的x值为1或4，f(x)的最小值为4，对应的x＝2. (11、12每小题5分，共10分) 11.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f(x)＝min{－x－4，x－6}，则f(x)的最大值为(　　) A.－4　 B.－5 C.－6　 D.－10 答案：B 解析：由题意，函数f(x)＝ 当x≥1时，函数f(x)为减函数；当x＜1时，函数f(x)为增函数. 所以当x＝1时，函数f(x)取最大值，最大值为f(1)＝－5. 故选B. 12.已知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是(　　) A.f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b) B.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C.f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b) D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) 答案：B 解析：由a＋b≤0，可得a≤－b且b≤－a，又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≤f(－b)且f(b)≤f(－a)，所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b).故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $