1.2.3 第1课时 含有量词的命题-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦“全称量词和存在量词”核心知识点，系统梳理全称量词、存在量词的定义，全称量词命题与存在量词命题的形式、符号表示及真假判断方法，搭建从命题基本概念到含量词命题的学习支架，为后续命题否定等内容奠定基础。 该资料通过对比表格清晰呈现两类命题的量词、符号及形式，助力学生用数学眼光抽象知识本质。结合具体实例探究命题判断与参数范围问题，培养数学思维的逻辑推理能力，符号化表示规范数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后分层评价帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2.3　全称量词和存在量词 第1课时　含有量词的命题 学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识点　全称量词命题和存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有、任意、每一个等 存在某个、至少有一个等 符号 ∀ ∃ 命题 形式 “对M的任一个元素x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M的某个元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” [点拨]　(1)一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”；一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”. (2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略了的，理解时需把它补充出来；含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“一切”“每一个”“任给”是全称量词. (　　) (2)“有些”“有一个”“有的”是存在量词. (　　) 学生用书⬇第19页 (3)全称量词命题“自然数都是正整数”是真命题. (　　) (4)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题. (　　) (5)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略. (　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2.下列命题是存在量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.所有的质数都是奇数 C.偶数不是质数 D.有的偶数是质数 答案：D 解析：选项D中“有的”是存在量词，所以选项D中的命题是存在量词命题. 3.下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两条边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等. A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：①的含义是“任意平行四边形的对角线都互相平分”，是全称量词命题；②的含义是“任意梯形都有两条边平行”，是全称量词命题；③含有量词“存在”是存在量词命题.故选C. 4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为___________________________. 答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立. 探究点一　全称量词命题与存在量词命题的判断 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题. (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 解：(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃x∈{平行四边形}，但x的对角线不互相垂直. (4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 全称量词命题或存在量词命题的判断 [注意]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略. 对点练1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆； (3)存在一对实数x，y，使2x＋3y＋3＞0成立. 解：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然是全称量词命题. (2)命题中含有存在量词，为存在量词命题. (3)命题中含有存在量词，为存在量词命题. 探究点二　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 指出下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断其真假. (1)对任意实数x，都有x2＋3＞0； (2)存在一个自然数小于1； (3)菱形的对角线相等. 解：(1)全称量词命题.由x2≥0，知x2＋3＞0恒成立，所以命题(1)是真命题. (2)存在量词命题.因为0∈N，且0＜1，所以命题(2)是真命题. (3)全称量词命题.有一个角为60°的菱形的对角线不相等，所以命题(3)是假命题. 学生用书⬇第20页 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 对点练2.判断下列命题的真假，并指出是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (3)存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立； (4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0； (5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2. 解：(1)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示；是全称量词命题. (2)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形；是存在量词命题. (3)是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根；是存在量词命题. (4)是真命题，x＝2或x＝1，都能使x2－3x＋2＝0成立；是存在量词命题. (5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数也成立；是全称量词命题. 探究点三　根据命题的真假求参数范围 (1)已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋2－a＜0为真命题，求实数a的取值范围； (2)已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋2－a＝0为真命题，求实数a的取值范围； (3)已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋2－a＞0为真命题，求实数a的取值范围. 解：(1)因为命题p为真命题，且二次函数y＝x2＋x＋2－a的图象是开口向上的抛物线，因此该抛物线与x轴一定有两个交点，故二次函数对应的方程有两个不相等的实数根，则Δ＝1－4(2－a)＞0，解得a＞. 即实数a的取值范围为. (2)因为p为真命题，因此方程x2＋x＋2－a＝0有实根，则Δ＝1－4(2－a)≥0，解得a≥. 即实数a的取值范围为. (3)方法一：因为p为真命题，则函数y＝x2＋x＋2－a的图象恒在x轴上方，又x2＋x＋2－a＝(x＋)2＋－a，则－a＞0，故a＜. 即实数a的取值范围为. 方法二：由于∀x∈R，x2＋x＋2－a＞0恒成立， 则Δ＝1－4(2－a)＜0，解得a＜. 即实数a的取值范围为. 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 1.含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围. 2.含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决. 对点练3.已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠⌀. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围. 解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠⌀， 所以解得2≤m≤3. (2)由于命题q为真命题，则A∩B≠⌀， 因为B≠⌀，所以m≥2. 所以解得2≤m≤4. 学生用书⬇第21页 1.下列命题中，既是存在量词命题也是假命题的是(　　) A.至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除 B.有些梯形是等腰梯形 C.对任意非零实数x1，x2，若x1＜x2，则＞ D.∃x∈R，x2＋2x＋2＜0 答案：D 解析：对于A，该命题是存在量词命题，因为99既能被11整除，又能被9整除，所以该命题是真命题；对于B，该命题是存在量词命题且是真命题；对于C，该命题是全称量词命题，存在x1＝－1，x2＝1，满足x1＜x2，但，所以该命题是假命题；对于D，该命题是存在量词命题，对于方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝4－8＜0，所以x2＋2x＋2＞0恒成立，故该命题是假命题.故选D. 2.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.∃x0∈Z，＜1 B.存在一个四边形不是平行四边形 C.在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P D.∀x∈N，x2＞0 答案：ABC 解析：A.因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以选项A是真命题；B.梯形不是平行四边形，所以选项B是真命题；C.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知C正确，所以选项C是真命题；D.因为0∈N，02＝0，所以选项D是假命题.故选ABC. 3.已知命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，则实数m的最大值是_________. 答案：5 解析：因为命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，所以m≤2x－1(x≥3)恒成立，所以m≤2×3－1，解得m≤5.故实数m的最大值是5. 4.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假. (1)存在一个实数x，使等式x2－2x＋4＝0成立； (2)每个二次函数的图象都与x轴相交. 解：(1)存在量词命题. 因为x2－2x＋4＝＋3＞0. 所以该命题为假命题. (2)全称量词命题，如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交， 所以该命题为假命题. 课时分层评价6　含有量词的命题 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　) A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B.菱形的两条对角线相等 C.∃x∈R，＝x D.所有的等边三角形都相似 答案：D 解析：A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题.B在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题.故选D. 2.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A.∀x∈Q，有x∈P B.∀x∉Q，有x∉P C.∃x∉Q，使得x∈P D.∃x∈P，使得x∉Q 答案：B 解析：因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，如图， 所以A错误；B正确；C错误；D错误.故选B. 3.下列命题为真命题的是(　　) A.存在x∈Q，使方程x－2＝0有解 B.存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0 C.有些整数只有两个正因数 D.所有的质数都是奇数 答案：C 解析：A.x－2＝0⇔x＝∉Q，故A错误；B.因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以不存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0，故B错误；C.因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；D.2是质数，但2不是奇数，故D错误.故选C. 4.(多选)已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是(　　) A.1 B.0 C.3 D.－3 答案：AC 解析：因为p为真命题，即方程x2＋2x＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4－4(2－a)≥0，即a≥1.即实数a的取值范围为[1，＋∞).因此所有选项中只有AC满足题意.故选AC. 5.(多选)下列命题中为存在量词命题的是(　　) A.有些实数没有倒数 B.矩形都有外接圆 C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D.∃x∈R，x2＋x≤2 答案：ACD 解析：选项A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题.故选ACD. 6.下列命题是全称量词命题的有_________；是存在量词命题的有_________.(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数. 答案：①②③　④ 解析：①中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；②的含义是“任何有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形”，含有全称量词，是全称量词命题；③中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；④中含有存在量词“至少”，是存在量词命题. 7.下列命题： ①存在x＜0，x2－2x－3＝0； ②对一切实数x＜0，都有｜x｜＞x； ③∀x∈R， ＝x； ④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm，其中，所有真命题的序号为_________. 答案：①② 解析：①因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1＜0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题； ②显然为真命题； ③＝｜x｜＝故③为假命题； ④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题. 8.已知命题p：∀1≤x≤2，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2＝0.若p和q都是真命题，则实数a的取值范围为_________. 答案：{a｜a≤－} 解析：若p为真命题，则a≤x2对于1≤x≤2恒成立，所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2＝0有实数根，所以Δ＝4a2－8≥0，则a≥或a≤－.综上，实数a的取值范围为{a｜a≤－}. 9.(10分)用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假. (1)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (2)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (3)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数. 解：(1)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解；假命题. (2)∃x，y∈Z，3x－2y＝10；真命题. (3)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题. 10.(10分)若方程ax2＋3x＋2＝0至多有一个根，求实数a的取值范围. 解：假设方程ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实根， 则 解得a＜且a≠0. 在全集R中， ， 所以满足题意的实数a的取值范围是. 11.(5分)已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2(a＞0)，若∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1｜－1≤y1≤3}，由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2(a＞0)，－1≤x2≤2的取值范围是{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}.因为∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得－2x1＝ax2＋2，所以解得a≥3. 12.(15分)是否存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题. 因为当x≥－时，x＋1≥， 所以－5＜3－4m＜，解得＜m＜2， 又m为整数，所以m＝1， 故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－， －5＜3－4m＜x＋1”是真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $