课时分层作业9 含量词命题的否定（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

课时分层作业(九) A组　基础合格练 1．C　[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C．] 2．B　[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B．] 3．B　[对于(1)，取x＝－1，显然－1<0，故为真命题，其否定为假命题； 对于(2)，存在整数1，既不是合数又不是素数，故为真命题，其否定为假命题； 对于(3)，当3x＋4＝5成立时，x＝∉Z，因而不存在x∈Z，使3x＋4＝5，故为假命题，其否定为真命题．故选B．] 4．AC　[命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题．] 5．ABD　[“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．] 6．∃x∈R，|x|＋x2<0　[全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．] 7．③④　[写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①②是真命题，③④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．] 8．{a|a≥2 025}　[由于命题“∃x<2 025，x>a”是假命题， 因此其否定“∀x<2 025，x≤a”是真命题，所以a≥2 025．] 9．解：一致．因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的取值范围是一致的． 10．解：(1)¬p：∃x∈R，x2<－1，由p是真命题可知¬p是假命题． (2)¬q：∃x∈{1，2，3，4，5}，≥x．将集合中的元素逐个验证，当x＝1时不等式成立，因此¬q是真命题． (3)¬s：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以¬s是假命题． B组　能力过关练 11．D　[由于存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N+，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，∀n∈N+，使得n<x2”．] 12．BD　[对于A，¬p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题． 对于B，¬q：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立． 对于C，¬r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题． 对于D，¬s：存在实数a，使|a|≤0，真命题．] 13．[－8，＋∞)　[当x∈{x|1≤x≤2}时， 因为x2＋2x＝(x＋1)2－1， 所以3≤x2＋2x≤8， 由题意有a＋8≥0，∴a≥－8．] 14．(1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0　(2){a|a≤1}　[(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋a＝0”是存在量词命题，其否定为：∀x∈R，x2＋2x＋a≠0． (2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0， ∴a≤1．] C组　拓广探索练 15．解：由题意知命题p，q是真命题． 由∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3． 由∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1， 因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(九)　含量词命题的否定 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分 一、选择题 1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　 ) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 2．已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 3．下列存在量词命题的否定中真命题的个数是(　　) (1)∃x∈R，x≤0；(2)至少有一个整数，它既不是合数，又不是素数；(3)∃x∈Z，使3x＋4＝5． A．0 B．1 C．2 D．3 4．(多选题)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 5．(多选题)对下列命题的否定说法正确的是(　　) A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∀n∈N，2n≤100；p的否定：∃n∈N，2n>100 二、填空题 6．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________． 7．给出下列四个命题： ①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数． 以上命题的否定为真命题的序号是________． 8．若命题“∃x＜2 025，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 9．某中学开展小组合作学习模式，高二(1)班王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致，为什么？ ＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的取值范围是一致的． 10．(源自人教B版教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∀x∈R，x2≥－1； (2)q：∀x∈{1，2，3，4，5}，<x； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． 11．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定是(　　 ) A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2 12．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|＞0 13．已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________． 14．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0． (1)命题p的否定为：________； (2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． 15．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，¬q为假命题，求实数m的取值范围． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $