北京市海淀区北京十一实验中学2025-2026学年高三上学期12月教与学诊断数学试卷

北京十一实验中学高三年级数学学科12月教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分 客观题（共40分） 一、选择题（共10小题每题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知直线与直线.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ） A. 1 B. C. D. -1 6. 已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 7. 若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是 “平方递推数列” D. 是 “平方递推数列” 8. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 9. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 10. 1638年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.则下列判断正确的是（ ） A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B. 笛卡尔叶形线关于直线对称 C. 当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 第二部分 主观题（共110分） 二、填空题：（共5个小题，每题5分，共25分） 11. 已知两平行直线，，则与间的距离是________. 12. 已知平面向量满足，与的夹角为，则的值______. 13. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________． 14. 如图，函数的图象与坐标轴交于点、、，直线交的图象于点，（坐标原点）为的重心，，则点的坐标为___，___. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知函数． （1）已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； （2）求的单调区间； （3）已知，直接写出函数的零点个数． 17. 已知两定点，，动点P满足，直线． （1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）记动点P的轨迹为曲线E，把曲线E向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线，求直线被曲线截得的最短的弦长； （3）已知点M的坐标为，点N在曲线上运动，求线段MN的中点H的轨迹方程． 18. 从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答. 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，且______. （1）求； （2）求的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 20. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 21. 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 北京十一实验中学高三年级数学学科12月教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分 客观题（共40分） 一、选择题（共10小题每题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】ABD 第二部分 主观题（共110分） 二、填空题：（共5个小题，每题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】35 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①③ 三、解答题（共6小题，共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3）1 【17题答案】 【答案】（1）动点P的轨迹方程是，轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆； （2）； （3）． 【18题答案】 【答案】（1）； （2）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【20题答案】 【答案】（1）增区间为和；减区间为 （2）（i）；（ii） 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）的最大值是，公差为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $