广东省 惠州市惠阳区第一中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025—2026学年第一学期九年级第二次拓展训练数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 6. 二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 向上，直线，(4，5) B. 向上，直线，(﹣4，5) C. 向上，直线，(4，﹣5) D. 向下，直线，(﹣4，5) 7. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. x D. 8. 如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠BOC的大小是( ) A. 126° B. 34° C. 136° D. 68° 9. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 10. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为________． 14. 已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为________． 15. 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，则______． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的． （2）画出与关于原点对称的． 18. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，于D，交弦于点D，若，，求： （1）求的长． （2）阴影部分的面积． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 20. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程． 21. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点，完成以下作图步骤： 连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为； 在x轴上多次改变点的位置，用的方法得到相应的点． （1）小明在图按要求已完成了的作图，并确定了，，的位置，请你帮他完成余下的作图步骤，描出对应的，，，……并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线，猜想：曲线的形状是___________． （2）对于曲线上的任意一点，线段与有什么关系？设点的坐标是，试求出，满足的函数关系式． （3）点坐标为，点是曲线上的一动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图，点，，点为曲线上任意一点，且，直接写出点的纵坐标的取值范围． 2025—2026学年第一学期九年级第二次拓展训练数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】6 【15题答案】 【答案】 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）如图，为求作的图形 （2）如图，为求作的图形 【18题答案】 【答案】（1） （2） 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 【19题答案】 【答案】（1）40 （2）360人 （3） 【20题答案】 【答案】（1）；； （2）（1）中的结论还成立． 理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）定价为45元，利润最大，最大利润是2250元， 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 【22题答案】 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2） 证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3） 【23题答案】 【答案】（1）抛物线； （2），； （3）存在，，； （4）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $