第9讲：导数研究单调性【知识梳理+10个常考题型总结+方法总结】讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数研究单调性专题，围绕函数单调性与导数符号的关联、含参函数讨论、已知单调性求参数等高考核心考点，按“核心概念-易错点-常考结论-题型分类”的逻辑架构组织知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练三个教学环节，帮助学生构建系统的解题框架。 讲义创新采用“题型-策略-分层训练”教学模式，如在“构造新函数”题型中，通过引导学生变形不等式、构造函数、分析单调性的步骤，培养数学思维和逻辑推理能力。设置经典例题与小试牛刀分层练习，配合易错点警示，确保学生高效突破含参讨论、单调区间表示等难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

【第9讲：导数研究单调性】 总览 题型梳理 一、核心概念与公式 核心概念：函数单调性与导数符号的关联——导数符号决定单调性.单调性可反推导数符号范围 基础前提：研究单调性需先明确函数定义域（定义域是结论成立的前提） 核心公式与法则：①基本求导公式（如、、等）；②四则运算法则：、、；③复合函数求导法则：，则 核心定理：若函数在区间内可导，则在上单调递增在上恒成立且不在任一子区间恒为0；在上单调递减在上恒成立且不在任一子区间恒为0 二、高频易错点 忽略定义域优先原则，直接求导分析单调性（如对数、分式函数未先限定定义域） 混淆“（）”与“严格单调递增（递减）”，未排除恒为0的区间 含参函数单调性讨论不全面，遗漏参数为0、判别式等特殊情况 单调区间表示错误，用“”连接不连续区间，或错误取舍区间端点 复合函数求导时链条断裂.导致导函数符号判断错误.进而误判单调性 已知单调性求参数范围时.未验证端点值.导致出现恒为0的无效区间 三、常考结论 若在区间内先正后负，则在内先增后减；若先负后正，则先减后增 复合函数单调性判定：“同增异减”——外层函数与内层函数单调性相同则复合函数递增，相反则递减（需兼顾内外层函数定义域） 单调函数和差性质：①若、均在区间上递增，则在上递增；②若均递减，则在上递减；③若递增、递减，则在上递增 奇函数的单调性关于原点对称（即奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同）；偶函数的单调性关于轴对称（即偶函数在关于轴对称的区间上单调性相反） 周期函数的单调性具有周期性，即若（为周期），则在区间与上单调性一致 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：不含参函数单调性判定】 【解题策略】 1.求定义域 2.求导函数并化简 3.解（增区间）、（减区间），结合筛选 4.规范表述单调区间（不连续用“和”连接） （24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （2026高三·全国·专题练习）函数，的单调递减区间为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·海南·月考）已知函数，且．小试牛刀2 (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． （25-26高三上·上海松江·期中）函数的单调减区间为 ．小试牛刀3 【题型2：含参函数单调性判定】 【解题策略】 1.求定义域（关注参数对定义域影响） 2.求并化为含参最简形式 3.按导函数结构定分类标准（一次型看斜率，二次型看开口、、根大小） 4.分参数范围讨论符号，得对应单调区间 （25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中．经典例题例题 (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； （25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数小试牛刀1 (1)若，讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. （25-26高三上·安徽·期中）已知函数.小试牛刀2 (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，. （25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，．小试牛刀3 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 【题型3：已知单调性求参数范围】 【解题策略】 1.转化条件：增恒成立；减恒成立（区间内） 2.分离参数或构造，转化为参数或恒成立 3.求在上的最值 4.确定参数范围，验证端点（避免恒为0） （25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·月考）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：分段函数单调性判定】 【解题策略】 1.明确分段区间，求各段定义域 2.逐段求导判单调性 3.验证衔接点函数值大小（保证单调性连续） 4.整合得整体单调区间 （25-26高三上·四川·开学考试）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ）经典例题例题 A．0 B．3 C．6 D．8 （24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高三上·山东聊城·月考）若是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：“构造新函数”由单调性求参数范围】 【解题策略】 题型特征：对，不等式形如“”（或“”）。 步骤 操作要点 1.变形构造函数 将不等式整理为“”（或“”）的形式，构造函数； （核心：让不等式两边分别对应和） 2.分析函数单调性 由时与的大小关系，确定在区间上的单调性（增/减） 3.转化为导函数恒成立 根据单调性，列导函数符号条件： -增→在上恒成立； -减→在上恒成立 4.分离参数求最值 将恒成立条件整理为“参数”（或“”），求在上的最值； （若无法分离参数，分类讨论导函数的符号） 5.确定参数范围 由“参数”（或“”），得到参数取值范围 （2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 .经典例题例题 （2025·海南·一模）已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ）小试牛刀1 A． B．e C． D．2e （2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B．1 C． D． （25-26高三上·广东·月考）已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【题型6：单调性与奇偶性/周期性综合】 【解题策略】 1.用奇偶性（奇：；偶：）、周期性（）化简 2.研究一个周期内或对称区间（如）的单调性 3.拓展到整个定义域（奇同偶反，周期重复） 4.整合结论 【多选题】（25-26高三上·宁夏中卫·月考）已知定义域为的函数满足，且是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（   ）经典例题例题 A．函数的最小正周期是4 B．时， C． D．方程恰有10个不同的实数根 （25-26高三上·河南信阳·月考）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽合肥·期中）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，，则（   ）小试牛刀3 A．的图象关于原点对称 B．是的极值点 C．在区间上递减 D．若，则有三个零点 【题型7：单调性与不等式恒成立/能成立综合】 【解题策略】 1.转化条件：①恒成立（，），；②能成立（，） 2.求，判在上单调性 3.求在上最值 4.解参数不等式，验证最值点有效性 （2025高二·全国·专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是 ．经典例题例题 （25-26高三上·河北·期中）若 对任意的恒成立，则a的取值范围是 .小试牛刀1 （25-26高三上·湖南·月考）已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为 .小试牛刀2 （25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【题型8：构造函数题型（单调性应用）】 【解题策略】 核心思路：根据已知条件（如含导数的不等式、函数关系）构造新函数，利用的符号判断的单调性，进而解决问题 常见构造方向：①和差型（如、）；②乘积型（如、）；③分式型（如、） 答题模板： 1.分析已知条件特征.确定构造方向.设出构造函数 2.求，化简后判断其符号（结合已知条件转化推导） 3.由符号得出的单调性 4.利用的单调性求解目标问题（如比较大小、解不等式、求参数范围等） （25-26高三上·江西南昌·期中）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，则的大小关系是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·湖北荆州·月考）已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则下列说法错误的是（   ）小试牛刀1 A． B． C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 （2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：单调性与“整数解”问题】 【解题策略】 题型特征：不等式含参数，要求“无整数解”/“有几个整数解” 步骤 操作要点 1.整理不等式，构造函数 将不等式变形为“（或）”的形式，构造函数 2.分析函数单调性 对求导，确定其单调区间与极值/最值点 3.聚焦整数点的函数值 因要求“无整数解”，需保证所有整数都不满足不等式（即整数点的或） 4.结合单调性列条件 利用函数单调性，将“所有整数点满足条件”转化为最值点（或关键整数点）的函数值满足条件（如本题中最大值点的） 5.验证参数范围 验证所得参数范围下，所有整数点的函数值均符合要求，排除矛盾情况 （25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数（），若关于的不等式无整数解，则的取值范围为 .经典例题例题 （23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 .小试牛刀1 （23-24高三上·辽宁沈阳·开学考试）若关于x的不等式有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 ．小试牛刀2 （22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知不等式恰有1个整数解，则实数a的取值范围为 .小试牛刀3 【题型10：利用单调性比较大小】 【解题策略】 类别1：直接利用单一函数单调性比较大小 适用场景：已知函数解析式.可直接通过导数判断单调性.比较与大小 1.确定的定义域.确保在定义域内 2.求，判断在含的区间上的单调性（增/减） 3.比较与的大小关系 4.由单调性得出结论：增函数→；减函数→ 类别2：构造函数后利用单调性比较大小 适用场景：已知条件为含导数的不等式（如）.无法直接用单一函数单调性 1.根据已知条件特征构造函数（常见：、、等） 2.求，结合已知条件判断的符号.得出的单调性 3.将待比较的表达式转化为与的形式 4.比较与的大小.结合单调性得出与的大小关系.进而得到目标结论 类别3：结合奇偶性+单调性比较大小 适用场景：已知函数为奇函数/偶函数.需比较与（在对称区间） 1.利用奇偶性转化自变量：①奇函数→，可将负自变量转化为正自变量；②偶函数→，可将转化为、转化为 2.求，判断在（或某对称区间）上的单调性 3.比较转化后自变量的大小（如与的大小） （2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025高三上·重庆永川·专题练习），，为三个互异的正数，满足，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·湖南长沙·月考）已知 ,则的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数，，，，则，，的大小关系为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 3．（25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·北京丰台·期中）若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 7．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）函数的图象不可能是（    ） A．     B．   C．   D．   9．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26高三上·河北沧州·月考）设函数在定义域上单调函数，且满足，若不等式对恒成立，则a的取值范围为 . 11．（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数，若，则的最大值为 . 12．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知函数，若对任意的，总存在使得，则的取值范围为 ． 13．（2025高二·全国·专题练习）若，都有，则a的取值范围为 ． 14．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为 . 三、解答题 15．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 16．（25-26高三上·安徽淮北·期中）设函数 (1)时，求函数的最大值. (2)讨论的单调性. (3)当时，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【第9讲：导数研究单调性】 总览 题型梳理 一、核心概念与公式 核心概念：函数单调性与导数符号的关联——导数符号决定单调性.单调性可反推导数符号范围 基础前提：研究单调性需先明确函数定义域（定义域是结论成立的前提） 核心公式与法则：①基本求导公式（如、、等）；②四则运算法则：、、；③复合函数求导法则：，则 核心定理：若函数在区间内可导，则在上单调递增在上恒成立且不在任一子区间恒为0；在上单调递减在上恒成立且不在任一子区间恒为0 二、高频易错点 忽略定义域优先原则，直接求导分析单调性（如对数、分式函数未先限定定义域） 混淆“（）”与“严格单调递增（递减）”，未排除恒为0的区间 含参函数单调性讨论不全面，遗漏参数为0、判别式等特殊情况 单调区间表示错误，用“”连接不连续区间，或错误取舍区间端点 复合函数求导时链条断裂.导致导函数符号判断错误.进而误判单调性 已知单调性求参数范围时.未验证端点值.导致出现恒为0的无效区间 三、常考结论 若在区间内先正后负，则在内先增后减；若先负后正，则先减后增 复合函数单调性判定：“同增异减”——外层函数与内层函数单调性相同则复合函数递增，相反则递减（需兼顾内外层函数定义域） 单调函数和差性质：①若、均在区间上递增，则在上递增；②若均递减，则在上递减；③若递增、递减，则在上递增 奇函数的单调性关于原点对称（即奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同）；偶函数的单调性关于轴对称（即偶函数在关于轴对称的区间上单调性相反） 周期函数的单调性具有周期性，即若（为周期），则在区间与上单调性一致 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：不含参函数单调性判定】 【解题策略】 1.求定义域 2.求导函数并化简 3.解（增区间）、（减区间），结合筛选 4.规范表述单调区间（不连续用“和”连接） （24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. （2026高三·全国·专题练习）函数，的单调递减区间为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】对函数求导，应用导数的区间符号判断函数的单调区间. 【详解】由，，则， 所以，则时，，时，， 所以时，，时，， 所以的单调递减区间为. 故答案为： （25-26高三上·海南·月考）已知函数，且．小试牛刀2 (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）由题意得，解出即可； （2）由（Ⅰ）得，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】（1）由，解得； （2）由（Ⅰ）得， 则， 令，解得，又， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （25-26高三上·上海松江·期中）函数的单调减区间为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 又，令，则，解得， 所以函数的单调减区间为. 故答案为：. 【题型2：含参函数单调性判定】 【解题策略】 1.求定义域（关注参数对定义域影响） 2.求并化为含参最简形式 3.按导函数结构定分类标准（一次型看斜率，二次型看开口、、根大小） 4.分参数范围讨论符号，得对应单调区间 （25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中．经典例题例题 (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． （25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数小试牛刀1 (1)若，讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分、及分别求解即可； （2）将原不等式转化为，按与两种情况讨论，在时，研究不等式在上恒成立，运用导数求出不等式右边对应函数的最小值，可得的最大值，进而求出满足条件a的取值范围． 【详解】（1）对求导， 可得， 令，可得或， ①当时，，在区间上，且， 此时，单调递增； 在区间上，且，故，单调递减； 在区间，且，故，单调递增． ②当时，，此时，在上单调递增． ③当时，，在区间上，且， 故，单调递增； 在区间上，且，故，单调递减； 在区间上，且，故，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）将不等式， 整理为， 即， 当时，不等式左右两边相等，符合题意； 当时，不等式等价于，即， 设， 求导数得， 令， 则， 可知在时单调递增，且， 因此在上成立，可得，在时单调递增． 计算出在时的极限：， 可得在时单调递增且， 故在上恒成立， 因此，解得， 实数a的取值范围是 （25-26高三上·安徽·期中）已知函数.小试牛刀2 (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导可得的解析式，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分析即可得答案. （2）由（1）可得的单调性和最大值，只需证即可，令，利用导数判断的单调性，分析即可得证. 【详解】（1）由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）若，由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上有最大值，只需证明即可. 令，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 由于，所以，即得证， 所以若，当时，. （25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，．小试牛刀3 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． （2），，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． （3）证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 【题型3：已知单调性求参数范围】 【解题策略】 1.转化条件：增恒成立；减恒成立（区间内） 2.分离参数或构造，转化为参数或恒成立 3.求在上的最值 4.确定参数范围，验证端点（避免恒为0） （25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． （25-26高三上·安徽·月考）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可得解. 【详解】因为， 所以， 依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则， 当单调递增，当单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围是. 故选：A （24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案. 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． （24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【题型4：分段函数单调性判定】 【解题策略】 1.明确分段区间，求各段定义域 2.逐段求导判单调性 3.验证衔接点函数值大小（保证单调性连续） 4.整合得整体单调区间 （25-26高三上·四川·开学考试）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ）经典例题例题 A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 当时，，对称轴为，则， 当时，，则， 要使函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，得到. 又因为，即， 综上所述，，，所以 则的最大值为6， 故选：C. （24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得. 【详解】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. （2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． （24-25高三上·山东聊城·月考）若是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数的单调性，利用导数分析易得当时，在上单调递增，因此可得在上恒成立，且，进而求解即可. 【详解】因为， 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 当时，， 由题意知，在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 又由，得到， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于，利用导数分析得当时，的单调性，从而确定在上的单调性，从而得解. 【题型5：“构造新函数”由单调性求参数范围】 【解题策略】 题型特征：对，不等式形如“”（或“”）。 步骤 操作要点 1.变形构造函数 将不等式整理为“”（或“”）的形式，构造函数； （核心：让不等式两边分别对应和） 2.分析函数单调性 由时与的大小关系，确定在区间上的单调性（增/减） 3.转化为导函数恒成立 根据单调性，列导函数符号条件： -增→在上恒成立； -减→在上恒成立 4.分离参数求最值 将恒成立条件整理为“参数”（或“”），求在上的最值； （若无法分离参数，分类讨论导函数的符号） 5.确定参数范围 由“参数”（或“”），得到参数取值范围 （2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 .经典例题例题 【答案】 【分析】由，得，构造函数，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到a的取大值. 【详解】由，得， 则，即， 有，令， 所以，令， 当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为. 故答案为：. （2025·海南·一模）已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ）小试牛刀1 A． B．e C． D．2e 【答案】B 【分析】构造函数，进而结合题意得函数在上单调递增，进而得恒成立，只要，求解函数的最大值即可得答案. 【详解】由题意可知的定义域为， 由条件可得， 所以. 设， 则在上单调递增. 求导得， 则在上恒成立，所以，即恒成立， 易知在上单调递增，故只需，即在时恒成立即可. 设，则，可知在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即的最大值为e. 故选：B （2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先对已知不等式进行变形，得到，再构造函数，利用导数分析函数的单调区间即可得解． 【详解】因为，， 所以，即． 令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 故时满足题意，所以的最大值为1． 故选：B． （25-26高三上·广东·月考）已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【答案】 【分析】由题设可得，设，，可得，进而得到函数在上单调递减，进而可将问题转化为对于恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则对于恒成立， 即对于恒成立， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型6：单调性与奇偶性/周期性综合】 【解题策略】 1.用奇偶性（奇：；偶：）、周期性（）化简 2.研究一个周期内或对称区间（如）的单调性 3.拓展到整个定义域（奇同偶反，周期重复） 4.整合结论 【多选题】（25-26高三上·宁夏中卫·月考）已知定义域为的函数满足，且是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（   ）经典例题例题 A．函数的最小正周期是4 B．时， C． D．方程恰有10个不同的实数根 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求函数的对称性和周期性，可判断A的正误，根据对称性求出上的函数解析式后可判断B的正误，求出后根据周期性可求，从而可判断C的正误，利用导数刻画函数在上的单调性后可得的图象，数形结合后可判断D的正误. 【详解】因为函数满足， 所以函数为奇函数，图象关于点对称， 因为函数是偶函数， 所以，即函数图象关于对称； 所以， 所以，， 所以函数是周期函数，最小正周期是4，故A选项正确； 由得 当时，时，，故B选项错误； 由题知， 由可得，， ，故， 故，故C选项正确； 当，，故在为增函数， 结合的周期性和对称性可得函数的图象如图所示： 而的解的个数可以看成两个图象交点的个数， 而，结合图像可得两个图像在轴右侧交点的个数为5个， 因，由图可得两个函数在轴左侧交点的个数为5个，故共个交点， 故恰有10个不同的解，故D正确. 故选：ACD （25-26高三上·河南信阳·月考）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数写成分段函数，利用数确定函数在上单调递减，在上单调递增，再将原不等式转化为，求解即可. 【详解】因为， 当时，， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 所以函数在上单调递减； 当时，， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 所以函数在上单调递增； 当，因为在上单调递增， 所以函数在上单调递增； 又因为函数在R上连续， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 又因为成立， 所以， 即， 则有， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. （25-26高三上·安徽合肥·期中）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数的性质，通过构造新函数判断其奇偶性与单调性，再利用函数性质将不等式进行转化，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】由题设，令， 故是奇函数，又令，则， 又易知为增函数，故为增函数. ，即， ，则， 对任意均成立，即，而 当且仅当时等号成立，. 故选：B. 【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，，则（   ）小试牛刀3 A．的图象关于原点对称 B．是的极值点 C．在区间上递减 D．若，则有三个零点 【答案】ACD 【分析】对A：证明该函数为奇函数即可得；对B：求导后借助基本不等式可得导数范围，即可得解；对C：借助复合函数求导法则对求导后，计算即可得；对D：令，结合奇函数性质化简可得，构造函数求导后结合三次函数性质计算即可得. 【详解】对A：， 又定义域为，故为奇函数，故的图象关于原点对称，故A正确； 对B：，当且仅当时，等号成立， 故恒成立，故在上单调递增，故无极值点，故B错误； 对C：， 当时，，由B知，恒成立， 故当时，， 故在区间上单调递减，故C正确； 对D：令， 则， 又在上单调递增，故， 即，令， 则， 故当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 且，， 故存在、、， 使得，即有三个零点，故D正确； 故选：ACD. 【题型7：单调性与不等式恒成立/能成立综合】 【解题策略】 1.转化条件：①恒成立（，），；②能成立（，） 2.求，判在上单调性 3.求在上最值 4.解参数不等式，验证最值点有效性 （2025高二·全国·专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是 ．经典例题例题 【答案】 【分析】由题可得，令，求导可判断的单调性，进而可得对任意的恒成立，参变分离，利用导数求得函数的最值可求得的取值范围. 【详解】因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，所以在上单调递增， 又对任意的恒成立，， 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即的取值范围为． 故答案为： （25-26高三上·河北·期中）若 对任意的恒成立，则a的取值范围是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】方法一：化同构，，设，利用导数的单调性与最值求解. 方法二：化同构，，设，利用导数的单调性与最值求解. 【方法一】第一步：化同构 由题意得，所以由，得，得. 第二步：换元，构造函数 设，则，设， 第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解 ，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得， 所以的取值范围是. 【方法二】第一步：化同构 由题意得，所以由，得，得，得. 第二步：换元，构造函数 设，则，，设， 第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解 则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以的取值范围是. 故答案为：. （25-26高三上·湖南·月考）已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】将不等式化简恒成立，则只需令的最小值大于等于，通过求导求出函数单调性即可找到最小值. 【详解】令，则， 令，，在区间上单调递增，且， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 令，易知在区间上单调递增， 又，，. 故答案为： （25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【答案】 【分析】由题意，利用导数分别求出，得，解不等式即可. 【详解】， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； ， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又恒成立， 所以，即， 由，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 【题型8：构造函数题型（单调性应用）】 【解题策略】 核心思路：根据已知条件（如含导数的不等式、函数关系）构造新函数，利用的符号判断的单调性，进而解决问题 常见构造方向：①和差型（如、）；②乘积型（如、）；③分式型（如、） 答题模板： 1.分析已知条件特征.确定构造方向.设出构造函数 2.求，化简后判断其符号（结合已知条件转化推导） 3.由符号得出的单调性 4.利用的单调性求解目标问题（如比较大小、解不等式、求参数范围等） （25-26高三上·江西南昌·期中）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，则的大小关系是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据题意可判断函数的单调性，利用单调性判断大小即可. 【详解】令，则， 当时，，所以为减函数， 所以， 即， 故选：D （25-26高三上·湖北荆州·月考）已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则下列说法错误的是（   ）小试牛刀1 A． B． C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断. 【详解】设，则， 可设，则，解得， 故，即， 令，则，故在上单调递增， ∴，即，则，A正确； ∵，令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴，在处取得极小值，无极大值， B、C均正确，D错误． 故选： D. （2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【详解】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. （25-26高三上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据为奇函数，得出为偶函数，再结合题干得的单调性，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以， 设函数，则，所以是偶函数. 因为，且当时，，所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减. 若 ，   ， ， 又因为，所以. 故选：B. 【题型9：单调性与“整数解”问题】 【解题策略】 题型特征：不等式含参数，要求“无整数解”/“有几个整数解” 步骤 操作要点 1.整理不等式，构造函数 将不等式变形为“（或）”的形式，构造函数 2.分析函数单调性 对求导，确定其单调区间与极值/最值点 3.聚焦整数点的函数值 因要求“无整数解”，需保证所有整数都不满足不等式（即整数点的或） 4.结合单调性列条件 利用函数单调性，将“所有整数点满足条件”转化为最值点（或关键整数点）的函数值满足条件（如本题中最大值点的） 5.验证参数范围 验证所得参数范围下，所有整数点的函数值均符合要求，排除矛盾情况 （25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数（），若关于的不等式无整数解，则的取值范围为 .经典例题例题 【答案】 【分析】由题意可得无整数解，借助导数研究函数后的单调性后，分、与进行讨论即可得. 【详解】令， 即，即， 令，， 由在上单调递增， 且，， 故存在，使得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 令，，， 则在上单调递增，则， 即当时，，则， 故，即， 又当时，， 当时，， 由不等式无整数解，即无整数解， 若，由，则， 此时对任意，恒成立，不符； 若，由或时，，则， 故无整数解，符合要求； 若，有，即有整数解，不符. 综上所述：. 故答案为： （23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意，转化为，令且，利用导数求得函数的单调性和最大值，画出的图象，结合图象和斜率公式，即可求解. 【详解】由不等式，可得化为， 令且，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也为最大值， 且当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又由直线恒过定点， 当直线位于如图所示的两条直线和之间， 其中包含，不包含时，满足恰有两个整数解， 则，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. （23-24高三上·辽宁沈阳·开学考试）若关于x的不等式有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】构造函数，利用导数与直线过定点得到与的大致图象，从而得到关于的不等式，从而得解. 【详解】因为有且只有两个整数解， 令，则有且只有两个整数解， 则， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 且当时，，当时，，， 而恒过定点， 作出与的大致图象如下：    要使解集中的整数恰为2个， 则是解集中的两个整数，或是解集中的两个整数， 则满足，即，则，即， 或满足，即，则，即. 即实数的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数，作出图象，结合图像得到关于的不等式，从而得解. （22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知不等式恰有1个整数解，则实数a的取值范围为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】原不等式等价于，设，，然后数形结合转化为函数图像的交点问题求解. 【详解】原不等式等价于， 设，，令，得 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，取极大值，又，且时，， 因此的图像如下，    直线恒过点. 当有无数个整数解，不满足条件； 当时，只需要满足或， 即或解得或 则实数a的取值范围为. 故答案为：. 【题型10：利用单调性比较大小】 【解题策略】 类别1：直接利用单一函数单调性比较大小 适用场景：已知函数解析式.可直接通过导数判断单调性.比较与大小 1.确定的定义域.确保在定义域内 2.求，判断在含的区间上的单调性（增/减） 3.比较与的大小关系 4.由单调性得出结论：增函数→；减函数→ 类别2：构造函数后利用单调性比较大小 适用场景：已知条件为含导数的不等式（如）.无法直接用单一函数单调性 1.根据已知条件特征构造函数（常见：、、等） 2.求，结合已知条件判断的符号.得出的单调性 3.将待比较的表达式转化为与的形式 4.比较与的大小.结合单调性得出与的大小关系.进而得到目标结论 类别3：结合奇偶性+单调性比较大小 适用场景：已知函数为奇函数/偶函数.需比较与（在对称区间） 1.利用奇偶性转化自变量：①奇函数→，可将负自变量转化为正自变量；②偶函数→，可将转化为、转化为 2.求，判断在（或某对称区间）上的单调性 3.比较转化后自变量的大小（如与的大小） （2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. （2025高三上·重庆永川·专题练习），，为三个互异的正数，满足，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于可构造函数，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得，对于，在同一坐标系下画出函数及的图象，可得，再由不等式性质逐项判断即可. 【详解】由得，且， 构造函数，所以，， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，其函数图象如下图所示： 由图可得， 易知函数及交于点， 作出函数及的图象如下图所示： 由图知  所以，即，， 由此可得，即，． 故选：A （25-26高三上·湖南长沙·月考）已知 ,则的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求导利用函数单调性可得答案. 【详解】令， 则， ， 而， 所以，故，又易知在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以， 故，故. 故选：A （25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数，，，，则，，的大小关系为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入函数解析式，对进行放缩估值得到；利用多次求导数研究函数的单调性比较的大小，再结合中间量比较大小即可得. 【详解】，. 由， 由，则，可得， 则，且， 所以 ； 由， 得，令， 则，由在单调递增， 又，且， 故，使得， 且当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 又， 且， 故当，恒有，即， 所以在上单调递减，由， 则，即， 又， 故， 综上可知，. 故选：C. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】求导得，再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】的定义域为， 由题得， 令，得， 因为， 所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 【答案】D 【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】， A：当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，不正确； B：当，时，因为，所以是上的增函数，因此不正确； C：当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故不正确， D：当时，设，因为， 所以，因此是增函数，因为当，所以， 当时，，因此函数有唯一零点，设为， 因此当时，，即，此时函数在单调递减， 当时，，即，此时函数在单调递增， 因此当时，函数有最小值，正确， 故选：D 3．（25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据题意得在区间有解，即，利用基本不等式求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间有解， 即在区间有解， 所以在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等，所以． 故选：B． 4．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，转换成不等式恒成立问题，然后换元，数形结合即可得出答案. 【详解】由题可知恒成立， ，即恒成立， 设，则在恒成立， ，则，解得， 故选：C. 5．（24-25高二下·北京丰台·期中）若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值. 【详解】由，都有, 转化为， 构造在上单调递减， 求导在上恒成立， 则，解得, 故，即的最小值为. 故选：D. 6．（2025高三·全国·专题练习）若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】令求出，令，求出的单调性，求出，求出的取值范围即可求解. 【详解】令得， 令，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 当时，， 所以，又在上不单调， 所以的取值范围是（当时，在恒成立，此时单调递减，不满足题意）， 结合选项得可能为． 故选：B. 7．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知偶函数及其导函数的定义域均为，且对任意的都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得，根据题意，得到单调性，且为偶函数，把不等式转化为，得到，即可求解. 【详解】解：令，可得， 因为对任意时，都有， 所以，在上单调递增， 又因为函数为上的偶函数，可得也是上的偶函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，且图象关于轴对称， 由不等式，即， 即，所以，可得， 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：B. 8．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）函数的图象不可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求导，分四种情况讨论求解即可. 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：A. 9．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，，利用导数与函数的单调性，分别求出的单调区间，进而求出其最值，再结合题设条件，得到或，即可求解 【详解】令，，则， 则，因为，，当，即时，恒成立， 此时在上单调递增，所以， 当，即时，由，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，， 又，当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递增， 又时，，时，， 所以时，，不恒成立，所以不合题意， 当时，由，得到（舍）或， 所以时，，时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以时，， 要使对任意，恒成立，也即对任意，， 则或，解得或， 所以， 故选：A. 二、填空题 10．（25-26高三上·河北沧州·月考）设函数在定义域上单调函数，且满足，若不等式对恒成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用换元结合函数的单调性求解函数的解析式，然后通过分离参数得：对恒成立，最后令，，通过导数求解的最小值，进而求解参数的取值范围. 【详解】解：令，所以． 因为在定义域上是单调函数， ，， 故， 当时，，， 当时，，， 所以，则． 所以， 因为对恒成立， 所以对恒成立， 即对恒成立， 令，， 则对恒成立， 则可知在上单调递增， 故当时，函数取得最小值， 故， 即的取值范围为． 故答案为： 11．（25-26高三上·山东日照·期中）已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为讨论三个因式正负号问题，分点，和，三种情况分析讨论，得到当，时，恒成立，进而得到，令，利用导数求得函数的单调性，求得其最大值，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为， 因为恒成立，所以三个因式正负号问题， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 又因为，所以， ①当时，因为，所以， 且时，，此时不满足恒成立， ②当时，因为，当时，， 所以不能满足恒成立， ③当时，因为，所以， 要使得，则须， 又因为函数和在上都是单调递增函数， 要使得在上恒成立，必须两个函数值符号相同， 所以两个函数的零点也相同，即且， 综上可得，当，时，恒成立， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 12．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知函数，若对任意的，总存在使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，进而利用导数分析两种函数的单调性，进而求得最小值，即可求解. 【详解】由题意得，， 由，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，， 则， 所以函数在上单调递增， 则， 由，则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13．（2025高二·全国·专题练习）若，都有，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先将不等式化为，再构造，利用导数研究其单调性，结合恒成立得，进而有，进而问题化为在上恒成立，最后应用导数求最大值，即可得. 【详解】由题设，都有，即， 因为，所以，即， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，此时，则，即不合题设； 故，所以，而在上单调递增，则， 问题化为，在上恒成立， 令且，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，故. 故答案为：. 14．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】按照当，， 三种情况讨论求解.当时，构造函数和，利用基本不等式得到，分别讨论和这两种情况求解.若在上恒成立，则需在上恒成立，求出，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到，从而得到，解得的范围即为所求. 【详解】函数的定义域为， ①当时，， 当时，，不符合题意； ②当时，取，则，不符合题意； ③当时，设，， 则，当且仅当时取等号. （i）若，即，取， ，，不满足题意； （ii）若，即， 若在上恒成立，则需在上恒成立， 又， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故，解得，所以. 综上可知，，m的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 15．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数导数，再按分类讨论求解函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 16．（25-26高三上·安徽淮北·期中）设函数 (1)时，求函数的最大值. (2)讨论的单调性. (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导函数正负判断出原函数单调性，即可得出最大值； （2）求出导函数，结合定义域和的正负分类讨论即可； （3）由（2）的讨论得出，证明其小于等于即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， . 当时，单调递增， 当时，单调递减， . （2）定义域为，， 若，则在单调递增， 若则时，单调递增， 时，单调递减， 综上所述：时，在单调递增.           时，在单调递增，在单调递减. （3）由（2）知，时，， 等价于，即.   设，， 当时，单调递增. 当时，单调递减， ，∴当时，， 从而时，，即 1 学科网（北京）股份有限公司 $