2026届四川省字节精准教育联盟高三一模数学试题

秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2025年12月05日15:00~17:00】 字节精准教育联盟 · CDS 2023级高中毕业班第一次诊断性检测 数 学 注意事项： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4. 考试结束后，只交回答题卡。 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1．已知，则可能为（    ） （A） （B） （C） （D） 2．设复数满足，则（   ） （A） （B） （C） （D） 3．函数的图象大致为（    ） （A）   （B）   （C）   （D）   4．已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 5．已知函数在上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（   ） （A） （B） （C） （D） 6．在中，，，，则（    ） （A） （B） （C） （D） 7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） （A） （B） （C） （D） 8．已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） （A） （B） （C） （D） 二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，满分18分。 9．在男子跳水10米台比赛中，某运动员发挥出色.在他的第一跳中，10位裁判给出的分数为：9.0，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，10，10，10，对该组数据下列说法正确的有（    ） （A）众数为10 （B）平均数为9.5 （C）极差为9 （D）中位数为9.6 10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（   ） （A） （B）为图象的一条对称轴 （C）可以等于8 （D）的最小值为2 11．已知函数，若有两个极值点，则下面判断正确的是（    ） （A） （B） （C） （D） 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．在等比数列中，已知，则 ． 13．某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为 ． 14．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分。 15．在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）. (1)求角； (2)设是BC上一点，且，，求面积的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点M，连接，证明：平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．已知等差数列的公差为2，且成等比数列． (1)求数列的前项和； (2)若数列的首项，求数列的通项公式． 18．在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆内接菱形的面积的最小值； (3)是否存点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 19．已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围： (3)若，存在两个极值点，证明：. 试卷第2页，共5页 数学试卷 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 字节精准教育联盟 · CDS 2023级高中毕业班第一次诊断性检测 数学参考答案与解析 1．B 【分析】根据交集、元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，， 所以，则可能为， 不可能为. 故选：B 2．B 【分析】求解，判断选项 【详解】由，则. 故选：B 3．B 【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数值以及特殊值即可判断出答案. 【详解】由题意知的定义域为， 且，故为奇函数，图象关于原点对称，A错误； 当时，，则，D错误； 当时，，结合图象可知C错误，只有B中图象符合题意， 故选：B 4．B 【分析】根据幂函数的定义及充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】由函数为幂函数， 得，解得或， 所以“为幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．D 【分析】分别作出函数与函数的图象，分，讨论即可． 【详解】分别作出函数与函数的大致图象． 分两种情形：当时，，如图1， 当时，与的图象有一个交点，符合题意； 当时，，如图2， 当时，要使得与的图象只有一个交点，只需， 即，解得（舍去）． 综上，正实数m的取值范围为． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握二次函数与三角函数的图象，从而数形结合即可得解. 6．B 【分析】已知三边求角，利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理， 又，所以. 故选：B. 7．B 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以， 即，解得. 故选：B. 8．D 【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 9．AD 【分析】根据众数，平均数，极差和中位数的定义进行求解. 【详解】A选项，10出现了3次，出现次数最多，故众数为10，A正确； B选项，平均数为， 故平均数为，B错误； C选项，极差为，C错误； D选项，从小到大排列，第5个数和第6个数的平均数为中位数，即，D正确. 故选：AD 10．BCD 【分析】根据函数的图象确定的值，得，排除A项，代入检验可判断B项；根据题意求得，利用其单调性确定，结合，取值计算可判断C，D两项. 【详解】由图可知，函数的周期满足，解得，则，即. 当时，函数图象经过点，可得， 即，又，方程无解，舍去； 当时，函数图象经过点，可得， 即，又，则，即， 因时，，故A错误，B正确； 依题意，，当时，， 因在上单调递减，可得， 解得，因，当时，，则取得最小值2； 当时，，则，故C，D均正确. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】求导后，分别在、、和的情况下，讨论单调性，从而得到极值点个数，确定；利用韦达定理可判断A正确；根据单调性可知，得到B正确；利用可化简，结合可知C错误；将化简成关于的函数，利用导数可求得最值，知D正确. 【详解】由题意知：定义域为，； 当时，，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 有且仅有一个极值点，不合题意； 当时，令，则； ①当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递增，无极值点，不合题意； ②当，即且时，令，解得：，； （1）当时，，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 有且仅有一个极值点，不合题意； （2）当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值点为，极小值点为，满足题意； 对于A，是方程的两根，，A正确； 对于B，当时，，当时，单调递减， ，B正确； 对于C，，， ，； ，， ，C错误； 对于D，， 是方程的两根，，， ， 令，， 在上单调递增，，，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围，并判断相关结论；解题关键是能够采用讨论含参数函数单调性的方法，讨论得到函数极值点个数，从而确定满足题意的参数的取值范围. 12．6 【分析】设数列的公比为，由条件结合等比数列性质可得，分类讨论求解即可. 【详解】设数列的公比为，由于，则， 若，则矛盾， 则，此时，符合． 所以. 故答案为：. 13． 【分析】利用古典概型计算即可. 【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有种，不相同的情况有种， 所以其概率为. 故答案为： 14． 【分析】由不等式变形为，通过换元根据不等式恒成立得出和之间的关系，从而把表示为关于的函数，通过构造函数，考查函数单调性即可求得. 【详解】, 即，令 则有， 设，则， 令得 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以又 所以，当且仅当时，等号成立. 所以可得， 设 则令得 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 故的最小值为 故答案为： 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 15．【解】 （1）若选①，则， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，即； 若选②，则， 因为，所以， 因为，所以， 而， 所以，即； 若选③，则， 因为，所以， 所以， 因为， 所以； 综上所述，无论选择①，②还是③，都有； （2）   由题意， 所以，即， 所以，即，等号成立当且仅当， 从而面积，等号成立当且仅当， 综上所述，面积的最大值为. 16． 【解】 （1）在四棱锥中，取中点N，连接， 由为 的中点，且，， 得，， 则四边形为平行四边形，所以， 而平面，不在平面内， 所以平面. （2）取 的中点O，连接， 由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）令，， ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 17． 【解】 （1）因为成等比数列，所以， 又等差数列的公差为， 所以 可解得， 所以数列的前项和； （2）①， 当时，，可得， 可得②， 由②式减①式，得， 所以 ， 且符合上式，所以. 18．【解】 （1）设椭圆为， 由题意得，解得，故椭圆C的标准方程为. （2）由椭圆的对称性，菱形中心为原点，设直线 ，联立， 所以，同理， 所以 （“”在时取得）. （3）当直线的斜率不存在时，取符合题意， 故存在点，使为的重心，且此时的面积为， 当直线的斜率存在时，设，联立的方程消去得. 设，则. 由条件得，得， 则， ， 综上，的面积为定值，其值为， 所以. 19．【解】 （1）由题意知：，定义域为； ，又， 曲线在处的切线方程为； （2），又在区间上单调递减， 在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立； 设，则， 当时，，单调递增，， ，即实数的取值范围是. （3）由（2）知：满足， 不妨设，则. . 则要证，即证， 即证，也即证成立. 设函数，则， 在单调递减，又，当时，， ，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题. 答案第4页，共19页 数学答案 第2页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $