1.3 空间向量及其运算的坐标表示（五大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 题型一 空间向量的坐标运算 1．空间向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义进行求解即可. 【详解】空间向量在方向上的投影向量为， 故选：B 2．（多选）已知点P是四边形所在平面外一点，如果，，，.下列结论正确的是（   ） A． B． C．四边形为平行四边形 D．若，则点E为线段的中点 【答案】ACD 【分析】根据向量数量积的坐标运算得的值即可判断A；根据平面向量共线向量的坐标关系即可判断B；根据向量坐标运算得，再确定不共线即可判断C；根据向量线性运算计算从而可判断D. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，因为，则，故不平行，故B不正确； 对于C，，所以， 又不共线，即四点不共线，所以四边形为平行四边形，故C正确； 对于D，若，则， 又，所以，故点E为线段的中点，故D正确. 故选：ACD. 3．已知点，，向量，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】首先设点，再代入坐标运算，利用向量相等，即可求解. 【详解】设，，， 因为，所以，得，，， 所以点的坐标. 故答案为： 4．已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    题型二 空间向量模长的坐标表示 5．已知，，且，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直得到的值，进而求出. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：A 6．（多选）已知向量，以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据空间向量线性坐标运算计算可判断A；根据空间向量模的坐标计算公式计算可判断B，根据空间向量数量积坐标运算可判断C；根据空间向量投影向量坐标运算计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D错误. 故选：AC 7．已知，，若向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】1 【分析】利用投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因，， 向量在向量上的投影向量为 ， 则. 故答案为：1. 8．已知空间三点，，，设，. (1)求，； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）求出，利用模长公式和数量积公式得到答案； （2）根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】（1）由题意，， 故， ； （2）因与互相垂直，则， 其中， 即， 解得或 题型三 空间向量平行的坐标表示 9．若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量、的坐标，分析可知，结合空间向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为、、，所以，. 由、、三点共线，可得，可得，解得. 故选：B. 10．（多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A：根据向量共线的充要条件，可判断A正确；对于B：由，可判断B错误；对于C：若为锐角，则 且向量 不共线，解不等式即可求解；对于D：由模长公式计算即可分析判断. 【详解】对于A：若，则存在唯一实数使得即， 所以解得，所以.故A正确； 对于B：若，则，即.故B错误； 对于C：若为锐角，则 且 不共线，即即， 由A知当时，此时.故C正确； 对于D：若，则即，当时，故D错误. 故选：AC 11．已知向量，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量平行列式计算即可. 【详解】由，则，解得， 则. 故答案为：. 12．已知空间向量满足. (1)若与的夹角为60°，求 (2)若，求向量的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用空间向量的模长公式及数量积运算法则计算即可； （2）利用向量共线的充要条件与坐标表示计算即可. 【详解】（1）因为， 所以. 因为，且与的夹角为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以. 当向量同向时，，则； 当向量反向时，，则. 综上，向量的坐标为或. 题型四 空间向量垂直的坐标表示 13．已知，则下列向量中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直坐标运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意. 故选：B. 14．（多选）设O为坐标原点，是空间上任一点，向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若Q点坐标为，则与共线 B．若，则 C．若Q点坐标为，且P，A，B，Q四点共面，则 D．若点Q在直线OP上运动，则的最小值为 【答案】AC 【分析】根据空间向量共线定理可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示可判断B；根据空间向量共面定理求解可判断C；根据空间向量共线定理可表示出，进而计算，利用二次函数的性质求出最值可判断D． 【详解】向量，，，Q点坐标为， 则，， 所以，则与共线，故A正确； ，， 若，则，即，故B错误； 若Q点坐标为，则，又，， 若P，A，B，Q四点共面，则， 即， 则，解得，故C正确； ∵，点直线上运动， ∴可设， 又向量， ∴， ， ∴当时，取得最小值，故D错误， 故选：AC． 15．已知空间向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】计算得到，根据计算可得结果. 【详解】由题意，， 因为，所以，即， 化简可得，所以. 故答案为：. 16．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）由空间向量的坐标运算法则，列出关于的方程，从而求得的值； （2）根据向量垂直的坐标表示，求得的值. 【详解】（1）由， 得，可得. （2）因为，所以. 即，解得. 题型五 空间向量夹角余弦的坐标表示 17．向量，则下列向量中与的夹角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量夹角公式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，向量，； 对于B，向量，，则； 对于C，向量，，则； 对于D，向量，. 故选：B. 18．（多选）已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C，，故与不垂直，故C错误， 对于D，，D正确， 故选：ABD 19．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则 ． 【答案】 【分析】由数量积的定义及坐标运算求出，再由向量模得到，即可求出，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，又，， ， ，， ，则，所以， ，， 故答案为：. 20．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【详解】（1），， ，， . （2）设与的夹角为，则，     ，，     ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 题型一 空间向量的坐标运算 1．空间向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知点P是四边形所在平面外一点，如果，，，.下列结论正确的是（   ） A． B． C．四边形为平行四边形 D．若，则点E为线段的中点 3．已知点，，向量，则点的坐标为 . 4．已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    题型二 空间向量模长的坐标表示 5．已知，，且，则（   ） A． B． C．6 D． 6．（多选）已知向量，以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 7．已知，，若向量在向量上的投影向量为，则 . 8．已知空间三点，，，设，. (1)求，； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 题型三 空间向量平行的坐标表示 9．若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若，则 11．已知向量，，且，则 ． 12．已知空间向量满足. (1)若与的夹角为60°，求 (2)若，求向量的坐标. 题型四 空间向量垂直的坐标表示 13．已知，则下列向量中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）设O为坐标原点，是空间上任一点，向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若Q点坐标为，则与共线 B．若，则 C．若Q点坐标为，且P，A，B，Q四点共面，则 D．若点Q在直线OP上运动，则的最小值为 15．已知空间向量，，且，则实数的值为 ． 16．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型五 空间向量夹角余弦的坐标表示 17．向量，则下列向量中与的夹角为的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 19．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则 ． 20．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $