专题03 空间向量及其运算的坐标表示（五大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题03 空间向量及其运算的坐标表示（五大题型） 考点01 空间向量的坐标运算 考点02 空间向量模长的坐标表示 考点03 空间向量平行的坐标表示 考点04 空间向量垂直的坐标表示 考点05 空间向量夹角余弦的坐标表示 考点01 空间向量的坐标运算 1．已知，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．向量，，则在上的投影向量的坐标为 3．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 5．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 8．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 9．已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为 ． 10．已知空间向量，，则 . 考点02 空间向量模长的坐标表示 11．已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 13．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 14．已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 15．下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量，，代表，用向量代表整条手臂，则 . 16．设，则 （1） （2） （均为非零向量）. （3） （4） 17．如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 18．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 19．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 20．已知，，且，则 ． 考点03 空间向量平行的坐标表示 21．已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 22．已知，，求： (1)的值： (2)与夹角的余弦值. 23．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 24．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 26．若向量，且，则（    ） A．4 B． C． D． 27．已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 28．在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 29．已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 30．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 考点04 空间向量垂直的坐标表示 31．已知空间向量. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 32．已知向量，，并且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 33．设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 34．已知，，若，则 ． 35．已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 36．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 37．向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 38．已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 39．已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存在，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点的轨迹长度为. 其中得出正确结论的同学有（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 40．已知向量，若，则（   ） A． B．4 C． D．5 考点05 空间向量夹角余弦的坐标表示 41．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 42．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若空间向量，，则与的夹角为钝角 C．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 44．已知，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C．π D． 45．已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 46．已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 47．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 48．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A．向量在向量上的投影向量是 B． C． D． 49．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 50．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B．7 C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其运算的坐标表示（五大题型） 考点01 空间向量的坐标运算 考点02 空间向量模长的坐标表示 考点03 空间向量平行的坐标表示 考点04 空间向量垂直的坐标表示 考点05 空间向量夹角余弦的坐标表示 考点01 空间向量的坐标运算 1．已知，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】由空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得. 故选：B 2．向量，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 3．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 4．已知四边形ABCD是平行四边形，，，，则（    ） A．点D的坐标是 B． C． D．四边形ABCD的面积是 【答案】BD 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A不正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：BD 5．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】 【分析】由空间向量的基本定理求解即可. 【详解】∵，，，. ∴，，． 若四点共面，则， 即， 所以，所以． 故答案为： 6．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量坐标运算得出结果. 【详解】若，则. 故选：B. 7．已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，计算数量积，求最小值. 【详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点，，， 则，， ， 当时，的最小，最小值为. 故选：A. 8．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、、、的等式组，消去、可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为、、、四点共面，设， 即， 可得，消去、可得，即， 故选：A. 9．已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意得可以构成空间的单位正交基底，设，则，根据空间向量基本定理及平面向量基本定理可得结果. 【详解】∵，，，∴， ∴， ∴可以构成空间的单位正交基底， 设，则， ∵从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底， ∴与中的任意两个向量均不共面， 根据平面向量基本定理可得均不为零， ∴向量的坐标可以为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 10．已知空间向量，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算． 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：． 考点02 空间向量模长的坐标表示 11．已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答. 【详解】因为向量，，则，A正确； 显然，B正确； 由数量积的定义得，C错误； 显然，则，即有，D错误. 故选：AB. 12．已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 13．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 14．已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】已知，得， 所以在方向上投影的数量为. 故选：D. 15．下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量，，代表，用向量代表整条手臂，则 . 【答案】 【分析】根据向量的模的坐标公式即可求出结果. 【详解】由题意可知，. 所以. 故答案为：. 16．设，则 （1） （2） （均为非零向量）. （3） （4） 【答案】 【分析】略 【详解】略 17．如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，表示关于坐标的函数，再求函数的值域. 【详解】连接，在中，易得，． 以点为坐标原点，以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，． 设平面平面，因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面平面，所以， 当时，可得点在平面内，可得，， 又，所以，，所以即为平面与平面所成角的平面角， 又因为平面平面，所以，所以，． 又因为，，即．， 当时，，其中； 当时，，其中； 的取值范围为， 故选：A． 18．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】利用空间向量垂直的性质判断A；利用空间向量平行的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由得，存在实数，使得，则， 即，解得，，B正确； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：BC 19．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 20．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 考点03 空间向量平行的坐标表示 21．已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知得，应用向量数量积的坐标运算求结果； （2）首先求得，再由向量平行的坐标表示列方程求参数值，最后应用向量减法、模的坐标运算求结果； （3）应用向量加减的坐标运算求，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】（1）由题设，所以； （2）由（1），又， 所以，可得，即， 所以，则； （3）由（1）， ， 由，则， 所以，则. 22．已知，，求： (1)的值： (2)与夹角的余弦值. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据向量平行与垂直求得，进而求得； （2）先求得与的坐标，然后根据向量夹角公式求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以，解得，， 所以，， 又，则，即，得， 于是，则. （2）由（1）得，，设与的夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 23．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标易得，即可判断各项的正误. 【详解】由，易知，则，显然、、不成立. 故选：C 24．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理，选择作为基底分别表示和向量，再根据向量共线的条件求出参数即可. 【详解】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C 25．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 26．若向量，且，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量平行的坐标运算得出，进而由模长公式求解. 【详解】因为向量，且， 所以，所以，所以． 故选：D 27．已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 【答案】C 【分析】利用对称求解判断A；利用共面向量定理及推论判断BC；利用向量共线求解判断D. 【详解】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确； 对于B，由及共面向量定理得共面，B正确； 对于C，，则点不共面，C错误； 对于D，，由点共线，得， 则，解得，，D正确. 故选：C 28．在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点在坐标平面上的正投影，进而可求，，即可比较大小. 【详解】由题意可知：点在坐标平面上的正投影分别为， 因为，则，可知三点共线， 可得，，， 所以. 故选：B. 29．已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量平行得出，，再计算模长即可. 【详解】因为，所以，解得，， 则，． 故选:A． 30．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 考点04 空间向量垂直的坐标表示 31．已知空间向量. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得x，y的值，即可得答案. （2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案. （3）根据求模公式，可得x，y的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，， 所以，不存在，所以； 当时，可得，解得， 所以 （2）因为， 所以，即， 所以当时，y的最小值为 （3）， 因为， 所以，即， 由，解得 则所求 ， 所以当时，的最大值为 32．已知向量，，并且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直的坐标公式即可得出答案. 【详解】由可得. 故选：C 33．设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 34．已知，，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据题意，由向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】先计算，由题意可得： ， 所以. 故答案为：4 35．已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 【答案】C 【分析】根据两个向量垂直其数量积为及向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，且， 所以，得. 故选：C. 36．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量运算法则可求. 【详解】∵，∴， 即，解得. 故答案为：. 37．向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 38．已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量垂直可得，即可得到结果. 【详解】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 39．已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存在，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点的轨迹长度为. 其中得出正确结论的同学有（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】ABD 【分析】由题意分析可知：点为底面内一点（包含边界），建系，设.对于甲丙丁：结合向量垂直的坐标表示运算求解；对于乙：取点关于平面的对称点为，连接，结合对称性分析判断. 【详解】以A为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图1所示的空间直角坐标系， 因为， 可得，所以点为底面内一点（包含边界）， 则，设， 对于甲同学，当时，，则，， 若，则，整理得， 得，则点存在，此时，所以存在，使得，故选项A正确， 对于乙同学，当时，，点关于平面的对称点为， 连接，则，    所以， 所以存在点，使得，即存在，使得，故B正确， 对于丙同学，当时，，可得， 由，得，即， 所以点的轨迹为中平行于边的中位线， 当为该中位线的中点时，，当不为该中位线的中点时，，故C错误； 对于丁同学，当时，， 可得， 由，得0，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的圆弧，如图2所示， 取中点，连接，因为，则， 所以，由圆与正方形的对称性知，， 所以，故点的轨迹长度为，所以选项D正确，    故选：ABD. 40．已知向量，若，则（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】先求，再由解方程即可求得. 【详解】由，可得， 又由，则得， 即，解得. 故选：A. 考点05 空间向量夹角余弦的坐标表示 41．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 42．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 43．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若空间向量，，则与的夹角为钝角 C．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算，即可判断B错误；根据空间基底的性质及定义，可判定CD正确. 【详解】对于A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故C正确； 对于D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数使得成立， 所以一定不共面，则也是空间的一个基底，故D正确； 故选：ACD. 44．已知，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C．π D． 【答案】B 【分析】由空间向量数量积的坐标表示可得. 【详解】设向量与的夹角为， 则， 因，故， 故选：B 45．已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【分析】由向量的模、数量积公式， 投影向量的定义， 向量夹角公式依次求解即可. 【详解】因为， 对于 A ， ，故 A 正确； 对于 ，，所以 与 不垂直，故 错误； 对于 C ， 在 上的投影向量为 ，故 C正确； 对于 D ， ，故D 正确. 故选： ACD . 46．已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以与的夹角的余弦值是， 故选：B 47．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断A、B；应用向量坐标加法及模长的坐标运算列方程求参数判断C；由向量夹角的坐标表示求余弦值，进而确定正弦值判断D. 【详解】A：，则，可得，错； B：，则，可得，对； C：，可得或，错； D：，则，故，则，对. 故选：BD 48．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A．向量在向量上的投影向量是 B． C． D． 【答案】A 【分析】对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】对于A：因为，， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：A. 49．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由空间向量夹角余弦值的坐标运算，结合的坐标得到关于的表达式，即可求出的值. 【详解】因为向量，且与的夹角余弦为， 所以， 解得， 故选：D. 50．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】由点、、，求得及，再利用三角形面积公式求解. 【详解】因为点,,， 所以， ， ，则， 所以， 所以以,为邻边的平行四边形的面积为， 故选：D 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $