2026年中考数学复习：几何模型——中点四边形模型

2026中考数学复习：几何模型一中点四边形模型 【模型特征】任意四边形+四边中点=特殊四边形 【知识梳理】 1、四边中点的连线 如图所示，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为四边中点： 结论：四边形FGH为平行四边形； 证明思路：，EH∥BD, EH-2BD. GF∥BD,GF=5BD .∴.EH∥GP,EH=GF .四边形EFGH为平行四边形 2、对边中点+对角线中点 如图所示，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为四边中点； 结论：四边形FGH为平行四边形； 证明思路：：EF∥AB,EF=AB, 2 1 GH∥AB,GH=三AB .EF∥GH,EF=GH .四边形EFGH为平行四边形 【注意事项】题目中同时出现多个中点时，首先考虑构造中位线，从而使题中线段的数量关系和位置关系 同时确定，为转化线段和角度作铺垫； -1- 【模型应用】 1、如图，己知ABCD为任意四边形，点E、F、G、H分别为四边中点，下列条件中，不能判定四边形EFGH 为菱形的是( A.EH=HG B.EG⊥HF C.AC=BD D.AC⊥BD E 【答案】D B 【详解】 解：如图31所示，连接AC,BD :点E,F分别是AB,BC的中点， :EFIAC且EF=AC, 2 同理可证，HG∥AC,HG=。AC, 图31 .EF∥HG,EF=HG. .四边形EFGH为平行四边形 若EH=HG,则OEFGH为菱形，故选项A能判定四边形EFGH为菱形 若EG⊥HF,则EFGH为菱形，故选项B能判定四边形EFGH为菱形. AC=BD,EH-7BD,HG-7AC. .EH=HG. ∴.口EFGH为菱形，故选项C能判定四边形EFGH为菱形， :若AC⊥BD,则EH⊥HG,OEFGH为矩形，不一定是菱形， ∴.选项D不能判定四边形EFGH为菱形. 2、如图，在四边形ABCD中，点P,M,N,Q分别为四边中点，AD=BC,则∠PQM的度数为 D N 【答案】90 【详解】解：如图32所示，连接PM,PW, :点P,M是AC,AB的中点， .PC. :同理，PN=AD 2 AD=BC, 图32 .PM PN. :点Q是MW的中点， ∴.PQ⊥MN. ∴.∠PQM=90°. 3、如图，在菱形ABCD中，点0为对角线交点，点E、F、G、H是菱形各边中点，若AC=6,BD=8,四边形 EFGH的面积为 【答案】12 【详解】 解：四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD. 点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD和DA的中点， .EH∥BD,FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC. ·EH∥FG,EF∥HG ·.四边形EFGH是平行四边形 :AC⊥BD, ∴.∠AOB=90° ∴.∠BAO+∠ABO=90° :∠AEH=∠ABO,∠BEF=∠EAO, .∠AEH+∠BEF=90°. ∴.∠HEF=90° ·.四边形EFGH是矩形 AC=6,BD=8, .EF=-AC=3,EH=-BD=4. 2 2 .四边形EFGH的面积为=3×4=12. 4、如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，点E,F,G,H分别是四边中点； (1)求证：四边形EFGH是平行四边形 (2)当AB=CD时，四边形EFGH是怎样的四边形，证明你的结论； 【解析】 (1)证明：：点E,F分别是AD,(2)解：四边形EFGH是菱形 BD的中点， ,点G,F分别是BC,BD的中点， EF是△DAB的中位线， ,FG是△DCB的中位线 EF=5AB,EF∥AB ∴FG=二CD,FG∥CD. :同理可证，GH=AB, 2 又：F号B, GH∥AB .当AB=CD时，EF=FG ∴.EF=GH,EF∥GH. .平行四边形EFGH是菱形. ·.四边形EFGH是平行四边形 -3- 5、如图，两个全等的直角三角形(Rt△ABC和Rt△ADC)按照斜边重合的方式摆放，点E,F,G,H分别 为四边中点： (1)判断并证明四边形EFGH的形状； (2)若∠BAC=30°，AC=6,求四边形EFGH的面积； E B 【详解】 解：(1)四边形EFGH为矩形. 理由如下：连接BD,如图35所示. ,△ABC≌△ADC, .AB=AD,CB=CD. ∴.AC垂直平分BD 点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的 D 中点， G .EF-AC.EF/AC,HG-AC 图35 HG//AC,EH//BD,EH=-BD. ∴.EF=HG,EF∥HG. ∴.四边形EFGH为平行四边形. EF∥AC,EH∥BD,AC⊥BD, ,EF⊥EH, .∠HEF=90°. 四边形EFGH为矩形 (2)在Rt△ABC中，∠BAC=30°， c-a0-3. .AB=3BC=33 :∠DAC=∠BAC=30°，AB=AD, :△ABD为等边三角形 BD=AB=33 m0的 2 EF=。AC=3, 2 四边形EFGH的面积=EH·EF_3V5 3=95 2 2 -4- 6、如图，E,F,G,H分别为矩形ABCD各边的中点，依次顺序连结各边中点得到四边形EFGH,猜想四边 形FGH是什么特殊四边形，并对你的猜想予以证明； 【详解】四边形EFGH是菱形. H 证明：如图，连接AC,BD. G G :E,F分别是AD,AB的中点， .EF是△ABD的中位线 EFI BD EF=BD 同理，可得GH∥BD且GH=BD. 、 .EF∥GH,EF=GH. ∴，四边形EFGH为平行四边形. 又E,H分别为AD,CD的中点， ∴.EH是△ADC的中位线. :EH∥AC且EH=AC 2 又四边形ABCD是矩形， .BD=AC. .EF EH. ∴，四边形EFGH是菱形. -5 7、在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边中点； (1)如图1，求证：中点四边形EFGH是平行四边形： (2)如图2，P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,猜想中点四边形EFGH的形 状，并加以证明： H H 【详解】 (1)证明：如图1，连接BD (2)四边形EFGH是菱形， 0 证明：如图2，连接AC,BD. H A H B F 图1 :E,H分别为边AB,DA的中点， 图2 六/0，h-0. ,∠APB=∠CPD, 同理，可得FG/BD,FG=BD. ,∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD, 即∠BPD=∠APC. .EH∥FG,EH=FG, AP=BP, .中点四边形EFGH是平行四边形. 在△APC和△BPD中， ∠APC=∠BPD, PC=PD, .△APC≌△BPD(SAS). .AC=BD :E,F,G分别为边AB,BC,CD 的中点， EF=AC,FG=IBD. 2 .EF FG. 又四边形EFGH是平行四边形， ∴，四边形EFGH是菱形. -6- 8、如图D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点，0是△ABC内一点，连结OA、OB、OC,F、G是OB、OC的 中点，顺次连结D,F,G,E: (1)求证：四边形DFGE是平行四边形； (2)当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形： (3)若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是 【详解】 (1)证明：，D,E是AB,AC的中点， DE/BC且DE=BC. G :F,G是OB,OC的中点， i6r/8c且6r-c. ∴.DE∥GF且DE=GF. ,四边形DFGE是平行四边形. (2)证明：由(1)，可知四边形DFGE 是平行四边形. D,F分别是AB,OB的中点， ..DF∥OA. :OA⊥DE, .DF⊥DE ∴.∠FDE=90°. .平行四边形DFGE是矩形. (3)OA⊥BC且OA=BC. 证明：由(2)，可知当OA⊥BC时，四 边形DFGE是矩形. :D,F,G分别是AB,OB,OC的中点， DF-0.GF-nc. .OA=BC, DF=GF. ∴.矩形DFGE是正方形. -7- 2026中考数学复习：几何模型——中点四边形模型 【模型特征】任意四边形+四边中点=特殊四边形 【知识梳理】 1、四边中点的连线 如图所示，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为四边中点； 结论：四边形EFGH为平行四边形； 证明思路： ∵EH∥BD，， GF∥BD， ∴EH∥GF，EH=GF ∴四边形EFGH为平行四边形 2、对边中点+对角线中点 如图所示，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为四边中点； 结论：四边形EFGH为平行四边形； 证明思路： ∵EF∥AB，， GH∥AB， ∴EF∥GH，EF=GH ∴四边形EFGH为平行四边形 【注意事项】题目中同时出现多个中点时，首先考虑构造中位线，从而使题中线段的数量关系和位置关系同时确定，为转化线段和角度作铺垫； 【模型应用】 1、如图，已知ABCD为任意四边形，点E、F、G、H分别为四边中点，下列条件中，不能判定四边形EFGH为菱形的是（ ） A.EH=HG B.EG⊥HF C.AC=BD D. AC⊥BD 2、如图，在四边形ABCD中，点P，M，N，Q分别为四边中点，AD=BC，则∠PQM的度数为___________ 3、如图，在菱形ABCD中，点O为对角线交点，点E、F、G、H是菱形各边中点，若AC=6,BD=8，四边形EFGH的面积为___________ 4、如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，点E，F，G，H分别是四边中点； （1）求证：四边形EFGH是平行四边形 （2）当AB=CD时，四边形EFGH是怎样的四边形，证明你的结论； 5、如图，两个全等的直角三角形（Rt△ABC和Rt△ADC）按照斜边重合的方式摆放，点E，F，G，H分别为四边中点； （1）判断并证明四边形EFGH的形状； （2）若∠BAC=30°，AC=6，求四边形EFGH的面积； 6、如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点，依次顺序连结各边中点得到四边形EFGH，猜想四边形EFGH是什么特殊四边形，并对你的猜想予以证明； 7、在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边中点； （1）如图1，求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，猜想中点四边形EFGH的形状，并加以证明； 8、如图D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点，O是△ABC内一点，连结OA、OB、OC，F、G是OB、OC的中点，顺次连结D，F，G，E； （1）求证：四边形DFGE是平行四边形； （2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形； （3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是________________________ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $