重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周测练习(十二)（12.7）

数学答题卡 注意事项 填 正确填涂 准考证号 1.答题前，考生先将自已的姓名、准考证 班级 号、考场号、座位号填写清楚。 涂 2选择题使用B铅笔填涂，非选择题使用 范 错误填涂 黑色碳素笔书写，超出答题区域无效。 ☑X 000I000000]0 ■ 3保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 团国卫和①卫口和卫刀 姓名 ■ 2四2四212四22四2四2四22四 313]3131313133133 4四4444四44444 ■ 考场号 55列5列555]5555 贴条形码区 6]616]66]6]6666可 ■ (正面朝上，请贴在虚线框内) 刀刀刀刀刀刀刀刀刀刀 888I8]888J888 座位号 m 999999I9]999 ,缺考考生由监考灵用2B 标记 ■ 1 A B CD 6IBIC回 11 [A][B C]D] 2A四BCD四 7 [A [B CD] ■ 3A四BCD 8 [A][BC [D] 4AB围D] 9A】B]D] 5 [A][B][C]D 10 LA][B][C]LD] ■ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.（本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) A D B C E A D B C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.（本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■重庆南开中学高2027级高二（上)数学练习（十二)12.7 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选顶中，只有 项是符合题目要求的。 1.在等差数列an}中，a5=3,a,=15,则a6=（) A.4 B.5 C.6 D.9 2.已知meZ,数列√3，N5,√7√2m-1的项数为( A.m-2 B.m-1 C.m D.m+1 3.等比数列{an}的前n项和为Sn,a+a4=3,a2+4=6,则S6=() A.27 B.24 C.21 D.18 4己知熊点在)轴上的双曲线后=1的两条渐近线互相番直，则（) A.1 B.支 C.-4 D.1或-4 5.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半 图，已知半精图号+芳=1()20a>6>0且为常数)和半园+了-b<0组成的直线C知图2所 示，曲线C交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点G,点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为 51 22 时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程是() A.4+2=102) D.16x+2=020) 32 93 62琴号-020 D. 4x+2y =1(y20) 图1 图2 33 6.已知两个等差数列包，}和私，}的前n项和分别为8，和工，且兰 6n+2 则使得。为整数的正整数” b. 的个数是（) A.1 B,2 C.3 D.4 试卷第1页，共8页 2n-51 7,已知某数列的通项an= 2n2n*26,则4+++a1=( 1,n=26 A.48 B.49 C.50 D.81 8.剡用数学归纳法证明不等式1++计+<nn之2n∈N)的过程中，由n=k到n=k+1时， 1 左边增加了() A.2k-1项 B.2k项 C.k项 D.I项 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2。已知点4，B是椭四C:。+了=1上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点，R,B分别是C的 左、右焦点，O为原点，则() A.C的离心率为号 B.4F+BF=8 C.IAB|的值可以为3 D.若△5的面积为，则Ah-号 10.已知数列{an}满足a=1,an=3an+1(n∈N),{an}的前n项和为Sn,则() A{引是等比数列 是等比数列 c号时 D.S,=3+2m-l 4 11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家用他名字定义的函数f(x)=[x]([x]表示不超过x的 最大整须)称为高斯西数已知正项数列)的情“项和为8，且口+女》】 则 下列结论正确的有（) A,%=n(n∈N) B.S=n(nEN) C.[b+b2+…+b%,]=6 皮安 试卷第2页，共8页 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应 位置（只填结果，不写过程) 12.已知椭圆方程为号+2=1，且椭圆内有一条以点P(分) 为中点的弦AB,则弦AB所在的直线I的 方程是」 13.等比数列{a,}中，an>0,a,a,满足：O驴=a2OA+aOB(P点在直线AB上)，则a,的最大值为_ 14.设an表示自然数n的所有正因数中较大的那个奇数，例如：9的正因数有1,3,9，则4，=9；12的 正因数有1,2,3,4,6,12，则a12=3.数列{an}的前22025-1项的和为一 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文 字说明、演算步骤或推理过程) 15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(2n+1)an+1(n∈N). (1)求和，}的通项公式：（②记女，=，2 -,求数列{b,}的前n项和T,. anant 16.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn1=4an+2. (1)设b,=4n+1-24n，证明数列{bn}是等比数列： (2)求数列{4n}的通项公式； (3)求{aa}的前n项和Sn 试卷第3页，共8页 17.!图，在直四梭柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD是梯形，AD11BC,AD=2,AB=BC=CD=1, A D 点E是AD,的中点，点F满足AF=1FC(1eR). (I)若1=1，证明：EF⊥平面AAC: (2)若1=2，且平面AEF与平面ABCD的夹角为60°，求AA, 18.已知正项数列a,的前n项和为5，满足，+1=2+2 2an (I)求出数列fa}的前三项： (2)根据数列an}的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明. 19.已知抛物线C:y2=2x(p>0),过点2(2,0)的直线1交C于A,B两点，O为坐标原点.当1与x轴 垂直时，48到=4W2. (1)求抛物线C的解析式： 适c0s乙40B=3,过x轴上一点P骏OA0B,B的垂线，垂足分别为E,R,G,且满 F,G三点共线. (i)求直线I的方程；(i)求P点的坐标. 小批结A折#0参考答案 第1题 等差数列{an}中，a5=3,ag=15, 设等差数列的公差为d,则d=ag-a5=15-3 9-5 4 二3 故a6=a5+d=3+3=6, 故选：C 利用等差数列的通项公式来求解即可， 第2题 & 本题考查数列的项数计算。 本题可先根据数列的通项公式，结合数列的最后一项，通过建立等式来求解项数。 1.确定数列的通项公式 观察数列V3,√5，V斤，…，V2m-1, 可以发现其被开方数是首项为3，公差为2的等差数列。 根据等差数列通项公式an=a1十(n一1)d(其中a1为首项，d为公差)， 这里a1=3,d=2,则被开方数的通项公式为an=3+(n-1)×2=2m+1。 2.根据通项公式求项数 已知数列的最后-一项为v2m-1, 那么被开方数2m-1对应通项公式an=2m+1。 令2m+1=2m-1, 移项可得2n=2m-1-1=2m-2, 两边同时除以2，解得n=m一1。 所以数列V3,√5，√斤，…，√2m-1的项数为m-1,答案选B。 第3题 C 本题考查等比数列的通项公式和前项和公式。 先根据等比数列通项公式，由a1十a4=3,a2十a5=6求出公比g和首项a1,再利用等比数列前n项和公 式求出S6。 1.求公比q 设等比数列{an}的公比为q,根据等比数列通项公式an=a1g”-1,可得a2=a1q,a5=a4q。 已知a1十a4=3,a2十a5=6,将a2=a19,a5=a49代入a2+a5=6可得：a2+a5=a19+a49= qa1+a4)。 把a1十a4=3代入上式，得到3g=6,解得g=2。 2.求首项a1 由等比数列通项公式可得a4=a1g3,已知a1十a4=3,q=2,则a1十a1g3=3,即a1十a1×23=3 ,进一步化简为a1十8a1=3,合并同类项得9a1=3,解得a1=3· 1 3.求S6 根据等比数列前项和公试5，=41g）(g≠1)），已知a1=专：g=2,n=6,则S6= 1-q 吉×1-29 1-2-。 1 先计算1-26=1-64=-63，再计算3×（一63》 -1 )-21=21。 -1 因此，S6=21,答案选C。 第4题 子器 y2 4m2=1的焦点在y轴上， 因此其标准方程为、 m2-4--3m =1 因此a2=m2-4,b2=-3m, -3m>0, 因此 解得m<-2. m2-4>0, 又由于双击线的商心率e=V5,因此g=2 又因为c2=a2+b2,因此a2=b2, 即m2-4=-3m, 即(m-1)(m+4)=0,解得m=-4或m=1(舍去)。 故选：C 将双曲线的方程化为标准式，可得出a2,b2,由离心率得出关于m的等式，求解即可. 第5题 1.D 由点停，-)在半圆上，所以6-设c0a A(一b,0).要使△ACM的面积最大，可 平行移动直线AC,当平移直线AC与半 圆相切于点M停，-)时，点M到直 线AC的距离最大，连接OM,如图所示. M 1 2 √2 此时OM⊥AC,即koM·kAc=一1.又koM= √② 2 2 如=合-号g-1a-E6=5 -2·61 ,所以半椭圆 的方程为督+ 3=1(y≥0). 第6题 (2m-1)(a1+a2n-1) 因为 a1+a2m-1 2 bn 20 2bn b1+b2m-1 (2m-1)(b1+b2m-1) 2 S2m-1_ 二2m-1 0221H26m-2三68为整数，且nN 2n-1+3=n+1 所以的值可以为：1、3、7，共3个. 故选：C. 利用等差数万列的性质，先把数列对应项的比转化为前n项和的比，再分离常数，结合合为正整数求m的个数 即可 第7题 2m-51 已知某数列的通项an= 2m-52,n≠26 (1,n=26 2x-51 令函数f(四)=2c-52(e≠26)， 则f@=2n2器-1+202河+20， 2x-52+1 1 所以f)+f62-刘=1+2226+1+2(528-26) =2(x卡26). 所以amn十a52-n=2, 令S=a1+a2+··+a511 则S=a51十a50十··十a1, 则有2S=(a1+a51)+(a2+a5o)+·+(a51+a1）=2×51, 所以S=51. 故选：D 令数f国)=经e≠20.fe)+2-=1+2020+1+26段-2 1 1 =2,所以 an十a52-n=2,由倒序相加法求和即可. 第8题 1B解折当n=k时，不等式左边为1+号十号+十2当n=太+1时不等式左边为1+号+ 1 1 1 1 1 1 +…+2白1十+25+2+1十+2-T 故增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2×2k-2k=2k, 第9题 6AD能新：桃西C:学+苦=1中，a=2,b=V5,c=1,离心深为会-方：A正璃：电对浴 性可得BF2=AFl,所以|AFl+BF2l=AF+Al=2a=4,B错误：设B(m,n),-V3 <n<且n≠0，则+号-1，故o=Vm+m=V4-g+n2=V4-号( V3,2),所以1AB到=21OB∈(2V3,4),C错误：不妨设A在第-象限，A(20,0),则S△AR=2 ·2c~0=多，得b=号，则AL》,则A=号.A=4-号=号，故A-A 华，故D正确，故法AD 第10题 9,选Bc数列a}中，neN,an1=3ar+1,则am1+号=3(a+》.又a1+号=号，所 以数别{a:十}是以号为首项，3为公比的等比数列，A描误，B正确：a:十号-号×3=1-费 13 2 3 ×(1-30) 1-3 多、 3n+1-2n-3,D错误。 4 第11题 8.BcD【解折】对于AB,:5.-2(0+品)当n≥2时25=S。-S-1+3→ 1 s8-81=1,又S=号(a+）=a1,a>0则a1=1所以s=n→S.=m,a=V -v可故A错B动对FCd,==你n=(a+2-v同.b+ 1 +…+b=7×(65+V64-v2-=7×(V65+7-V2)∈6,7).∴ +s++b侧6故C对对于0分-2>V=2(中7v同列 2 京+京++品>2[a-）士(5-回)++(-i列]=2 2 2 (-)>18:当n≥2时2≤V+m=2(版-n可+品0 ++35<1+2[（a-网+-网++(0-v阿列=1+2(-刂 1[分+++]=18，故D对故选BcD 结论拓展 1.对于由an与Sm构成的递推关系式，通常由an=Sn一Sn-1(m≥2)消去an或Sm解题.注意验证 n=1和n≥2两种情况是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示. 2.裂项相消法常见模型 (1)等差型 1 n(n+) 1 n-i2可=(2力 1 4n2-1=7 nn+ijm+② 1 1[1 1 2Ln(m+1-m+1)(n+2 (2)平方型 n+1 1「1 n+2)2n24123 -( 2m+1 1[111 4n2×(m+1)2 4ln2-(n+1)2] (3)等比型 2n 1 1 (2n-1)(2n+1-1=2m-1-2n+1-1 (4)混合型 n2n 2n+1 2n (n+1)(n+2) n+2 - n+1 (5)（-1)n型 (2=()(合+n) n(n+1) (6)无理裂项型 1 vWn+1+√元 Vn+1-Vn. (7)对数型 1og(2a） =loge an+-1-lOge an(c>0,c≠1，am>0) 第12题 2 2 2 2 2型-3=0【解析】设A11,Bc2,2),由题意得7+1=1，十2=1 1 减，得1十1安由P弦B的中点，得1+2=2,1+2=1，代入上述方程 x1+c2 得k=-验=-1，故直线AB的方程为y-号=-（红-1），即2x+2y-3=0,故答案为：2 C1-C2 +2y-3=0。 方法导悟椭圆中有关“中点弦”问题的求解策略 1.根与系数的关系法：联立直线与椭圆的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中 点坐标公式解决。 2 C =1, 2.点差法：设A(x1,y1),B(xc2,y2),AB中点为(c0,y0),则 a2+ b2 两式作差得： C1十02= 2 y1+y2 a2+6 =1 一.1-业，其中1士2=0,1一业=kAB,但要注意的是，最后要对结果进行检验，以免产 b2'c1-c2 y1+y2 =y01c1-C2 生增根。 第13题 14.三[等比数列{an}中，an>0, 2 2 则a4=a1·a7, 2 2 2 又a1,a7满足：OP=a1OA+a7OB(P点在直线AB上)，则有a1+a7=1, 所以1=c+a≥2a1a1=2,当且仅当a1=a7=号时等号成立，又a4>0,有a4≤9， 2 所以a4的最大值为2 2 第14题 42025-1 3 本题考查数列求和。 本题先根据an的定义找出数列{an}的规律，再利用分组求和法计算前22025一1项的和。 1.分析an的规律 根据an的定义，对于任意自然数n,将其分解为n=2.m（k∈N,m为奇数)，则an=m。 例如，n=12=22×3,所以a12=3;n=9=20×9,所以ag=9。 2.将数列{an}分组 将数列{an}的项按n的值进行分组： 第一组：n=1,a1=1; 第二组：n=2,3,a2=1,a3=3: 第三组：n=4,5,6,7,a4=1,a5=5,a6=3,a7=7; 第k组：n=2k-1,2k-1十1，·，2k-1,这-一组共有2k-1项。 3.计算每组的和 对于第k组，其和S为： Sk=1+3+5+·+(2k-1) 这是一个首项为1，公差为2，项数为2k-1的等差数列的和。 根据等差数例求和公式3n=n(a1十an】 2 ,可得： 2k-1(1+2*-1）=2k-2 2 4.计算前22025-1项的和 前22025一1项包含了从第1组到第2025组。 所以，前22025-1项的和S为： S=S1+S2+·+S2025 =20+22+24+.+24048 这是一个首项为1，公比为4，项数为2025的等比数列的和。 a1(1-q） 根据等比数列求和公式Sn= 1-9 ,可得 S= 1×(1-42025)42025-1 1-4 3 因此，数列a}的前2025-1项的和为4051 3。 第15题 (1)因为4Sn=(2m+1)an+1,令n=1得a1=1, 因为4Sm=(2m+1)an+1, 所以4Sm-1=(2m-1)am-1+1(n≥2）， 两式相减得4an=(2m+1)am-(2m-1)an-1(n≥2)， 即(2n-3)an=(2m-1)an-1 所以当红≥2， 所以器器…2==是号… 35 2m-1 2n-3' 即7=2m-1, 所以当n≥2时，an=2m-1, 又a1=1,所以am=2m-1. 2 2 1 1 2油(1河得0m=anm=2m-12n+1=2n-气-2n+' 所以.=(}-号)+（号-号）+…+(2n2n+)=1-2m+1=2n+1 2n (1)由4Sm=(2m+1)an+1可得4Sn-1=(2m-1)an-1+1(n≥2)，两式相减由累乘法可求出{an}的通 项公式： (2)求出{bn},由裂项相消法可求出数列{bn}的前n项和Tn. 第16题 (1)由a1=1,及Sn+1=4an+2,有a1+a2=4a1+2故a2=3a1+2=5 所以b1=a2-2a1=3. 因为Sn+1=4an+2① 故当n≥2时，有Sn=4an-1+2② ①-②，得a+1=4an-4an-1 所以an+1-2an=2(an-2an-i） 又因为bn=an+1-2an所以bn=2bn 所以{bn}是首项为3，公比为2的等比数列. 综上所述：证明得证； （2)由(1)可得：6n=an+1-2an=32”-1 所以+1 an 3 2n+1 2m=4 因此数列（是首项为，公装为的等卷数别。 4 31 故am=(3m-1)·2n-2 综上所述：数列{an}的通项公式为an=(3m-1)·2”-2: (3)由(1)知，当n≥2时，Sn=4an-1+2 故Sm=4an-1+2=4·(3n-4)2m-3+2=(3m-4)2m-1+2,n≥2 又S1=a1=1 故Sm=(3n-4):2n-1+2,n∈N* 综上所述：{an}的前n项和Sn为Sn=(3n-4·2-1+2,n∈N*. (1)先根据递推关系求出a2的值从而求出b1的值，然后根据Sn+1=4an+2,则当n≥2时，有Sn=4an 1+2,将两式作差变形阿证得an+1-2an=2（an-2an-1)即bn=2bn-1,证得结论； (2)根据(1)先求出数列bn的通项公式，然后等式两边同时除以201，可得数列贸是首项为，公差 为的等差数列，求出数列的通项，即可求出数列an的通项公式： （3)由（1)知，当n≥2时，Sn=4an-1+2,将an-1代入即可， 第17题 (1)证明：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=t, D 若入=1，则F为A1C的中点， C 则A0,00),A00,,C(号，号，0,50,1，)，F9是，》 则4d-(9.是0.Aa=0.0.E2-(9.-0. 设平面A1AC的一个法向量m=(亿，y,2), 〉 3 则 a.aC=9e+3别=0可 2 0,即x+V=0 z=0 (m·AA1=tz=0 取m=(W3,-1,0),则m=4EF, 所以EF/m,所以EF⊥平面A1AC. (2)若入=2，则F为A1C靠近点C的三等分点， 1可得写，1，专)，D,0,2, 则A正-(，1，青).4AD-0,2,利， 设平面AEF的一个法向量n=(x,y,),则 .A=9+y+专=0 (x= 即 6 1 〉 y=- Nn·AD1=2y+tz=0 22 取7=(V3t,-3t,6).又平面ABCD的-个法向量p=(0,0,1), 〉〉 〉〉 则cos(n,p1= n·p 6 -分，求得=3，所以141= Inlpl V12t2+36 (1)建立空间直角坐标系，求出向量EF和平面A1AC的一个法向量，两向量共线即可得证； (2)利用向量法，求出平面AEF与平面ABCD的法向量，利用平面与平面夹角公式求解即可. 第18题 4.【解】(1)当n=1时，由已知条件可得 a1+1= a1+2 ,即a1+2a1-2=0,解得a1=V3-1(a1>0)月 2 2a1 当n2时，由已知条件司得a1十0g十1=42 2a2 将a1=V3-1代入得a号+2W3a2-2=0,解得a2 =V5-V3(a2>0)当m=3时，由已知条件可得a1+a2+a3+1= 号+2 2a3 同理解得a3=√7-√5(a3 >0).(2)由(1)可以猜想an=√2n+1-√/2m-1,n=1,2,3时，等式成立；假设当n=k(k≥3，k∈N+) 时，等式立，a4=V2k十-V2k-,又因为a+1=51-5%=2空2+a-受-品，将ak =√2k+1-√2k-1代入上式解得ak+1=V√2k+3-√2k+1(am>0),所以当n=k+1时等式也成立.综 E,a_(n}=\sqrt(2n+1)-\sqrt{2n-1}(n \in \mathbf(N)_(+)).$