北京市北京大学附属中学元培学院2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期北大附中元培学院高二期中考试 数学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 (1)设集合M={x-1<x<2},N={0≤x<3},则M∩N= (A){x|-1<x<3} (B){x|0≤x<2} C){x|0<x<2 (D){x|-1<x<0} (2)下列函数中，在其定义域内是减函数的是 (A)f(x)=2 (B)f(x)=I- (C)f(x)=log;x D)f) (3)设a,b∈R,则n(a2+1)>n(b2+1)”是a>b”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)椭圆+卫 =1的焦点坐标是 -3+6 （A)(±3,0) (B)(0,±3) (c)(±9,0) (D)(0,9) (5)已知向量a⊥b,|a=2,|b=3,则a-b在u上的投影的数量为 (A)2 (B)-2 (C)-3 (D)√13 数学第1页（共6页） (6)已知椭圆 y2 =1的焦距等于4，则其离心率的值为 m12 (A) o (D)2 (7)已知圆台的上下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成为角的正切值为2，则该 圆台的表面积为 (A)12√5元 (B)20π+12√5元 (C)44π (D)24π (8)两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置 关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称两 条平行直线和圆的位置关系为“平行相交.己知直线：3x+(a-1)y+7=0,直线l2: +2y+7=0,与圆C:x2+y2-4x=m2-4m>0)的位置关系是“平行相交”，则实数 m的取值范围是 )m号 (B)m>13巨 6 (C)m>35且m135 （D)35<m<135 4 6 4 6 ()已刻蒂圆G若+茶-a>6>0和新阿4 x2 12 4+京=1a>b>0)的右焦点分别为 (c,0)和(c1,0).若a>4,设椭圆C1和椭圆C2的离心率分别为e和e1,则 (A)c<C (B)a-41>c-C (C)e< (D)1+e2-e>v1+e2-e (10)“康威圆定理”的内容如下：如图，△ABC的三条边长分别为BC=a,AC=b,AB=c.延 长线段CA至点A,使得AA=a,以此类推得到点A2,B,B2,C 和C,,那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.若在△ABC中， A1,7),B1,1),C(5,4),康威圆圆心为K,则K的坐标为 (A)3,4) B)写利 c6 (D)( 数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)复数z=(3-i)的虚部是 (12)已知椭圆c:女+上=1，过C的右焦点作轴的垂线交C于A,B两点，则 95 AB= (13)在空间直角坐标系O-z中，已知点A1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).若点D(x,y,z)在 平面ABC内(D与A,B,C三点都不重合)，则点Dx,y,2)的坐标可以是一一· (14)正△ABC中，AB=BC=CA=6√5.S是△ABC所在平面内位于△ABC外部的点构成的 集合，设集合T={Q∈S|BO≤6或CQ≤6}，则T表示的区域的面积为 (15)一种形如四叶草的曲线的方程为C:(x2+y2)=6x2y2.给出下列四个结论： ①曲线C有4条对称轴： ②曲线C上的点到原点的最大距离为 3 ③任取曲线C位于第一象限内的一点，过该点作两坐标轴 3 的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积的最大值为，： ④四叶草面积小于2 9 其中所有正确结论的序号是一一· 数学第3页（共6页) 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 己知a=(1,1),b=(1,),其中元<0，|a+=√5. (I)求； (Ⅱ)是否存在实数k,使得+b和b垂直？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. (17)(本小题13分) 己知函数f(x)=cos2x+V3 sinx cosx. (I)求f(x)的最小正周期： (Ⅱ)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值： (Ⅲ)当x∈[0，π]时，求f(x)的单调递增区间. (18)(本小题14分) A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道， 如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60，为了便于施工拟在两条公路之间 的区域内建一混凝土搅拌站P,并分别在两条公路边上建两个中转站M、N(异于点S),要 求PM=PN=MN=4(单位：千米).设∠SMN=6. 甲公路 (I)用0表示SN并写出8的范围： (Ⅱ)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求θ的值. 、M 乙公路 数学第4页（共6页） (19)(本小题15分) 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=BD=4,BC⊥CD,∠CBD= 6 (I)求证：面ABD⊥面BCD; A (Ⅱ)若E是线段BD上靠近D的四等分点，求： (i)BC与平面ACE所成角的正弦值： (ii)点D到平面ACE的距离. E (20)(本小题15分) 已知画c若若-a6,0),其实心率为时1过点引 x2,y2 (I)求椭圆C的标准方程； (Ⅱ)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B,求直线HA,HB的斜率之和； (I)过点T(4,O)的直线l2交椭圆C于P,Q两点（异于点H),设直线HP,HQ的斜率分别为 飞1，k2,证明：k+k2为定值. 数学第5页（共6页） (21)(本小题15分) 设n是不小于3的正整数，集合2n={(化，2，…，x)川x∈{0,1，i=1,2,3,…,m,对于集合2。 中的任意元素a=(化，x2,…,x)，B=(y,y2,…,y),记 P(a,)-+y-). (I)当n=3时，若u=(1,1,0),B=(1,0,0),求P(a,),P(a,B)的值： (Ⅱ)当n=4时，若A是2n的子集，且a心，B∈A,P(a,P)均为奇数，求A中元素个数的最 大值： (Ⅲ)已知A,B是2.的子集，且满足以下性质： ①ta∈A,P(a,)≤1 ②B∈B,3au∈A,使得P(a,B)=n. 求二买P(a,P)的最大值. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 数学第6页（共6页）