精品解析：安徽省合肥市四校2025-2026学年高三上学期12月联考调研适应性测试数学试卷

2025－2026学年第一学期12月四校联考调研适应性测试 高三数学 2025.12 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】因，又， 故. 故选：D. 【点睛】 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的乘法可得结果. 【详解】由已知可得，则， 因此，. 故选：C. 3. 已知点是的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用为基底，结合三角形重心的性质，表示向量，可得，的值. 【详解】如图，由点是的重心，可得 ， 结合，可得，，所以. 故选：D 4. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用齐次式法计算作答. 【详解】因，则， 所以. 故选：C 5. 设是公比不为1的等比数列，其前n项和为，设甲：成等差数列；乙：成等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得选项. 【详解】设等比数列的公比为. ①∵成等差数列， ∴，即， ∴，即， ∴，故成等差数列，充分性成立. ②∵成等差数列，∴，故，解得， ∴， ∴， ∴， ∴成等差数列，必要性成立. 综上得，甲是乙的充要条件. 故选：C. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，， 所以，，可得， 则， 所以，，故． 故选：D 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断得的单调性，从而判断得，再利用对数函数的单调性判断得，从而得解. 【详解】因为， 观察的式子结构，构造函数，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，所以，即， 所以，即，即； 又，所以，即； 综上，. 故选：B. 8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设上一点关于轴对称点坐标为，则在上，得到方程有解，即函数与在上有交点，利用导数判断出函数的单调性和最值，可得实数的取值范围． 【详解】设是上一点，则， 且关于轴对称点坐标为在上， 由题意得，有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解. 令，则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 有两个不同的实数解等价于与有两个交点， 所以,所以 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】A，由，得，故．正确； B，由，得，故．错误； C，由于随机变量服从正态分布，对应正态曲线的对称轴为直线， 所以．正确； D，解法一：随机变量均服从正态分布，且对应正态曲线的对称轴均为直线， 因为， 所以在两正态曲线中，的正态曲线较“瘦高”，随机变量分布比较集中， 所以． 解法二：因为，， 所以．正确. 故选：ACD． 10. 已知定义在上的奇函数满足当时，，若存在等差数列，其中，使得成等比数列，则a的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，不妨设，由，得到，又由等比数列，设公比为，根据函数为奇函数，求得，再由，得出，转化为在上有解，令，求得，得出函数的单调性与，结合，求得，进而结合选项，即可求解. 【详解】当时，则，因为函数是上的奇函数， 所以，即函数， 设等差数列的公差为，不妨设 因为，可得，解得，所以， 则， 又因为等比数列，设公比为， 可得， 由且函数为奇函数，所以点关于原点对称， 所以，即，解得， 所以， 因为，可得，所以， 即方程即在上有解， 即，即在上有解， 令，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，， 所以，解得，所以A正确； 又由，，所以B正确，D不正确； 令，可得，所以单调递减， 又因为，所以，即，可得， 又由，所以，所以B符合题意. 故选：ABC 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 11. 已知函数，若非空集合，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 为常数 B. 的取值与有关 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】不妨设的解集为，可得，由，解得或，又，为方程的两个根，可得，进而求出的取值范围． 【详解】不妨设的解集为，则有， ∴， 由，得且， 由(1)得，故A正确，B错误； ∴， ∵， ，解得或， 又，为方程的两个根， ∴， ∴，解得， ∴，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出两曲线在切点处的切线方程，再根据公切线过原点这一条件，联立切线方程求解切点坐标，进而求出实数的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，因为与曲线相切， 所以，消去，得，解得，所以， 设与曲线相切于点，由，得，即，解得， 因为是与曲线的公共点， 所以，消去，得，即，解得． 故答案为： 13. 已知正三棱柱所有棱长都相等，它的六个顶点都在半径为的球面上，则此正三棱柱的体积为______. 【答案】18 【解析】 【分析】设为外接球的球心，为底面的中心，正三棱柱的棱长为，求出，在中利用勾股定理求出，进而求出正三棱柱的体积. 【详解】如图，正三棱柱中，设为外接球的球心，为底面的中心， 设正三棱柱的棱长为，则，，， ，又平面， 在中，，即，解得，故， 所以正三棱柱的体积. 故答案为：18. 14. 已知函数为上的奇函数，在上单调递增，都有且，则的值域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合单调性可得，利用反证法得出，结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】设，其中， 因为，故， 而，故， 而，故， 若当时，，则， 而，而，矛盾； 若当时，，则， 故，矛盾， 故，而为奇函数，故，其中， 而为上的奇函数，故，故. 当时，， 当时，则， 因为，则，则，且， 所以的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤． 15. 如图，且且且，平面. （1）若M为的中点，N为的中点，求证：平面； （2）若点P在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长. 【答案】（1）证明:依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴， 轴，轴的正方向建立空间直角坐标系． 可得，0，，，0，，，2，，，2，， ，0，，，1，，，0，，，，，，0，． 设为平面的法向量， 则，不妨令，可得； 又，可得． 又直线平面， 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面的法向量及，由，结合直线平面，可得平面； （2）设线段的长为，，则点的坐标为，0，，求出，而为平面的一个法向量，由直线与平面所成的角为，可得线段的长． 【详解】（1）略； （2）设线段的长为，，则点的坐标为，0，， 可得，而为平面的一个法向量， 故． 由题意，可得，解得，． 线段的长为． 16. 已知数列，，满足. （1）若，，求的值； （2）若，，求数列的最小项； （3）若，，当时，判断是否存在互异的正整数，使得，并说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）不存在，理由如下： 由可得， 所以. 当为奇数时，，则， 两式相加可得，因为， 当为奇数时，且单调递减，不存在互异的奇数，使得. 当为偶数时，，则， 两式相加可得，因为，，所以， 当为偶数时，且单调递增，不存在互异的偶数，使得. 当为奇数时，，当为偶数时，，所以不存在一奇一偶的正整数，使得. 综上，数列中不存在互异的正整数，使得. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件分别求出和，从而求得，代入求值即可； （2）根据题设条件求出与的递推关系式，通过分析数列的单调性得出最小项； （3）根据题设条件求出，分类讨论当为奇数和偶数时，求出数列的奇数项和偶数项的单调性，即可得出结论. 【小问1详解】 由，可得， 由，可得， 所以，， 故. 【小问2详解】 由，可得， 所以， 所以，当时，，即， 当时，，即， 所以数列的最小项为. 【小问3详解】 数列中不存在互异的正整数，使得，理由略 17. 已知定义在上的两个函数，. （1）求函数的最小值； （2）设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后利用导数求函数的最值即得； （2）构造函数，题设等价于恒成立，求实数k的最大值，然后利用导数研究函数的性质，求出k的最大值进而即得. 【小问1详解】 因为，， 所以，，则，令，解得， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 【小问2详解】 由，可得， 作出函数与的大致图象，则直线与两函数图象有交点， 设， 则题设等价于恒成立，求实数k的最大值，且， 所以， 由，可得，且， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 设，则，函数在上单调递增， 又，则， 解得，则，即， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，进而把问题转化为求最值问题，然后利用导函数结合条件即得. 18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，. （1）求C的方程； （2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标； （3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值. 【答案】（1） （2）（2，2）或（4，2） （3）5 【解析】 【分析】（1）设，进而求出的坐标，利用坐标式向量相等的条件求解即可 （2）设，，联立直线MN的方程和抛物线方程，利用韦达定理求出，，代入得或，利用点斜式求出Q的坐标； （3）根据（2）结论和条件得MN只能过（2，2）点，此时|MN|有最小值，利用韦达定理和两点间的距离公式求出，然后构造函数，通过导函数求出单调区间，利用函数的单调性求出最值 【小问1详解】 ，设，则， 所以得：，解得或（舍）， 所以抛物线C的方程为①. 【小问2详解】 设直线MN：②，，， 联立①②，得. 所以③，，④. ，， 则， . 因为，即：， 即：， 则或，能满足③式. 则MN：，或MN：， 所以定点Q的坐标为（2，2）或（4，2）； 【小问3详解】 如MN过（4，2）点，当时，，但此时M，N重合， 则|MN|无最小值，所以MN只能过（2，2）点，此时|MN|有最小值. 由（2），在④中，令得：，， . 令， 则，. 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以当时，有最小值，|MN|有最小值. . 【点睛】关键点睛：第二问的关键：根据一元二次方程根与系数的关系，结合恒成立，得到直线MN过定点. 19. 已知一个口袋有个白球，个黑球（）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉（). 1 2 3 … （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率； （2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明 . 【答案】（1） （2）随机变量X的概率分布为: X … … P … … 随机变量的期望为： . 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据条件先确定总事件数为，而编号为2的抽屉内放的是黑球的事件数为，最后根据古典概型的概率公式即可求概率； （2）先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数为，所对应的概率，再根据数学期望公式得，利用性质，进行放缩变形：，最后利用组合数性质化简，可得结论． 【小问1详解】 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: . 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期12月四校联考调研适应性测试 高三数学 2025.12 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 设是公比不为1的等比数列，其前n项和为，设甲：成等差数列；乙：成等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的奇函数满足当时，，若存在等差数列，其中，使得成等比数列，则a的取值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若非空集合，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 为常数 B. 的取值与有关 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________． 13. 已知正三棱柱所有棱长都相等，它的六个顶点都在半径为的球面上，则此正三棱柱的体积为______. 14. 已知函数为上的奇函数，在上单调递增，都有且，则的值域为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤． 15. 如图，且且且，平面. （1）若M为的中点，N为的中点，求证：平面； （2）若点P在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长. 16. 已知数列，，满足. （1）若，，求的值； （2）若，，求数列的最小项； （3）若，，当时，判断是否存在互异的正整数，使得，并说明理由. 17. 已知定义在上的两个函数，. （1）求函数的最小值； （2）设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值. 18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，. （1）求C的方程； （2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标； （3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值. 19. 已知一个口袋有个白球，个黑球（）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉（). 1 2 3 … （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率； （2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $