第28章 锐角三角函数 单元培优检测题 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

《锐角三角函数》单元培优检测题 考试范围：锐角三角函数；考试时间：120分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题4分，共32分） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosB的值等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，若∠A＝α，AB＝4，则AC的长是（　　） A．4sinα B． C． D．4tanα 3．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东41°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东19°的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（　　） A．100海里 B．每里 C．70海里 D．60海里 4．如图，在等边△ABC中，，点D在边AC上，，则CD长为（　　） A． B． C．2 D． 5．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测深圳市罗湖区小梧桐电视塔的高度，已知电视塔AB位于坡度i：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得电视塔AB顶端A的仰角为37°，电视塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（　　）m．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） A．31 B．24 C．60 D．136 6．大理崇圣寺三塔主塔千寻塔是中国四大名塔之一．某校数学实践小组开展测量千寻塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，部分报告内容如表： 测量千寻塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝22.5米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°． …… 已知测角仪的高度为1.5米，点C，E，A在同一水平直线上．根据以上信息，则千寻塔AB的高度约为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A．67.5米 B．69米 C．70.5米 D．72米 7．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么tanA的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 二．填空题（每题4分，共32分） 9．若，则锐角α＝　 　 ． 10．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　 　 米． 11．如图，某港口O位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东40°方向航行，则乙舰艇的航行方向是 　 　 ． 12．如图，将高度AC为20cm的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿A处投射到底部B处．向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时停止注水，光线射到水面O处后发生折射落到底部D处．已知∠A＝45°，直线N'N为法线，∠DON＝32.1°，B，D两点之间的距离为 　 　 cm．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin32.1°≈0.531，cos32.1°≈0.847，tan32.1°≈0.627） 13．如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱EF，GH垂直于地面，AD，BC是两根等长且紧绷的绳子，FG所在的直线为地面，已知∠DCB＝104°，HG＝2.34m，BC＝2m，AB∥CD，当秋千处于静止状态时，木板DC到地面的距离约为 　 　 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01） 14．一个数学小组研究如何用某地的纬度来计算该地所在纬线（圈）的长度．各成员查阅相关资料，得到如下信息： ①地球半径约等于6400km； ②如图1，在地球仪表面，与地轴垂直并环绕地球一周的圆圈叫做纬线（圈）； ③如图2，OA为地球半径，弦BC∥OA，∠α的大小为点B所在地纬线（圈）的纬度．根据以上信息，北纬24°纬线（圈）的长度约为　 　 千米． （结果保留π，参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） 15．如图，在一个房间内，一把长1.5米的梯子CD斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为75°，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为CE），此时梯子与地面夹角为45°，那么D、E两点间的距离是 　 　 米． 16．如图，分别经过原点O和点A（4，0）的直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共56分） 17．计算： （1）2sin30°+cos30°tan60°+sin230°+cos230°； （2）． 18．在△ABC中，AC＝4，∠A＝30°． （1）如图1，当∠C＝90°时，求BC； （2）如图2，当∠C＝105°时，求BC． 19．如图，A、B、C、D分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了BA、AD、BC、CD四条健身步道．经勘测，景点A在景点B的正北方向且AB之间距离为200米，景点D在景点B的东北方向，且在景点A的北偏东75°方向，景点C在景点B的南偏东75°方向，且在景点D的南偏西15°方向．（参考数据：，） （1）求景点A、D之间的距离（结果精确到个位）； （2）小明和小颖用相同速度同时从景点B出发去景点D，小明选择路线 B﹣A﹣D，小颖选择路线B﹣C﹣D，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点D． 20．“1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面OD与水平地面HG平行，操作面离地面的距离OH＝1米，伸缩臂CO可绕着点O旋转，点A在OD上，AB为云梯的液压杆，其中AB可伸缩，已知套管OB＝3米，且套管OB的长度不变．消防员为大家介绍：此时，∠AOB＝30°，∠BAD＝60°，CE⊥HG于点E，交OD于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面CE＝5.5米的高处． （1）求此时液压杆AB的长度；（结果保留根号） （2）通过消防员的操作，云梯伸缩臂CO绕点O逆时针旋转23°并伸长至OC'，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至C'，请问伸缩臂OC'比伸缩臂OC伸长了多少米？ （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，结果精确到0.1） 21．【教材呈现】现行人教版九年级数学下册教材85页“拓广探索”中第14题原题如下： 如图，在锐角△ABC中，探究，之间的关系（提示：分别作AB和BC边上的高）． 【证明结论】借助图，求证：； 【结论应用】在△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝5，请利用以上结论求AB的长． 22．【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（t）的数据，并绘制图象如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）摩天轮最高点距地面　 　 （米），摩天轮最低点距地面　 　 （米）； （2）求摩天轮的半径； 【问题解决】如图2，摩天轮从点A旋转到点B需6分钟，且A，B两点与地面距离相等，即AC＝BD． （3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点A旋转到点B的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B A B B A 二．填空题 9．60°． 10．2.6． 11．南偏东50°． 12．3.7cm． 13．0.4． 14．11648π． 15．1.5． 16．． 三．解答题 17．解：（1）2sin30°+cos30°tan60°+sin230°+cos230° ＝2（）2+（）2 ＝1 ＝3； （2） ＝（）212 1+1 ． 18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，设BC＝x，则AB＝2BC＝2x， ∴， ∵AC＝4， ∴， ∴， ∴． （2）作CD⊥AB于D， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴∠1＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∠2＝∠BCA﹣∠1＝105°﹣∠1＝105°﹣60°＝45°， ∴∠B＝90°﹣∠2＝90°﹣45°＝45°， 在Rt△CDA中， ∵∠A＝30°，CA＝4， ∴， ∵∠B＝∠2， ∴BD＝CD＝2， ∴． 19．解：（1）过A点作AH⊥BD于H点，如图， 根据题意得∠EAD＝75°，∠ABD＝45°，∠CDG＝15°，AB＝200米， ∵∠EAD＝∠ABD+∠ADB， ∴∠ADB＝75°﹣45°＝30°， 在Rt△ABH中，∵∠ABH＝45°， ∴AH＝BHAB200＝100米， 在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°， ∴AD＝2AH＝200283（米）， 即景点A、D之间的距离为283米； （2）如图，根据题意得∠FBC＝75°， ∵AB∥DG， ∴∠BDG＝∠ABD＝45°， ∴∠BDC＝∠BDG﹣∠CDG＝30°， ∵∠DBC＝180°﹣∠ABDF﹣∠FBC＝180°﹣45°﹣75°＝60°， 而∠BDC＝30°， ∴∠BCD＝90°， 在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°， ∴DHAH100100（米）， ∴BD＝BH+DH＝（100100）米， 在Rt△BCD中，∵∠BDC＝30°， ∴BCBD（100100）＝（5050）米， ∴CDBC（5050）＝（50150）米， ∵AB+AD＝200+200482.8（米），BC+CD＝505050150200100527.7（米）， ∴AB+AD＜BC+CD， ∵小明和小颖用相同速度同时从景点B出发去景点D ∴小明先到达景点D． 20．解：（1）作BM⊥OD于点M， ∴∠BMO＝90°， ∵∠AOB＝30°，OB＝3米， ∴BMOB（米）， ∵∠BAD＝60°， ∴AB（米）． 答：液压杆AB的长度为米； （2）作C′N⊥OD于点N， ∴∠C′NO＝90°， ∵CE＝5.5米，OH＝1米， ∴CF＝5.5﹣1＝4.5（米）， ∵CE⊥HG，OD∥HG， ∴CE⊥OD， ∴∠OFC＝90°， ∵∠AOB＝30°， ∴CO＝2CF＝9（米）， ∵云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至C'， ∴C′N＝4.5+4＝8.5（米）， 由题意得：∠COC′＝23°， ∴∠NOC′＝53°， ∴OC′8.5÷0.8＝10.625（米）， ∴OC′﹣OC＝10.625﹣9≈1.6（米）． 答：伸缩臂OC'比伸缩臂OC伸长了约1.6米． 21．[证明结论]证明：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E， 由三角函数可知，AD＝c•sinB， 由三角函数可知，AD＝b•sinC， ∴c•sinB＝b•sinC， ∴， 由三角函数可知，EC＝sinA•b， 在Rt△BEC中，， ∴EC＝sinB•a， ∴sinA•b＝sinB•a， ∴， ∴； [结论应用] 解：∵△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°， ∴∠A＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由题意得， ∴， 解得：． 22．解：（1）由题意可得：摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米． 故答案为：108，3； （2）由题意可得：摩天轮的直径是108﹣3＝105米， ∴摩天轮的半径是52.5米． 答：摩天轮的半径是52.5米； （3）∵摩天轮顺时针旋转一周需要20分钟，摩天轮从点A旋转到点B需6分钟， ∴所对圆心角的度数． 连接AB，作OE⊥AB于点E． ∴∠AEO＝90°． ∵∠AOB＝108°，OA＝OB， ∴∠AOE＝54°． ∵OA＝52.5， ∴OE＝OA×cos∠AOE≈52.5×0.59≈31.0（米）． ∴点A到地面的距离为：31.0+52.5+3＝86.5（米）． ∵86.5＞82， ∴从点A旋转到点B的全过程能够获得最佳观赏效果． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 23:24:56；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $