精品解析：广西壮族自治区柳州市2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

柳州市高中2025级12月联考试题 高一数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意： 1.请把答案填写在答题卡上，否则答题无效. 2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题. 3.选择题，请用2B铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑.非选择题，请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算可得结果. 【详解】由集合，所以. 故选：A. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的零点，再得到所在区间即可. 【详解】令，解得， 而，则零点所在的区间是，故C正确. 故选：C 3. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定得出结论． 【详解】命题，，则命题的否定为，. 故选：D 4. 已知函数，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中分段函数解析式代入求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 故选：C. 5. 设，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解出分式不等式的解，再判断充分性和必要性即可. 【详解】由，得到，解得或， 又“或”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 当时， C. 当时，的最小值为2 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 7. 我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.那么当“进步”的是“落后”的5倍，大约经过（ ）天. 参考数据：，， A. 100 B. 90 C. 80 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】依题意列方程，两边同时取对数，利用对数运算求值即可. 【详解】设x天后“进步”的是“落后”的5倍， 则，即，两边同时取对数得， 化简得， 所以， 故当“进步”的是“落后”的5倍时，大约经过80天． 故选：C 8. 定义在上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性将原不等式合理转化，再分类讨论求解不等式，得出解集即可. 【详解】由题意得，则在上单调递增， 因为，所以是奇函数， 可得，在上单调递增， 因为，所以， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 若，则或， 当时，解得，当时，此时无解，排除， 则不等式的解集是，故B正确. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断；对于D：利用作差法分析判断. 【详解】对于选项A：若，例如，则，故A错误； 对于选项B：若，则， 可得，即，故B正确； 对于选项C：例如，，，满足，， 但，故C错误； 对于选项D：因为， 若，，则，， 可得，所以，故D正确； 故选：BD. 10. 狄里克雷是解析数论的创始人之一，1837年他提出“狄里克雷函数”，，下列叙述正确的是（ ） A. 的值域为 B. C. 是偶函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据函数表达式即可判断；对于BC， 分是有理数和是无理数讨论求解判断；对于D，取，计算可判断. 【详解】对于A，由，可得的值域为，故A正确； 对于B，当是有理数时，， 当是无理数时，，， 故D，故B正确； 对于C，当是有理数时，也是有理数，； 当是无理数时，也是无理数，， 故对任意实数，都有，即是偶函数，故C正确； 对于D，取，，则，，显然D错误． 故选：ABC. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域是 C. 与表示同一个函数 D. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的定义域和对应关系可判断ABC；利用韦达定理得到的关系，代入目标不等式化简即可求出解集，可判断D. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，错误； 对B，由解得且，即的定义域为，正确； 对C，函数和的定义域都是，对应关系也相同，是同一函数，正确； 对D，因为关于的不等式的解集为， 所以，且和是方程的两根， 由韦达定理得，即， 所以不等式, 解得，所以不等式的解集为，正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，函数为幂函数且在内是单调递减，可进行列式，即且即可完成求解. 【详解】由题意得，函数为幂函数且在内是单调递减，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知函数，是偶函数，则a+b=________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答. 【详解】因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即，解得， 显然，，即，整理得， 而不恒为0，于是得，解得， 所以. 故答案为：4 14. 已知函数满足，则在区间的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用恒等式通过消元思想求解，再利用对勾函数性质可求最值. 【详解】由可得：， 两式消去可得：， 由对勾函数性质可知：在区间上单调递减，在上单调递增， 由于， 所以在区间的最大值是， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的性质及运算法则化简求值；（2）对题目条件平方求值代入即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 已知，, , . 16. 已知，：关于的方程的两根均大于0，：，. （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出命题为真时参数的取值范围，即可得解； （2）首先求出命题为真时实数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论，分别计算可得. 【小问1详解】 若命题：关于的方程的两根均大于为真命题， 则，解得， 所以当命题为假命题时或， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若，，即，， 设，故只需，所以， 即命题为真时实数的取值范围为； 因为，有且只有一个是真命题， (i)若真假，结合（1）中结论可知，则，解得； (ii)若假真，结合（1）中结论可知， 或，解得或， 综上所述，实数的取值范围为. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求，的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）在上为减函数，证明： 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，时，原函数为奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 18. 壮锦是中国壮族传统手工艺，与云锦､蜀锦､宋锦并称中国四大名锦，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录，采用通经断纬编织法，以色彩斑斓､图案精美著称.如图所示，现有一壮锦平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形图案，其中阴影部分（四个相同的矩形）和中间小正方形面积之和为.正方形部分需要手工编织，造价为900元/；四个矩形（图中阴影部分）需要机器编织，造价为100元/；四个空角（四个等腰直角三角形）需要简单点缀，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：） （1）请用表示的长； （2）请求出关于的函数关系式，并求出的取值范围； （3）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】（1），. （2）（元）， （3）当时，最小，为元. 【解析】 【分析】（1）根据给出的面积列式，可用表示的长. （2）根据各部分的造价列式即可. （3）利用基本不等式求和的最小值. 【小问1详解】 由题意，设，则，. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 因为，（当且仅当，即时取等号）. 故当时，最小，为元. 19. 若函数满足：对定义域内的任意，存在常数，，使得，则称是“中心对称函数”，且对称中心是点. （1）证明点是函数的对称中心； （2）已知函数的对称中心是点. ①求实数的值； ②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：由题意，函数，可得， 所以函数的图象关于点对称. （2） ①；②. 【解析】 【分析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称. （2）①根据函数的定义，利用，即可求得. ②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为函数且的对称中心是点， 可得，即，解得，（舍）. ②因为， 所以， 由可得， 又因为，所以. 因为在上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 由在上的值域为， 所以， ， 即， 即为方程的两个根，且， 令， 则满足， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市高中2025级12月联考试题 高一数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意： 1.请把答案填写在答题卡上，否则答题无效. 2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题. 3.选择题，请用2B铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑.非选择题，请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 设，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 当时， C. 当时，的最小值为2 D. 当时， 7. 我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.那么当“进步”的是“落后”的5倍，大约经过（ ）天. 参考数据：，， A. 100 B. 90 C. 80 D. 75 8. 定义在上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 狄里克雷是解析数论的创始人之一，1837年他提出“狄里克雷函数”，，下列叙述正确的是（ ） A. 的值域为 B. C. 是偶函数 D. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域是 C. 与表示同一个函数 D. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______． 13. 已知函数，是偶函数，则a+b=________. 14. 已知函数满足，则在区间的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）已知，求的值. 16. 已知，：关于的方程的两根均大于0，：，. （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求，的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 18. 壮锦是中国壮族传统手工艺，与云锦､蜀锦､宋锦并称中国四大名锦，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录，采用通经断纬编织法，以色彩斑斓､图案精美著称.如图所示，现有一壮锦平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形图案，其中阴影部分（四个相同的矩形）和中间小正方形面积之和为.正方形部分需要手工编织，造价为900元/；四个矩形（图中阴影部分）需要机器编织，造价为100元/；四个空角（四个等腰直角三角形）需要简单点缀，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：） （1）请用表示的长； （2）请求出关于的函数关系式，并求出的取值范围； （3）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 19. 若函数满足：对定义域内的任意，存在常数，，使得，则称是“中心对称函数”，且对称中心是点. （1）证明点是函数的对称中心； （2）已知函数的对称中心是点. ①求实数的值； ②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $