福建省厦门第一中学2024-2025学年高三下学期数学期末复习圆梦卷（五）（高考同源卷）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦卷（五)一一考前热身卷 大鹏一日随风起，扶摇而上九万里。慕鸿鸿树千里高志，迎六月展万里鲲鹏」 (本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.） 注意有项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型 (B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”， 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上： 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知集合A={-2<2},则AnZ=·) A.O B.12 C.{2,3} D.{1,2,3} 2.已知复数2=2+4 1-i (1为虚数单位)，那么z的共轭复数为 a c D 3.已知平面内三点A(1,0),B(0,),C(2,3),则向量B在AC上的投影向量为() A别 B.(2,6) c. 13Y 726 10'10 D. ō'0 4.函数/()-os的部分图象大致为( 产女的 5.等差数列{a}的前n项和为Sn满足S=a+4+a若4，a2an成等比，则m=（) A.6 B.5 C.4 6.已知x>0,y>0,且2x+8y=y,则x+y的最小值是() A.10 B.15 C.18 D.23 第1页（共4百） 7、已知为曲线y=cosx与y=si血(2x+p0≤p<网的一个交点的横坐标，则函数)=sin(2x+)的- 个单调增区间为() [周 c周 2π7π 8.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2,3,4，·，2024共2023个正整 数，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲 再擦去一个数)，如此下去，若最后剩下的两个数互质（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判 乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是() A器 B器 C.1013 1014 D. 2023 2023 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知某地社交媒体用户的日活跃时长X(单位：小时)服从正态分布N(2.4,0.7),则( A.E(X)=2.4,D(X0=0.7 B若P(X≤1)=P(X2b),则b=3 C.PX≤0.3)+P(X245)<P(0.3<X<4.5)D.P0X-2s0.7)2P0X-3≤0.7) 10.已知抛物线C:x2=4y,F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（) A.若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为(-2W5,3、(25,3) B.抛物线C在点(-2,1)处的切线方程为x+y+1=0 一个顶点在原点0的正三角形与抛物线相交于A、B两点，△OAB的周长为8√ D.点H为抛物线C的上任意一点，点G(0,-),HG=H阿，当t取最大值时，△GFH的面积为2 11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科如图，球O的半径为R,A,B,C为球面上 三点，劣弧BC的弧长记为a,设O,表示以O为圆心，且过B,C的圆，同理，圆O。,O.的劣弧AC, AB的弧长分别记为b,c,曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角形，若a=b=c,则称其为曲面等边 三角形，线段OA,OB,OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC,设 ∠BOC=a,∠AOC=B,∠AOB=Y,则下列结论正确的是( A.若平面△ABC是面积为5R的等边三角形，则a=b=c=R B.若a2+b2=c2,则a2+B2=y2 C.若a=b=c=R,则球面0-ABC的体积>5R 3 12 D.若平面△ABC为直角三角形，且∠4CB=,则a2+b>c2 ?页“总 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2+2x+ 的展开式中常数项是 13、已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2,BC=1,CD=√5，若二面角A-BD1C的大小是120， 则该几何体的外接球表面积为 14.已知两点M(√5,0，N5,0,动点P满足∠MPN=60,直线x-my=0与动点P的轨迹交于A、B两 点当m=1时，AB=一；当m∈R时，.M店的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 记△MBc的内角AB,C的对边分别为ab,o,已知曲4+3c8+引-0，c=历 (1)求C: (②)若D是AB边的中点，且CD=√3，求△ABC的面积. 16.(15分) ,如图，三棱台ABC-ABC中，AB=8,AC=6,AA=13,A8=4,AB1AC,A在底面ABC内 的射影为BC中点. (1)求三棱台的体积： ②)求平面ABB,4与平面BCCB夹角的正弦值. 17.(15分) 某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 ()由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数，加以说明（保留小数点后 两位)：（若>05，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程： 第3页（共4页） (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的 颜率分别为宁、名子且出学技与进学校选择相同门的概率为号选精与入妆不同两门的概率各为号 假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参 加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差 附：参考数据： 含=n,-5,4 27=95.86,Vi58,6≈12.59， xM- 参考公式：回归直线方程y=x+a,其中6=包 ，a=y-6x xy-nxy 相关系数"= 18.(17分) 正知函数f(x)=xr-1,g(x)=am2-(a-2)x (①若m-l<f(x)恒成立，求实数m的取值范围： (②)已知a<0,设函数h(x)=f(x)-gx),讨论h(x)的单调性； 3)设函数Gx)=g(x)+(a-2)x,若函数f(x)的图象与G(x)的图象有A(:,),B(x)两个不商 的交点，证明：血()>2+血2. 19.(17分) 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”， 正方形A为曲线C的一个“切立方” (1)圆x2+y2=1的一个“切文方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直 线的方程： 尼知正方形A的方程为F2且正方形A为双曲线千广1的一个“切立方，求该双曲线 的离心率e的取值范围； ()设函数y=x-x的图象为曲线C,试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 第4页（兴4西） 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦试题（五）参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.【答案】D2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】C7.【答案】D 8.【答案】B 8.【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看栽判擦去哪个数， 注意2,3,4，，2024中有1011个奇数，1012个偶数 (1)若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜 (2)若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜 理由如下：设栽判擦去的是2m,则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一侧的相邻两数组成： (2,3),(4,5),,(2m-2,2m-1,(2m+12m+2),…,(2023,2024). 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所促对中的另一个数，最后到下两个相邻的鉴数，它们互质，故甲 必获胜， 甲获胜的概率为1012 2023 故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小愿给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分。有进铺的得0分 9.【答案】ACD 10.【答米】ABD I1.【谷案】BC L【详解】若平面ABC是西积为心的等边三舟形，阅相~BC=4CeR,则a=月=7号 a小=cRA不正疏 若a2+b2=c,则(aR+(BR=(yR,则a+F=B正 若a=b=c=5R,则a=B=y=5,AB=BC=AC=R, 3 1R=⑤R 则平面△8C的外接圆半径为2如了，慰O到平面1BC的距疼：= 3 三槌谁0-HC的体积Y。=,Sau3 高三盘李试更毛第1页（共8） 则球面0-BC的体积y>ac一品R:C正瑰 12 [BC2=2R2-2R'cosa, 由余弦定理可知4C=2R-2Ros,因为C受，所以BC2+4C2u8,则eosa+o0-coy1 AB2=2R2-2R'cosy, 取a=0=好y=子则a=b=背，e=, 3 2 则2+.2纪R<Rc2D不正确 4 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.【答案】61 13.【答案】52z 9 14.【答案】√5+4 6 14,【详解】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等可知，不妨设点P在x轴上方时， 由∠MPW=60可每∠MP0=30°，又OM=V3,所以OP=3, 设四的半径为r,所以在RtAMOP中，(（3-r'+3=2,解得r=2, 所以点P的轨迹为以(O,1)为圆心，2为半轻的圆中MW所对应的优弧，不包括断点， 又对称性可得x轴下方也满足，图形如下： x2+0-1=4y>0 可得点P的轨迹方程为 r2+0+1)2=4y<0 当m=1时，直线方程为x-y=0, +0-=4,器x1生5 联立{ x=y 2 同海 所=++1+2hi4 高三发学试廷喜第2天（共8天） 当mR时，设A(xy),由对称性可得(-x,y), 所以-+5yx+5,-y上3k+y) 由几何意义可得x+y表示点A到原点距离的平方，所以⑦B的最小值为-6. 故答案为：√互+4：6. 四、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)由sm4+3cos +到 =0得：s血A-3s血B=0, …2分 由正弦定理得：4=3b, 又c=√b,由余弦定理得： cosC=+b-c982+B-761 …4分 2ab 2x3bx b 2 又Ce(0,,C= 3 44844444444444444…6分 2)由0为8中点知：而-0+0莎，所以0=C+酒，…7分 两边平方得：4CD2=C+C丽2+2@C⑧=C+C丽2+2引Ci1C丽cos4C8,…9分 由1)知a=0,C-=子，所以4回=+0+2bx3bcos目 解得=4，所以b=2,a=6.… …1分 又5a=sc=x6x2x5=3W5. 2 2 所拟△ABC的面积为3√万.… …l3分 16.(15分) 【解】(1)取BC中点为D,连接AD,AD,由题意，AD为三棱台的高， 因为AC1B,AB=8,4C=6,所以BC=10,则AD=二BC=5,…2分 又因为4=13，所以4D=132-了=12， 因为4精-4，且△8Ca4G,绍-所以 48) …4分 S.ABC AB 所以△ABC的面积为与×6x8=24,则△48G的面积为×24=6， 高三张李试是卷第3页（共8页） 所似三搜价的体积为X12x(6+24+V6×24)-168,…6分 (2)以B,AC分别为x,y轴，过点A作z轴⊥平面ABC, (3)建立空间直角坐标系， 则B(80,0),C(0,60,D(43,0,4(43,12), 又再=西=40.o0,4G=c-0,0,所以g832,9462, 所以瓜=(4,312)，丽=(8,00），C-(-86,0）,CC=(4.0,12……8分 [月石=4红+3y+12z=0 设=(：只2)为平面ABB,A的法向量， 7.B-8x=0 取方=(04-l):…10分 设m=(,,)为平面BCCB,的法向量 m,BC=-8x+y1=0 m.CC=4%+12a,-0 取元=（-3,4,1)，… …2分 设平面ABB,A与平面BCC,B,夹角为8， 所以cosi,i= m.n 17 同17×√26√26 14分 则si0=1-cos -i7 326 26 26 所以平面A8R4与平面BCC8夹角的正弦值为3V26 …5分 26 17.(15分) (①依题高，x-1+2+:+4+5=3,而2形=72， …1分 5 2=5,y=4, 2-网 72-5×3×4 12 01259095.…2分 12 则r= V55-5×32V95.86-5x42 h58.6 因为r0.95>0.75时线性相关程度高，所以y与x线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合.3分 立-5网 6= 72-5x3×4 55-5×32 l.2,a=y-6证=4-l2x3=0.4,…5分 因此，回归方程为y=1.2r+0.4,… …6分 高三数学试题卷第4页（共8页） (2)记“甲从2号门出学校"为迹件A,“甲从1号门进学枚"为事件B, “甲从2号门进学校“为亦件C,“甲从3号门进学校“为事件D, 由驱底可得P()-之PG)-=名，P(D)=号 P4=P4o)名P氏4g-子， 由金概率公式得：P(A)=P(BA+CA+DA)=P(BA)+P(CA)+P(D) op4g+q4q9Por4o-分号 …8分 同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为行 X为4人中从2号门出举技的人数，则X-4号》 …9分 --嘉Px--c月 --c得嘉Px-c得品云 …13分 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 81 27 3 1 256 64 128 256 2(X)=4x1,D(X)=4 13_3 444 …15分 18.(17分) （1)易知(x)=nr+1 令0，得：很，所以f在怎+上单谓递端： 令<0，得xe, 所以在(0，})上单调递减。 所以f儿的最小值为/（得1…2分 e 由m-1c/恒成立知，m-1<f=-1, 故m<- …3分 (2)由题知h(x)=f'()g)=nx-m2+白-2F+1,定义域为(0，+o), 高三数学试题卷第5页（共8页） 所以)-上-2狐+a-2列=2am+a-2+12x+1+1, …4分 当台≥0时，倒在(0》上单润通增，在行+上单调递减一…5分 当-2<a<0时，令0，得x(信+0到 所以6在合+(》单满随增 令k0,得xe侵引所以在行)上单调逼减 当a=-2时，(x)20,h(x)在(0，+0)上单调递增： 4144t44门分 当2t、令0，得x传+0-； 所以6在行+如（。-日上单调递增， ◆水0，得x(》所以4在为》上单莲流 …8分 像上可知，当a2≥0时，4在(》单瑞嘴，在合+网上单清途 当-2<a0时，在台+©小（向时》上举潮造端：问在径一上单调莲藏 当a=-2时，h()在(0，+∞)上单调递增： 当<-2时，在经+(0-日》上单瑞赠在台引上单递 …9分 (3)显然G(x)=g)+(a-2)x=d2, 因为函数()的图象与G(x)的图象有两个不同的交点。 所以关于x的方程a心2=x-1,即ax=r-有两个不同的根。 由暖知=头宁0，此=h古@， ⑨。，，，，，4：，44n4中134【0寸 ①+②得(%+)=}t五@， -0得46}@ 由号得4()2t兰 x名， 不妨设0<劣<名，记1=点>1， ◆r-2er0->0 高三数学试题卷第6页（共8页)