福建省厦门第一中学2024-2025学年高三下学期数学期末复习圆梦卷（四）（高考同源卷）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦卷（四） 书山比豪气，看咱学子登顶折桂。学海竞风流，瞧我飞舟劈浪夺魅」 (本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟，) 注意事项！ 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型 (B)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”， 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效。 4,考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 则AUB=() A.（-1,2] B.{0,1,2} C.[-2,3) D.{-2,-1,0,1,2 2已知复数z与 互为共轭复数，则复数z的虚部为（) 2-i A.-1 B.-i C.-2 D.-2i 3.设4，h2,是三条不同的直线，a,B是两个不同的平面，且a∩B=,2ca,4c9)则“l∥4”是 “4∥12”的() A·充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知一组数据为-1,1,3,4,5,7.10,11，若n为这组数据70%分位数，则(2x-y)的展开式 中xy3的系数为（) A.280 8.-280 C.560 D.-560 5已知双曲线c:上之 a京=1(a>0,b>0)的离心率为 1 则其渐近线方程为（) 0s30° A.y=+2x B.y=±V5x C.y=+-x D.y= 3 6.如图，高为h的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是() 第1页（共4页） D 0.8h 7.已知数列(a,)满足a,=(←-2，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为372，则 写错之前这个数为( A.64 B-81 C.100 D.-121 8已知函数f因=b-2rf 若对任意x∈(0，)，有f(x)f(x+1)<0,则正整数a的最小值为 (参考值：n2≈0.69，n3≈1.1)() A1 B.2 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知向量a,5满足a-2闭=万，日-同=1，则() Aa与6的夹角为2 3 且à与方的夹角为号 c.}2a-3-四 D.aL(a+2b) 10已知函数f)=1+，则（） sinx cosx B.f(x)的最小正周期为2π C.f(x)在区间 上单调递减 D.f(x)在区间(0,2m)上仅有2个零点 11.平面直角坐标系xO中，曲线E上任一点M,满足到点E(（1,0),F(1,0)的距离的倒数和为定值， 即网十M网>0，则下列说法正确的是( 1. A.对于不同1值，曲线E总是关于y轴对称 B当元=2时，曲线E经过原点 C.当=1时，M+ME的取值范围为4,2+2W2 D.当入=3时，x轴上存在4个不同的点在曲线E上 书2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分、 2已知a,b>0loga-13,log26=-0.15,则号一 13.如图所示，两直角三角形共斜边MW,且MW=L,MB-MA= M-- 设∠AMN=B,∠BMN=a&,则cos(B-a)= 14.图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次将导致自身和所有相邻 的开关改变状态.例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)改变状态.如果要求改变 (①1)，(22)，(3,3)的状态，则需按开关的最少次数为；如果只要求改变(2,2)的状态，则需按开关的 最少次数为 (410 (1,2) (1,3) (2) (22) (2,3) (3, 3,2) (3,3) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知8为数列{a,}的前n项和，且a=la=⑤n+⑤，、 (1)求数列{a}的通项公式： (②)设6，-是，数列，}的前n项和为，证明： -z号 16.(15分) 在平面直角坐标系中，0为坐标原点，椭圆C:+片=1(>b>0)的左，右焦点分别为、区 42,V)为椭圆C上一点，且满足A+A严V2FE: (1)求椭圆C的方程： (2)在直线x=4上取一点P,连接PE交椭圆C于两点M、N,若S△oPw:S△opw=1:3,求点P 的坐标 第3页（共4页） 17.(15分) 如图，AABC,△DBC,△EBC都是等边三角形，点D,E分别在平面ABC的上方和下方，点O为BC 中点。 (1)求证：A,D,O,E四点共面： 2)若AD=AB=25,求直线OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值. 18.(17分) 已知函数f(x)=e+te(teR) (1)若曲线y=∫(x)在x=0处的切线平行于直线3x+y+1=0,求t的值以及函数f(x)的最小值： (2)证明：对-切的m,n>0,m≠n,都有，m-n<m+n Inm-Inn 2 (3)当t=0时，若曲线y=f(x)与曲线y2=2px(p>e)存在两交点A,B,记直线AB的斜率为k, 证明：k<√D 19.(17分) 经典比特只能处于“0”态或“1”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“0”或“1”的叠加态， 某台量子计算机以序号1,2,3，…，2kk∈N的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的 处于“0”态（下旋状态）或“1”态（上旋状态），现记序号为奇数的粒子中，处于“0”态的个数为X, 序号为偶数的粒子中，处于“1”态的个数为Y (1)当2k=4时，求随机变是X的分布列和期望； (2)在这2k个粒子中，求事件“X=Y”的概率 6)在越以个常子中，令凯变7-+以-外.E项)-倍+】 (参考公式：CC+CC+…+CC吃=C(i=0,1,k),C=nC) 第4页（共4頁） 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦试题（四）参考答案及评分标准 一、选择题，本题共8小题，每小概5分，共40分.在每小恩给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的、 1.【答案】C 2.【答案】A3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】B 8.【详解】由f(x)f(x+)<0,知f(x),f(x+1)都不为零， 所以f(x)在(0,1)和(1,2)上都没有零点 于f得/[)=付行+小0故/在引有点 二者结合，可知f(1)=0,而f(x)在(0,1)和(1,2)上分别取固定的符号，且符号相反 所以0=f0=b-a,得b=a,故f(x)=a-21nr-9 0r子2-水-0回 所以当x∈(0，Va)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(Va,+o)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减 当Va≥2时，对任意x∈(0,1)，fxfx+)<0恒成立 当1≤a<2时，满足2)20，即a-2hn2-≥0，解得a≥8ln2≈1.84. 所以正整数a的最小值为2. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】ACD 10.【答案】ABD 11.【答案】ACD 11.【详解】对于A,因为F(-1,0),E(1,0),可知O(0,0)为线段FF的中点， 又动点M满起M丽丽=1>0)，设动点M关于)y轴对称的点为M, 高三数学试题卷第1页（共8页） 则=M,,M=M,H可得M,因十M丙，所以击线E关于y结对称，故A正： 对于B,当入=时，将原点O0,0)代入，得0丽十0丽2产立散B错误 对于c,当=1时，证M-> M >0,可得M>1. gwg1-wsIs5-2.-52.g45ss25 器-2 令t=M-1∈[5-1，V5+小，则ME+ME=t+,+2,由对勾函数可知f(0=++2在 [V2-1,1]内单调递减，在，V2+1内单调递增，且f()=4,f(2-1=f(小2+1=2+2巨， 可得f0∈[4,2+22]。 所以M+MEl∈4,2+2W2, 故C正确： 对FD.当1=3时，设量线E在：鞋上的点为x0,由圆意得中-可3， 因为曲线图象关于y轴对称，不妨考虑x>0的情形， 当x>1时，方程化为3x2-2r-3=0,解得x=1+d 3 当0<x<1时，方程化为3x2=1,解得x= 故x>0时，x轴上有2个点，所以x轴上存在4个不同的点在曲线E上，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】4 a【划号 14.【答案】35 14【详解】显然每个开关按下的顺序是无关紧要的，同时如果一个开关被按两次，则相当于一次都没有按 所以当我们考虑按开关的最少次数时，可以只考虑每个开关至多被按一次的全体操作，且无需考忠顺序， 总共2°种操作，这2”种操作称为“基本操作” 高三数学试题卷第2页（共8页） 先证明4个引理. 引理1：对任恋一个开关，我们都可以进行按有限次开关的操作，使得只有该开关状态改变，其它开关状 态不变 证明：分别按下(2,2)，(1,2)，(3,2)，(2,1)，(2,3)即可只改变(2,2)的状态 分别按下(1,3)，(2,3)，(3,3)，(2,2)即可只改变(2,1)的状态： 分别按下(1,1)，(2,1)，(3，)，(2,2)即可只改变(2,3)的状态： 分别按下(1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)即可只改变(3,2)的状态： 分别按下(3,1)，(3,2)，(3,3)，(2,2)即可只改变(1,2)的状态： 分别按下(11)，(2,2)，(3,3)，(2,1)，(3,2)，(2,2)，(1,3)即可只改变(13)的状态： 分别按下11)，(2,2,3,3)，L,2),(2,3),(2,2),(3,1)即可只改变(3，)的状态： 分别按下(3，)，(2,2)，(1,3，(2,3)，(3,2，(2,2)(1,1)即可只改变(1,1)的状态： 分别按下(3，)，(2,2)，(1,3)，(2,1)，(L,2),(2,2),(3,3)即可只改变(3,3)的状态 综上，引理1得证 引理2：对任意一些开关，我们都可以进行按有限次开关的操作，使得只有指定的那些开关的状态改变， 其它开关状态不变 引理3：对任意一些开关，我们都可以执行一个基本操作，使得只有指定的那些开关的状态改变，其它开 关状态不变 引理4：对任意一些开关，使得只有指定的那些开关的状态改变的基本操作是唯一的. 回到原题， 前文已经提到，当我们考虑按开关的最少次数时，可以只考忠基本操作 但根据引理4，每组指定的开关对应的恰好改变它们状态的基本操作一定是存在唯一的. 所以，这一唯一存在的基本操作，就是所求的次数最小的操作 验证即知，要改变(1，)(22，(33)，对应的基本操作是分别按下(1，)，(2,2).(33)，所以要改变(1).(2,2)，(3,3)的 状态至少需要按下3次开关： 验证即知，要改变(22)，对应的基本操作是分别按下(2,2)，(L2),(3,2),(2,),(2,3),所以要改变(2,2)的状 态至少需要按下5次开关 故答案为：3,5， 四、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步赛 高三数学试廷卷第3页（共8页) 15.(13分) 【详解】(1)解：因为a1=5+V5,a=5n4-S,所以S1-5,=51+S, 又因为a=1,所以√Sn+S,*0,所以VSn4-√S,=1, 所以尽}是公差为1的等差数列则√⑤，=√⑤+n-=n,所以S,=n2. 当n≥2时，a,=S,~S=n2-(n-)2=2n-1, 当n=1时，a=1满足上式，所以a,=2n-1 (2)证明：由题意及(1)，得6，=2n」 所以z=+3日o-@ -周3周a-y日+o-小r,@ 0@-2得+2+2--x份 整理得x引得号 x-+得4e-+- 所以对-5红<亏利正 16.(15分) ()因为A(2,V2)为椭☒C上-点，且满足|AE+AF到=2rF引，则2a=2W2c, [a=22 由题意知{2a=2V2c,得{b=2 ，故椭圆C的方程为 ，y2 =1 a2=b2+c2 84 c=2 (2)若直线MN的斜率不存在，则该直线与椭圆相离，不合乎题意， 由愿意可知，直线MW不与x轴重合， 依愿意，设直线MN的斜率为k(k≠O),则直线MN的方程为 y=k(x-2) 设M(x,)、N(名)， 联立r+22=8 =-2A消y+2k2)2-8x+®-8)=0， 则△=644-41+2k2)(8x2-8)=32k2+32>0, 可得5+与20.48k8@. 8k2 1+2k2 SAOPM SAOPN =1:3,:.MP:NP=1:3,NP=3MP ∴4-2=3(4-x),整理得3x-x2=8③ 曲0®0x片62 6k2+2,,2K2-2代入@，解得k=1, .直线MW的方程为y=x-2或y=-x+2, 若直线MN的方程为y=x-2,则点P(4,2):若直线MN的方程为y=-x+2,则点P(4,-2) 综上所述，P点坐标为(4,2)或(4，-2)： 17.(15分) 【详解】(1)连接DO、AO、EO, 因为△ABC,△DBC,△EBC都是等边三角形， 所以AO⊥BC,EO⊥BC,DO⊥BC, 又AO,EO在平面AOE内交于点O,AO,DO在平面AOD内交于点O, 所以BC⊥平面AOE,BC⊥平面AOD, 因为过O只有一个平面与BC垂直，且平面AOE与平面AOD有公共点O, 所以平面4OE与平面AOD是同一平面，即A,D,O,E四点共面： (2)连接DO、AO、EO,AD, 以OA,OB分别为x、y轴， 以过点O且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系， 则A3,0,0,C0,-5,0,B0,5,0, 因为△DBC是等边三角形，边长BC=AB=DC=2√万，点O为BC中点， 所以B0=C0=√5，所以D0=√DC2-C0=√2-3=3 又AD=25,设D(玉y,z), 高三数学试题卷第5页（共8页） AD=x-3}2+y2+z2=2W5 8D=Vx+y-5+z2=25 x=l 所以 CD=V2+y+万+2=25解得y=0 z-2W5 D0=Vx2+y2+z2=3 所以D10,22), 因为AEBC是等边三角形，边长BC=BE=2N5,点O为BC中点， 所以B0=C0=5,又E0=√EC'-C0=2-3=3, 设E,,3), BE=+y-5+名=25 所以 CE=V2+y+5+=2W5 解得x+z=9, 0=V+7+名=3 由(1)得∠AOE为二面角A-BC-E平面角，设∠AOE=0,则点E(3cos0,0,-3sin日)， 故02-(3cos8,0-3si0),Ac=（-3,-5,0,AD=（-2,022, 设平面ACD的法向量为方=(52,22)， c=03-5%=02- 则 D=01-2x,+222,=0 25 y=-V3x 取名=2，得2=6，=1，所以万=(5,6，， 设直线OE与平面ACD所成角为a, 则sia=cosOE,月 3/2cos0-sin0_BJ3cas(0+p)_cos(0+oY o 其中c0sp:6 当邹os(0+p=l时，si血a取得最大值为5， 所以直线0OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值 18.(17分) (1)由题意，f'(x)=e-e,∫'(0)=1-t=3,所以t=4, 高三数学试题卷第6页（共B页)