福建省厦门第一中学2024-2025学年高三下学期数学期末复习圆梦卷（七）（高考同源卷）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦卷（七） 功能技成，庖丁解牛久练而技进乎道：路在脚下，苟子劝学博学则青出于蓝！ (本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.) 注意率项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型 (B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”， 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上： 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， k风自线若-e6>0)的-个传点为02，则a=() A.3 B.⑤ C.3 D 3 1-3 2.扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（) A.1 C.3 D.6 3.已知随机变量5~N3,4),则“a=3”是“P(5<a)=”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若向量a,6满足=3，a-i=-6,则ā在万上的投影向量是() p.-6 c26 3 5.已知数列{a,}满足a,= a-l,n为奇数 若a4∈[2,3]，则4，的取值范围是() 2ann为偶数 A[2,4 B.13] c.3,5 D.[5,9] 6.某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的 平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习 时长的平均值x和方差的值分别是() Ax=9.5,52=1.5B.x=9,s2=1.5 C元=9.5，s2=3D.x=9,s2=3 第1页（共4页） 7、已知函数f(x)=si血x,g(x)=cosx,则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是() Ay=f(x)-g(x)与y=f(x) B.y=[f(x)川-[g(x]与y=f(x)g(x) Cy=[f(x]与y=f[g(x] Dy=f(]与y=g[f(x] 8.一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台， 棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大.现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成 一个球，则所得球的半径最大值是()（加工过程中不计损耗） A.2 C 3 7 B.1 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知二项展开式1-x)25=a,+ax+a,x2++amsx225，则（） A.a0=1 B.4+a2+…+a2o2s=0 C.41+a2024=0 D.a+4+a4+…+ao4=2204 10.在四棱锥P-ABCD中，E,F分别是AP,BC上的点， E即FC,则下列条件可以确定EF1/平 AE BF 面PCD的是( A.AD//BC B.AB//CD 心.BCII平面PADD.CD//平面PAB 11.甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏.游戏开局时桌上有n盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡 牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组(4,42，，an)，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能 选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏.现由甲先抽，则下列 开局中，能确保甲有必胜策略的是( 43) B.(1,2,3 C.(3,3,6) D.(3,4,5) 三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若复数a2-2a+ai是纯虚数，则实数a=」 13.已知A是抛物线y=4x在第一象限上的点，F是抛物线的焦点，∠AF0=60°（O为坐标原点)则 抛物线在A处切线的斜率是 14.函数f(x)满足：①f0-号@%yeR,2f)-2f()2(4-4)）f(x)f）.则f)的 最大值等于 第2页（共4页) 四、解答惠：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 如图，在三棱锥P-ABC中，△PBC是边长等于2的正三角形，∠ACB=90°，M为AB的中点. (1)求证：BC⊥PM: (2)若AC=2N3,cos∠ACP=- ,求点M到平面PBC的距离。 4 16.(15分) PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法.其核心思想是通过分析网页 之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性.假设一个小型的互联网由A,B,C,D四个网页组成， 它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页A开始浏览（记为第1次停留）. (1)求该用户第3次停留在网页D上的概率： (2)某广告公司准备在网页B,C中选择一个投放广告，以用户前4次在 该网页上停留的平均次数作为决策依据.试问该公司应该选择哪个网页？请说明 理由 (15分) 已知双曲线C:x2-y2=1,点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直 线AM与y轴交于点D,点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上. (1)若点M(2,V3),Q(2,0),过点作BM的垂线1交该双曲线C于S,T两点，求△OST的面积. (②)若点M不与B重合，从下面①②③选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①OD=DE;②BM⊥E2;图lO2F2 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分， 第3页（共4页) 18.(17分) 设曲线C:x3-xy-y3=1. (1)求证：C关于直线y=一x对称； (2)求证：C是某个函数的图象； (3)试求所有实数k与m,使得直线y=kx+m在C的上方. 19.(17分) 给定正数t与无穷数列{an},若存在N∈N,当m>n之V时，都有a1+an+2+…+am<t,则称 数列{an}具有性质P(t) 具有性质P (2)若无穷数列{a.}具有性质P(),求证：存在正数M,使得a,<M(neN): (3)若对任意正数t,数列{an}都具有性质P(t),则称{an}为“S一数列.若正项数列{bn}是“S一 数列”，试判断数列{e-1是否也是“S数列，并证明你的结论.（注：e=2.718…) 5漆4页（共4页) 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦试题（七）参考答案及评分标准 一、选择题：本趣共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的、 1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】B 7.【详解】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合， 则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， 对于A选项fg钊-通r-o0=5知-引 所以，函数y=f(x)-g(x)的振幅为√互，函数y=f(x)的振幅为1， 所以，这两个函数的振幅不相等， 故y=f(x)-g()与y=f(x)的图象不能通过平移重合，A错： 对于B选项，[f(x)]-[8(x]'=sin2x-os2x=-cos2x,f(x)g(x)=si血COS=si血2x, 函数y=[x-[g(x]了的振幅为1，函数y=f(x)8()的振幅为， 所以，y=[fx)]-[g(x]与y=f()g()的图象不能通过平移重合，B错： 对于e透玩肠V创=血（如，儿&=(@血m+引 将函颜)=心]的图象向左平移受个单位长度可与函氟)=儿&(】的图象重合，C对， 对于D选线，8[了=os恤=血血x+引 函数y=f儿/刃与y=g[f(x]的图象不能通过平移重合，D错故选：C 8.【详解】 高三数学试题卷第1页（共7页） Q为上底面圆心，O为下底面圆心，记棱台为ABCD-A,B,C,D, 按台最大时，上下边之比为管-分不幼设4码=9，则G=5万>9， 所以球在BCCB与圆台围成部分可更大， 记BG中点为N,BC中点为M,OM交上底面圆于P,ON交下底面圆周于2， 设球半径最大为r,球心为T,则如图，球与PO,NQ,MN相切， 设∠00-2A∠P0N=2a,则m2a-号m20=子则oa=3eo9 4 21 所以0=子=z(cota+ot0),得r=l.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】ACD 10.【答案】BD 11.【答案】ACD 10【详解】如图，过E点作EG/IPD交AD于点G,连接GF,即有EG/I平面PCD, 由于aMBG~aAPD,所以AC=但-BP GD EP FC 若AB/ICD,则GF/ICD,又GF平面PCD,CDc平面PCD, 所以GFI/平面PCD,由EGnGF=G,EG GFC平面EGF, 得平面EGF/I平面PCD,又EFc平面EGF,所以EF/平面PCD,故B正确： 若CDII平面PAB,又因为平面ABCD∩平面PAB=AB,所以CD/IAB,由B可知D正确： 假设EF/I平面PCD,设平面EFP∩CD=H,则EF/IPH, 若BCII平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BCI/AD, 反之若BC/IAD,当且仅当BC/平面PAD,即A、C同时正确或错误： 若BC/IAD,可能AB/ICD,也可能AB与CD相交， 若AB与CD相交，由AC=F 知延长FG必与AB、CD交于同一点O, GD FC 由几何关系知EF与PH不平行，故A、C错误.故选：BD 高三数学试题卷第2页（共7页） 11【详解】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数， 再进行亦或求和(0+0=0,1+1=0,0+1=1,1+0=1)， 若初始条件是全零，则乙有必胜策略， 反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态， 1 A项： (13)→ +11,非全零，甲胜：从第2盒中拿2个，故A符合题意： 10 1 10 B项 ,全零，乙胜，故B不符合题意； (1,2,3)→ +11 00 11 11 C项： ，非全零，甲胜：拿走第三盒，故C符合题意； (3,3,6)→ +110 110 11 D项： 100, 非全零，甲胜：从第1盒中拿2个，故D符合题意；故选：ACD (6,45)→101 010 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.【答案】213.【答案】√3 14.【答案】2或05 【详解】解：设f(x)n=t且f(m)=t,令x=my=1, 则有2f0-2f(m侧2(4-4f(mf0,即号2-22(4-4号， 设2”=p,则号p-22≥(p2-4号，即202-2p+24≤0， 所以2-p+1≤0有解，△=1-：20→-子1≤分所以了冈的最大值等于片放答来为：宁 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(I)作BC中点N,连接AN,PN,N,则MN/IAC, 又AC⊥BC,所以N☑M⊥BC, 又因为△PBC是正三角形，且N为BC中点，因此PN⊥BC, 高三数学试题卷第3页（共7页） TPN⊥BC NM⊥BC 从而 PNONM =N →BC⊥平面PNM: PN,NMc面PNM 又PMc平面PNM所以BC⊥PM. (2)由题，∠PCB=60°，PN=VPC2-CN2=√5，AB=VCB2+Cf=4,则BM=2. 在△ACP中，4C=25,PC=2,cos∠4CP=-5 4 由余弦定理得AP=VPC2+AC2-2PC·ACcos∠ACP=√22， 在△PBA中，由余弦定理得cos∠PBA=BP2+AB2-AP1 2BP.AB 所以PM=√BP2+BM2-2BP,BM cos /PBA=3, 设平面ACB与平面PBC夹角为9(0<8<180)，由PN⊥BC,NM⊥BC知9=∠PM. 在APMN中，由余弦定理得c0s0=PW+0W-PM=-,解得0=120， 2PN·MN 2 设点M到平面PBC的距离为d,则d=si血0MM=3 16.(15分) 【解】(1)A→B、A→C:B→CB→D:C→AC→D:D→A、D→B、D→C 第3次停留在网页D上的事件有A→B→D、A→C→D, 11.1.11 其概率为P=亏×2+2×2=2 22'222 (2)由题意知，A→B、A→C;B→C、B→D；C→AC→D;D→本D→B、D→C, 用4，B,C,D(1≤i≤4)表示第i次停留在A,B,C,D处的事件， 4(B)-0.F(G)F( a)-c-行品 11.117 P(a)=P(G)=0,P(B,)=P(C,)=2 (-+@-(@, 故该公司应该选择C网页， 17.(15分) 【解析】(1)法1r点M(2,V5),BL,0),直线BM的斜率kM= 5-0=月， 2-1 垂线1的方程为x=-V5y+2, 设点S(,)T(x2y2),联 x=-5y+2,022-43+3=0, x2-y2=1 y+2=2W5 则△=(-4W5)2-4×2×3=24, 3 h=2 即|S7卡V1+tV+%)2-4y%=2W6,原点0到直线1的距离为d=1, 6o7的国积为2x刘57d=x261=6. 法2)~点M的坐标为M(2,V),点B的坐标为B(L,O)直线BM的斜率， 5-0=5,∴垂线1的方程为x=-5y+2, 2-1 设点S(,),T(2,2),联立{ x=-5y+2 -y-1,得22+4x-7=0, x+x2=-2 则△三4+4x2×7=72, 7, =2 -卡+-45=35，里线1与y损的交点为02。 607的面积为？-29-5 3x25-v6. 3=2 (2)①②作为条件，③作为结论 令点D(0,yD),M(xo,ya)(x>1),由题意得B1,0),A(-1,0), AD,M三点关线，小本=%，又：而=正，点E的壁标为0,2头) +1 1-1-为 直线M的斜率一：M1现，细=记员 2 设点2(x2,0),直线E0的斜率k即= 5益，6-斜-紫-2，o02 -1 高三数学试题卷第5页（共7页） ①③作为条件，②作为结论 令点D(0,yD),M(xo,yx>1),由已知点B的坐标为B(L,0),A(-1,0), 4,D,M三点共线，士0OD=D呢，点B的坐标为B0,) 又对002，点2在x轴正半轴上，÷02,0，六k0= +1--% -2 6+1 为为=-1，BM10. 加细2如= ②③作为条件，①作为结论 令点D(0,yD),B(1,0),M(x,y)(x>1),不妨设>0， “4,D,M三点共线，%=升>0，且坊=公=名-=名-1 x+11 (+1)2(+1)2%+1 :点2在x轴正半轴上且002，点Q20,”BM LEO,k0=生， *0名%0，片-6r当=5=型 6-16+11 yE=2yb,即OD=DE. 18.(17分) 【解析】(1)点(m,n)关于y=-x的对称点是(-n,m), 若点(m,n在曲线C上，即m3-mn-n3=1, 所以(-n)3-（-m)(-m)-(-m)3=-n3-mn+m3=1, 即(-，m)也在曲线C上，故C关于直线y=一x对称. (2)固定y,设fx)=x3-xy-y3-1,则f(x)=3x2-y, 当y≤0时，（幻20恒成立，至多只有一个零点： 当y>0时，令f闭=0=-居-层设m=居则x=-my=3m3, 则fx)=-m3+m·3m2-27m5-1=2m3-(27m5+1)≤2m3-2.3V3m3<0, 所以f(x)=0有且仅有一根，即x与y一一对应，所以C是某个函数图象， (3)引理：对于C上任意一点(p,q),恒有q<p<q+2. 证明：设f(x)=x3-qx-q的3-1，则f(q)=-q2-1<0, f(q+2)=(q+2)3-q(q+2)-q3-1=5q2+10q+7>0, 所以q<p<q+2,所以C的图象夹在y=x与y=x-2之间，故k=1. 高三数学试题卷第6页（共7页）