精品解析：山东济宁市2026届高考模拟考试数学试题

2026年高考模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 3. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（   ） A. B. C. D. 4. 已知，则（   ） A. B. C. D. 5. 设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（   ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（   ） A. 1 B. C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为实数，则（   ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，，则 10. 已知抛物线的焦点为，圆，直线与圆相切于点，且与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则（   ） A. B. 的最小值为 C. 存在直线使得圆内切于 D. 存在直线使得 11. 若数列各项均为正数，且，则（   ） A. 存在，使得 B. 可以是常数列 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为______． 13. 已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 14. 已知实数，满足，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某班数学兴趣小组为研究本班同学的锻炼频次与身体素质指标的关系，统计得到5名同学每周锻炼频次与身体素质指标的数据如下： 锻炼频次（） 2 4 5 6 8 身体素质指标（） 30 40 50 60 70 （1）若，之间具有线性相关关系，试建立，之间的经验回归方程，并预测每周锻炼频次为9次的同学的身体素质指标； （2）依据表中数据，在这5名同学中任取三人，记身体素质指标大于等于50的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：①参考数据：，； ②经验回归方程的斜率和截距最小二乘估计公式分别为，． 16. 如图，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若是外的一点且、在直线异侧，，，，求平面四边形面积的最大值． 17. 如图，在多面体中，和都垂直于平面，且，，，． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求多面体的体积． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 19. 设函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数存在零点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算与共轭复数概念可得. 【详解】由， 的共轭复数是. 故选：A. 2. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设， 或， 所以. 3. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合图形求出圆台母线长，再利用圆台侧面积公式计算即可. 【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为，如图所示： 则， 所以圆台的侧面积为. 4. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用差角正弦公式及已知得，再由同角三角函数的关系求得，进而有，最后结合二倍角正切公式、商数关系求目标式的值. 【详解】由， 所以，则， 所以，，则， 所以， 所以. 5. 设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围. 【详解】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图象的已知点坐标求出的解析式，根据平移变换求出的解析式即可判断 【详解】由题意可得，，得，所以 ， 又因为，所以当时，，函数； 由，得，所以，， 即，又，所以， 当时，，所以函数； 将的图象向右平行移动个单位长度，得函数， 所以，. 7. 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解甲获胜的总概率及甲3局获胜的概率，再代入条件概率公式计算即可. 【详解】设事件B为“甲获胜”，事件A为“比赛进行了3局”，则所求为条件概率. 甲获胜分为三类情况： 3局全胜：; 4局获胜：前3局甲胜2局，第4局甲胜，; 5局获胜：前4局甲胜2局，第5局甲胜，; 因此. . 8. 在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（   ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算，向量数量积以及求向量模长公式分析计算即可. 【详解】如图所示，延长交于点， 由题意知向量的夹角为， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 又， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为实数，则（   ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 10. 已知抛物线的焦点为，圆，直线与圆相切于点，且与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则（   ） A. B. 的最小值为 C. 存在直线使得圆内切于 D. 存在直线使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据焦点坐标得到；B选项，根据焦半径公式转化，得到重合时，取得最小值，取最小值，得到B正确；C选项，假设存在，由对称性分析得到故关于轴对称，并推出矛盾，得到直线圆不内切；D选项，设出直线，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，并根据得到方程，求出直线方程 【详解】A选项，由题意得，故，解得，A正确； B选项，过点作⊥准线于点，则， 连接，则⊥，， 故，其中， 故，显然当最小时，取得最小值， 当重合时，取得最小值，最小值为2，此时设直线的方程为， 故到的距离为1，即，解得， 故直线的方程为，与联立得， 显然有两个根，满足要求， 此时最小值为，B正确； C选项，假设存在直线使得圆内切于， 由对称性可知，与圆的切点和与圆的切点关于轴对称， 故分别位于轴的两侧，且关于轴对称， 设，则，不妨设，， 直线为，即，到的距离为1， 故，故，，所以，解得， 则，直线方程为， 此时到直线的距离为22，不等于1，故不存在直线使得圆内切于，C错误； D选项，显然直线斜率为0时，不满足要求，设直线的方程为， 到直线的距离为1，故 ， ， 与联立得，， 则，，， 故， 假设存在直线，使得，则， 即 ，解得或0， 当时， ，故，此时直线过原点， 或重合，不合要求，舍去； 当时， ，故，直线的方程为 ， 满足要求，综上，存在直线使得，D正确. 11. 若数列各项均为正数，且，则（   ） A. 存在，使得 B. 可以是常数列 C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】假设成立，代入中得到矛盾，可判断A；假设（为常数），代入有解，可判断B；利用数学归纳法，可判断C；当时，利用可得，再计算，即，同理可得，可判断D. 【详解】由题意知：， 对于A：若，且数列各项均为正数，则， 所以与题意矛盾，故A错误； 对于B：若是常数列，假设（为常数）， 则可转化为，解得或（舍去） 所以当时，符合题意,即可以是常数列.故B正确； 对于C：当时，，成立； 设时，，则， 即：，化简可得： ，，则，即. 由数学归纳法，对所有，.故C正确； 对于D：当时，，即，得， 又， 同理可推：.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知渐近线方程推导的比值，再代入双曲线离心率公式计算即可. 【详解】双曲线为焦点在轴上的双曲线，其渐近线的标准形式为. 将题干给出的渐近线方程整理变形，可得，因此可得. 根据双曲线参数关系（为半焦距），离心率定义为， 代入参数关系得：  ，将代入上式计算： . 13. 已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，成等差数列，所以， 当时，可得，解得， 当时，可得， 则， 得到，化简得， 设，则，得到， 则，即数列是公比为2的等比数列， 得到，故. 14. 已知实数，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，构造函数 ，通过单调性得到，再构造函数，求导，确定值域，即可求解. 【详解】由对数定义域得，设， 原等式改写为： ， 整理得：， 设 ，其导数 ，故是R上的单调递增函数， 由 ，得，即 ， 设，求导得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的最大值为​， 且当时，，当时，， 即， 又，结合指数函数单调性， 可得的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某班数学兴趣小组为研究本班同学的锻炼频次与身体素质指标的关系，统计得到5名同学每周锻炼频次与身体素质指标的数据如下： 锻炼频次（） 2 4 5 6 8 身体素质指标（） 30 40 50 60 70 （1）若，之间具有线性相关关系，试建立，之间的经验回归方程，并预测每周锻炼频次为9次的同学的身体素质指标； （2）依据表中数据，在这5名同学中任取三人，记身体素质指标大于等于50的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：①参考数据：，； ②经验回归方程的斜率和截距最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）经验回归方程，预测身体素质指标为 （2）的分布列为： 数学期望为【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求解线性回归方程，代入自变量完成预测； （2）确定超几何分布模型，计算对应概率得到分布列，结合期望公式求解数学期望. 【小问1详解】 ，. ， ， 因此经验回归方程为. 将代入方程，得， 即每周锻炼频次为9次的同学身体素质指标预测值为. 【小问2详解】 身体素质指标大于等于50的同学有3人，小于50的同学有2人. 随机变量表示抽取3人中身体素质指标大于等于50的人数，则的可能取值为. ， 的分布列为： . 16. 如图，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若是外的一点且、在直线异侧，，，，求平面四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用射影定理化简原式，进而求解角度即可. （2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式表示出平面四边形面积，最后结合辅助角公式和正弦函数的性质求解最大值即可. 【小问1详解】 在中，由题意得， 由射影定理得，而,故， 即，而，故. 【小问2详解】 因为，，所以是等边三角形， 设，则， 设 ，，由余弦定理得， 化简得，由三角形面积公式得， 而，则， 设平面四边形面积为， 因为，所以，得到， 可得，故平面四边形面积的最大值为. 17. 如图，在多面体中，和都垂直于平面，且，，，． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求多面体的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明； （2）设，通过建系，结合和直线与平面所成角的正弦值，求得，再通过平面，结合体积公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点的中点，连接， 则， 因为都垂直于平面，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，设， 则， 所以， 因为，所以，得， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 由， 所以， 所以四边形的面积为， 所以多面体的体积. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程； （3）由题意可知，设点，将直线、的方程联立，可求出点的纵坐标，结合韦达定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意可得，该椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意； 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 故直线的方程为或， 65即或. 【小问3详解】 由题意可知，设点， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即， 解得， 由（2）可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 故的面积为， 即面积的最大值为. 19. 设函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数存在零点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的极值点，证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）（i）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在定义域上的单调性，可得，即可解得实数的取值范围； （ii）要证，只需证，即证，根据可得，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，证明出即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 故所求切线的方程为，即. 【小问2详解】 （i）因为，该函数的定义域为，且， ， 当时，则对任意的，，，则， 此时函数在上单调递增，则函数在上有且只有一个零点，不符合题意； 当时，令，则， 所以函数在上单调递增， 当时，；当时，. 所以存在唯一的，使得， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由题意可知，函数在上单调递增， 故当时，，此时函数不存在正零点； 当时，由题意可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，. 故存在，使得，符合题意， 此时函数在上单调递减，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）由（i）可知，且函数在上为增函数， 要证，只需证，即证， 又因为，则， 即证，即证， 构造函数，其中， 则 ， 令，其中， 则， 因为，则，， 所以，故函数在上为增函数， 当时，，所以，故函数在上为增函数， 因为，则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $