精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学2025-2026学年高三上学期第三次考试数学试卷

调兵山市第二高级中学2025－2026学年度高三下学期第三次考试 数学 命题人：高三数学组 时间120分钟 满分150分 时间：2025年11月 一、选择题（单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】交集  定义为同时属于集合  和  的所有元素组成的集合. 【详解】给定集合  和 ，同时属于  和  的元素只有 1 和 2，即 . 故选：D 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及复数的几何意义可解. 【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 4. 正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】应用常数代换结合基本不等式计算求解最小值. 【详解】正数满足， ， 当且仅当且， 即时取等号，即的最小值是. 故选：A. 5. 已知圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，求出圆心距，再和两圆半径之和以及之差比较大小即可得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， 则， 则，故两圆相交. 故选：B. 6. 已知正四棱台的体积为，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用台体的体积公式求解. 【详解】正四棱台的上底面积为，下底面积为， 因为台体体积为，所以， 解得，即正四棱台的高为. 故选：B. 7. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦差角公式即可求解. 【详解】因为，都是锐角，所以，则，． 所以． 故选：C 8. 在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为BC的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由单调性排除A，由奇偶性排除D，BC选项，先求出定义域，可利用函数奇偶性定义判断出为偶函数，进而判断出函数单调性，得到答案. 【详解】在上单调递减，A错误； 定义域为R，且，故为偶函数， 且的对称轴为轴，且在上单调递增，B正确； 的定义域为，且， 故为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； 因为，故不是偶函数，D错误. 故选：BC 10. 如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥体积为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质，三棱锥的体积公式，等体积法，针对各个选项即可分别求解. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点， 又为的中点，所以， 又平面平面，平面，故A选项正确； 对B选项，因为在正方体中，所以平面平面， ，由已知得面，面， 则，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面距离为，则， ，，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由复合函数单调性即可判断；对于B，直接可得，由此即可判断；对于C，由题意得结合的范围即可判断；对于D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，若，则， 由于在上单调递增，故在上单调递增；故A正确； 对于B，若，且，则当且仅当，故B正确； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象所对应的函数表达式为：， 若的图象关于轴对称，则， 注意到， 所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误； 对于D，，，得到， 若在上恰有4个零点， 则当且仅当，解得，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，关键在于利用的范围求得，进而结合正弦函数的图象特征求得的取值范围. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 点到直线2x+y-5=0的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由点到直线的距离公式即得解 【详解】由点到直线的距离公式： 故答案为： 【点睛】本题考查了点到直线距离公式的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 13. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】由题意，在方向上投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知函数的性质，把函数有两个零点转化为方程有两个不同的根，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，从而求解实数的取值范围． 【详解】函数有两个零点， 有两个不同的根， 当时，左边为，右边为，左边不等于右边，故不是方程的解； 当时，， 令，求导得， ， ， 在上单调递增，在上单调递增， 当时，，且, 当时，， 当时，，当时，，， 函数图像如下图所示， 要使与的图像有两个交点，则需满足，此时与在和上各有一个交点． 实数的取值范围为， 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16－17每题15分，18－19每题17分，共77分） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）设D为边AB上一点，且，若，的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知得，再利用辅助角公式得，求解即可； （2）利用余弦定理建立方程组求得，，利用周长求得，，最后代入面积公式即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴. 【小问2详解】 由题意知，， 由余弦定理得， 即， 联立得，代入得， 所以 ∴，， ∴. 16. 已知圆C经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，求弦长的值； （3）过点引圆C的切线，求切线的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）和. 【解析】 【分析】（1）根据圆心和圆过原点，求出半径，即可得答案. （2）先求出圆心到直线的距离d，代入弦长公式，计算即可得答案. （3）当切线垂直x轴时，分析可得，满足题意；当切线不垂直x轴时，设斜率为k，求出直线方程，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可得答案. 【小问1详解】 因为圆心为，且过原点， 所以半径，则圆C的标准方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以. 【小问3详解】 当切线垂直x轴时，即方程为， 此时圆心到的距离为，故圆C与相切，符合题意； 当切线不垂直x轴时，设斜率为k，则方程为，即， 所以圆心到切线的距离，即， 平方可得，解得， 则切线方程为，即， 综上，切线方程为和. 17. 在等差数列中，；记为数列的前项和，且. （1）分别求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 解：设数列的首项为，公差为d， ，则， 所以数列的通项公式为． 因，所以当时，，则． 当时，，则， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以． 【小问2详解】 因为，设数列的前项和为， ① ② ①-②得 ∴ ， 则． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 19. 已知函数，. （1）求函数在点处的切线方程； （2）对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； （3）记，若，且，求证： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，得到为切线斜率，再求解得切点纵坐标，再根据直线方程得切线方程； （2）构造函数，对求导，得到，利用导数与函数的单调性间的关系，可得，再分和两种情况讨论，即可求解； （3）根据的条件变形，将（其中）用含的式子表示，并代入中，通过分析化简后表达式的符号即可得证. 【小问1详解】 解：因为，所以， 所以，又因为， 所以在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 解：因为，所以， 设，， 则，， 令，，则， 可得在上为增函数，即在上为增函数， 所以， 当时，，此时在上为增函数， 故，即，所以，符合题意． 当时，， 因为在上为增函数，当时，， 故存在满足，则在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为． 【小问3详解】 证明：由题意得，，所以， 由可得， 所以， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以， 令，得， 因此， 令，，则， 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以， 又因为，所以，故，得． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 调兵山市第二高级中学2025－2026学年度高三下学期第三次考试 数学 命题人：高三数学组 时间120分钟 满分150分 时间：2025年11月 一、选择题（单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 正数满足，则的最小值是（ ） A B. C. D. 8 5. 已知圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 6. 已知正四棱台的体积为，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数最小正周期为 C. 若图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 点到直线2x+y-5=0的距离是__________． 13. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16－17每题15分，18－19每题17分，共77分） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）设D为边AB上一点，且，若，的周长为，求的面积. 16. 已知圆C经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，求弦长的值； （3）过点引圆C的切线，求切线的方程. 17. 在等差数列中，；记为数列的前项和，且. （1）分别求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，. （1）求函数在点处的切线方程； （2）对任意时，恒成立，求实数的取值范围； （3）记，若，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $