第27章 相似 单元检测题 2024-2025学年人教版数学九年级下册

《相似》单元培优检测题 考试范围：相似；考试时间：120分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题4分，共32分） 1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，则d＝（　　） A．6cm B． C．1.5cm D．3cm 2．已知实数a，b满足，则的值为（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 3．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，若△ADE的面积为1，则四边形BCED的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A'B'C'的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 5．如图所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂的端点下降0.5m时，长臂端点应升高（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 6．有下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④两个正方形一定是相似图形．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论一定正确的是（　　） A．CE∥AD B．BD＝AD C．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC 8．如图，在▱ABCD中，点E在线段AB上，点F、G分别为对角线AC与DE、DB的交点．若AB：AE＝3：2，则四边形BGFE与▱ABCD的面积之比为（　　） A．7：60 B．8：70 C．5：43 D．3：26 二．填空题（每题4分，共32分） 9．如图，点C是线段AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，其中，则AC＝　 　 （结果保留根号）． 10．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′＝2：7，若四边形ABCD的周长为4，则四边形A′B′C′D′的周长为　 　 ． 11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段AB的黄金分割点（BC＞AB），即BC2＝AB•AC，若AC＝2cm，则BC的长为　 　 cm． 12．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝8m，则树高AB是 　 　 m． 13．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果，那么 　 　 时，DE∥BC． 14．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB＝9：25，则AD：DB＝　 　 ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为CD的中点，点P在AE下方矩形的边上．当△APE为直角三角形，且P为直角顶点时，BP的长为 　 　 ． 16．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M、N，且AF⊥DE，连接PN，则PN的长为　 　 ． 三．解答题（共6小题，共56分） 17．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE＝∠B﹣∠A． （1）求证：△CDE∽△ACB． （2）若，求CE． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为点A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）． （1）以原点O为位似中心，相似比为2：1，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1； （2）若△ABC内有一点P（a，b），则点P放大后的对应点P1的坐标为 　 　 ． 19．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP，PB，若，则把这种分割叫作黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点．如图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，∠A＝36°，CD为∠ACB的平分线． （1）求证：点D为AB的黄金分割点． （2）求BD的长． 20．如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（0＜t≤3）． （1）求证：△AEP∽△CEQ； （2）当△EPQ是直角三角形时，求t的值． 21．小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向移动1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处移动1.6米到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M．已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.7米，点E、D、B、A、N在同一条直线上，FE⊥EN，CB⊥EN，MN⊥EN．请根据题中提供的相关信息，求出这个塔的高度MN（平面镜大小忽略不计）． 22．如图，△ABC中，点D在AC边上，且∠BDC＝90°∠ABD． （1）求证：DB＝AB； （2）点E在BC边上，连接AE交BD于点F，且∠AFD＝∠ABC，BE＝CD，求∠ACB的度数． （3）在（2）的条件下，若BC＝16，△ABF的周长等于30，求AF的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D B C D A 二．填空题 9．． 10．14． 11．（1）． 12．5.6． 13．． 14．3：2． 15．或． 16．． 三．解答题 17．（1）证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB， ∵∠ADC＝∠B+∠DCB， 即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠DCB， 而∠ADE＝∠B﹣∠A， ∴∠B﹣∠A+∠CDE＝∠B+∠B， ∴∠CDE＝∠A+∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∵∠CDE＝∠ACB，∠DCE＝∠A， ∴△CDE∽△ACB； （2）解：∵DA， ∴CD，AB＝2， ∵△CDE∽△ACB， ∴CD：AC＝CE：AB， 即：（CE+1）＝CE：2， 整理得CE2+CE﹣12＝0， 解得CE＝3或CE＝﹣4（舍去）， ∴CE的长为3． 18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由题意得，点P（a，b）放大后的对应点P1的坐标为（2a，2b）． 故答案为：（2a，2b）． 19．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB72°， ∵CD为∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB＝36°， ∴∠DCB＝∠A＝∠DCA， ∴DC＝DA， ∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°， ∴∠CDB＝∠B， ∴CD＝CB， ∴AD＝CD＝BC， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝BA•BD， ∴AD2＝BA•BD， ∴点D为AB的黄金分割点； （2）解：∵AD＝BC，BC＝2， ∴AD＝2， ∵点D为AB的黄金分割点， ∴， ∴AB1， ∴BD＝AB﹣AD1． 20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠PAE＝∠QCE＝45°． ∵CE＝2AE，AP＝t，CQ＝2t， ∴， ∴△AEP∽△CEQ． （2）解：过点E作EM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BC于点N． 由条件可知， ∵CE＝2AE， ∴， 由条件可知△AME，△CEN均为等腰直角三角形， ∴AM＝ME＝2，EN＝CN＝4， ∵AP＝t，CQ＝2t， ∴BQ＝6﹣2t，MP＝|t﹣2|，BP＝6﹣t，QN＝|CQ﹣CN|＝|2t﹣4|， ∴EP2＝EM2+MP2，即EP2＝22+（2﹣t）2＝t2﹣4t+8， PQ2＝BP2+BQ2，即PQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2＝5t2﹣36t+72， EQ2＝EN2+NQ2，即EQ2＝42+（2t﹣4）2＝4t2﹣16t+32． ①当∠EPQ＝90°时，有4t2﹣16t+32＝t2﹣4t+8+5t2﹣36t+72， 整理得t2﹣12t+24＝0． 解得（不合题意，舍去）． ②当∠PEQ＝90°时，有5t2﹣36t+72＝t2﹣4t+8+4t2﹣16t+32， 整理得t﹣2＝0， 解得t＝2． ③当∠PQE＝90°时，有t2﹣4t+8＝5t2﹣36t+72+4t2﹣16t+32， 整理得t2﹣6t+12＝0， ∵Δ＜0， ∴该方程无实数解． 综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值为秒或2秒． 21．解：由题意知，AB＝1，DE＝1.6，∠CAB＝∠MAN，∠FDE＝∠MDN， ∵∠CBA＝90°＝∠MNA，∠FED＝90°＝∠MND， ∴△CBA∽△MNA，△FED∽△MND， ∴，， ∴，， 由①得，， 将代入②可得，， 解得MN＝42.5， 答：这个塔的高度为42.5米． 22．（1）证明：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDC＝90°∠ABD， ∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝90°∠ABD， ∵∠BDC+∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣（90°∠ABD）＝90°∠ABD， ∴∠A＝∠BDA， ∴DB＝AB； （2）在BC上截CH＝CD，连接DH， ∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD+∠BAE，∠ABC＝∠ABD+∠DBC， ∴∠BAE＝∠DBC， 由（1）知∠BAD＝∠BDA， ∵∠EAC＝∠BAD﹣∠BAE，∠C＝∠BDA﹣∠DBC， ∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE， ∵BE＝CD，CH＝CD， ∴BE＝CH， ∴BE+EH＝CH+EH， ∴BH＝CE＝AE， ∵AB＝BD， ∴△BDH≌△ABE， ∴BE＝DH， ∵BE＝CD，BE＝CH， ∴DH＝CD＝CH， ∴三角形CDH是等边三角形， ∴∠ACB＝60°； （3）作AO⊥BC于点O， 由（2）知∠EAC＝∠C，三角形CDH是等边三角形， ∴∠CDH＝∠C＝60°， ∴∠CDH＝∠EAC＝60°， ∴DH∥AE， ∵AE＝CE， ∴三角形ACE是等边三角形， 设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16﹣x， ∵DH∥AE， ∴△BFE∽△BDH， ∴， ∴BFAB，EFHD， ∵△ABF的周长等于30， ∴AB+BF+AF＝ABAB+x30， 解得：AB＝16， ∵三角形ACE是等边三角形，AO⊥BC ∴Rt△ACO中，OC，AO， ∴BO＝16， 在Rt△ACO中，AO2+BO2＝AB2， 即x2+（16）2＝（16）2， 解得：x1＝0（舍去），x2， ∴AF＝AE﹣EF＝x11． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 23:17:55；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $