福建省厦门第一中学2024-2025学年高三下学期末复习数学周测试卷9

数学模拟试题（四） 说期：本试卷主体为浙江省宁波市“十校”2025届高三3月份适应性考试数学试题，题目有较大删改！ 注意率项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的 指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均尤效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知随机变量X~N(4,9),则D(X)=() A.2 B.3 C.4 D.9 2.已知集合A={x-4x+3≤0，B={<35<9,则AnB=（) A{h≤x≤2} B.(<xs2 c.(sx<2 D.{0≤x<2 3在舒百直完标系，动点P收列浅足方程+2矿+7-一2入+74，则商点数 迹的离心率为() A. B.2 2 c.6 D.26 2 In 2a+ 4.已知函 f(x)= 1-x为偶函数，则a=() B. 4 D 5.已知tana=3tanB,则 in(a+B) 的最大值为(、 os(a-B) &25 C.1 3 3 6.对空间中的非零向量a,(1≤i≤m),记向量a,与a的夹角为4,4，对i≠j,cosa,马，≤0，则m一 的最大值是() A.5 B.6 C.7 D.8 高三数学试题卷第1页（共4页） 7.在四边形ABCD屮，已知AB2+BC2+CD+D=AC2+BD2,若AB=3,AD=4,AC=6,则 BD的长度为(、 A.4 B.25 C.5 D.14 8已知函数f化)=，”，对任意x 13 x2+1 3'5 都有f(x)+f(4x-a)s0恒成立，则实数a的取值范 围为() A山4 B.[2,5] ‘3,4刈 D.[3,5] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在二项式 +2 的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（) A.n=8 B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 1 C常数项为 D.展开式中系数最大项为第3项和第4项 16 10.在锐角△ABC中，内角么，B,C所对的边分别为ab,c,且=1+2co34,则() A.B=2A 4-L之 C. 5tanB lanA 5 "D.若b=l,则V2+1<a+c<V5+2 在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，P为面AADD内以AD为直径的半圆上的动点，N) A.BP的最火仇为2√互 B.BP与Ψ面ABCD所成角的最大值的止弦值为 C.PB·PD的最小位为-2 D.二面角P-H以-4的最小值的正切值为子5 三、填空思：本题共3小愿，每小愿5分，共15分. 12.已知复数z足z-1+21=3,则2的最小值为 13.已知点F为帅物望T:y2=2px(p>0)的焦卓，过F的直线/（顿斜角为锐角）与Γ交于AB两点 (点A在第·象限)，交其准线于点C过点A作准线的垂线，足为D,若正=4F厉，划 则tan∠AFD= 离三款学式是客幕2页（头4页 14.数学家莱布尼兹是世界上首个提山二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示. 若正整数n=a2*+42+…+a12+a4,其中a=1,a=0或1=l,2,…,k),则n可以用(k+1)位 二进制数(aa4a4a),表示.记n的二进制各个位数和为f(n),则f(n)=a+4++a+a,例如 5=1×22+0×2+1×2°=Q0)2,因此f(⑤)=1+0+1=2.已知正整数n≤1024且f(n)=2,则这样的n有 个；3/0+3/2+3/+…+3/@+3倒)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明正明过程或演算步骤： 15.(13分) 已知函数f()=25 sin xcosx+an2x=l tanx+1 (1)化简f(x),并求 的值 (2)在锐角△ABC中，内角A满足∫(A)= 求cos2A的值 16.(15分) 巴知四棱锥P-ABCD底而ABCD是直角梯形，AD1IBC,AB⊥BC,AB=√5， BC=2AD=2,E为CD的屮点，PB⊥AB、 (I)证明：平而PBD⊥平而ABCD: (2)若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为，过点B作平面PCD的垂线，垂足为N,求点N 3 到平面ABCD的肉。 高三数学试是喜第3质（县4氟） 17.(15分) 已通康-号-但+maeN,>o x (1)讨论(x)的单调区间： (2)若(x)有三个极值点，求正数k的取值范围。 18.(17分) 为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明每次试验成功的概率为(0<p<), 且每次试验相互独立. (①若进行5次试验，且p=2求试验成功次数X的分布列以及期望： 1 (2)若恰好成功2次后停止试验，p=。,记事件A:停止试验时试验次数不超过n(n≥2)次，事 3 件B:停止试验时试验次数为偶数，求P(AB).(结果用含有n的式子表示) 19.(17分) 已吹礼物线C上4-45双线C专4Q>0框交宇两有46，F是G的右焦包 直线AF分别交C,C,于C,D两点（不同于A,B点），直线BC,BD分别交x轴于P,2两点 (1)求a的取值范阴： (2)记△AQF的而积为S,△C2P的面积为S2,当S=3S,时，求a的值. 高三数学试是春第4页（共4页） 因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,所以PO⊥平面ABCD, 连接OC,可得LP0O为PC与平面ABCD所成的角，侧∠PC0= Z 在直角△ABD中，BD=√AB2+AD2=2, 在等边△BCD中，可得OC=√5， 在直角△PC0中，可得OP=OC·tan∠PCO=3, 又因为等边△BCD,且O为BD的中点，所以OC⊥BD 以O为原点，以OB,OC,OP所在的直线分别为x,yz轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B(40,0,C0,V5,0,D(-10,0),P(0,03), 可得PD=(1,0,-3,PC=(0,V5,-3), 设Pm=PD+uPC,可得N(-元，54，-3(1+μ-1， 则B丽=（←-1,54，-3+4-1)， [8丽.P℃=3μ+9(1+4-1)=0 由 BPD=元+1+9(+4-1)=0' 解得1= 万行满足愿意， 6 所烈v平看80D的离为-+4-小=合 17.(15分) 【小问1详解】 树任则网-g-到e- 当>0时，代x)=0的两根为x=1,名=k. ①若k=氏，(x)在(0，+∞)上单调递增： ②若k>e,则，=lk>1=x,则(x)在(0,1)上单调递增，在(l,血k)上单调递减，在（血k,+∞）上 单调递增； ③若1<k<e,则名=mk<1=x,则f(x)在(0，k)上单调递增，在(k,1)上单调递减，在山，+oo)上 单调递增； ④0<k≤1时，则：=血k<0<1-5,则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增： 综上，当k=e时，无单调减区间，单调增区间为(0，+o): 当k>e时，单调减区间为(1，k),单调增区间为(0,1)和(mk,+o∞)： 当1<k<e时，单调减区间为（血k,1),单调增区间为(0，k)和(1，+o): 当0<k≤1时，单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，+∞)： 【小问2详解】 根据题意可知，函数f()的定义域为(0，+∞)， ☑间-司 由函数（似有三个极值点，5可知(=女-3）-心=0在0，切)上至少有三个实数限： 上4 显然3)=0，则需方程- r4 =0 也即e-2=0有两个不等于3的不相等的实数根： 由d-女=0同得k=号，e包树， 高三数学试题卷第5页（共8页） ◆g因-ge0+则g到问-g2,xa0o 显然当x∈(0,2)时，g(x)<0,即gx)在(0,2)上单调递减： 当x∈(2+∞)时，g(x)>0,即g(x)在(2+o)上单调递增： e v=g(x) 所e凤-号 面出层数g)-号，e包回)与孟数y=k在用一坐标系下的图像， 0 由圆可得>且k号，女-号在Q+o上结雨个不特于的男越强 9 同，即，x,均是∫(x)=0的变号零点，满足题意： 18.(17分) 【小问1详解】 则rx-克P=-c PK=-c旧”Px-c周名 P(X=4)=C 调-品x=动 故X的分布列为： X 0 3 4 5 1 5 5 5 P 32 3 16 16 32 3 k0=5x 5 【小问2详解】 事件“Y=n”表示前n-1次试验只成功了1次，且第n次试验成功， 核=-cg号 当n为偶数时， aPg+r0+-)++-小周 -+*a- s-)+3周++a-, 两式相减得： 8=1*)++…]-周 双=兴)-岩层+) 当”为奇数时，同理可得 P-re+-0-得3)+-2 2 ,n为奇数 综上，P(AB)= 13 1 3 255” 25 ,n为偶数 19.(17分) 【小问1详解】 a2>0 由双曲线方程女 4a=1,则4-a2>0,得到0<a<2,即a∈(0,2)， a>0 对于抛物线C:y=4x-4,令y=0解得x=1,所以抛物线G:y2=4x-4的顶点为(1,0)， 足y 又双曲线G:存4广行=1>0的右焦点P2,0), (x 联立抛物线与双曲线方程后4一石1，得到4-2)2-4x+=0。 y2=4x-4 记f=(4-a2）x2-4a2x+a=[2+a)x-a2][（2-a)x-a2], 可知f问=0有两个根和，其中￠<1，则 a+2"2-a a+2 ”a>1,又ae02,解ae2, 又直线AF分别交C,C2于C,D(不同于A,B点)，即A,B,F三点不共线， 当x=2时，代入抛物线y2=4x-4,解得y=2,不妨取(2,2)， 格2,2列代入双线方程得到子4。=1，解释G=6-25政d=6+25(合去，所以a=5-1 44 综上可得a∈15-u(5-12): 【小问2详解】 因为直线AF与抛物线C:y2=4x-4的两个交点A、C, 显然直线AF不垂直y轴，又点F(2,0), 故设直线F的方程为x=my+2(m≠0)，A(,片)，C(x,), [x=y+2 由y=红-4蒲去x并整理餐-4阿-4=0， 高三数学武题卷第7页（共8页） 显然△>0，所以y2=-4为定值 h+=，h+少一=4 根据对称性可知B(,一乃)，则直线BC的斜率为名一片+4_上+4久乃' 44 所以直线BC的方程为y+片=、4 (x-), 2-4 令y=0,可得点P的横坐标=3-1++4_+4=0， 4 44 设D(5为)， x=my+2 由x2y2 =1消去x得(4m2-ma2-a）产+4m(4-a2）y+4-a2=0, 则4m2-ma2-ad2≠0， 且△=16m2(4-a2}2-44-a2）(4mr2-m2a2-a2）=4a2(m2+14-c22>0, 4m(4-a2） ,(4-a2}2 所以乃+⅓4城-m设-a'%=4m-m8-2 而直线BD的方程为y+片=为+出（红-），依愿意m+0, 为一 令y=0,得点Q的横坐标6-任-+5=昌凸-+5仍+》 为+4 为+4 -+⅓5=(+2+为(+2_2m4+204+ 片+为 片+y为 片+为 2m4-a2}2 -8m(4-a2） -4m'-m'd-a Am-ma-a -4m(4-a2） -2 2 4m2-m2a2-a 图t0-2-2,Pgl=a. (r y =1 a 联粒抛物线与双曲线方程合4-日，得到4-)-4a2x+口=0，解释x=2-。, y2=4x-4 a2 [a+2)(a-1) 所以点A的坐标 2-a'V 2-a 由=4，所以≈ -2 (a+2a-1 2-a 根据=3戏，则 oF. 3,代入得到 a -=3 S, IPcH 0闪 即=士=3，化商-6小k4包+2a-=1心，解得=4，散a=。 ayy 2-0 离三批学沈题甚弟B引（兴8夏）