福建省厦门第一中学2024-2025学年高三下学期数学周测12

高三数学试题 (试卷满分：150分；考试时间：120分钟) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的、 1.设集合U=RA={x-2x-3<0,B={1,23,4,则图中阴影部分表示的集合为() A.{-12,4 B.{-1,2,3} C.{-1,3,4 D.{2,3,4 2.已知0+)2=1+3i,则复数z的虚部为（) A.-1 B.1 C.i D.2 3.已知平面向量a,3满足d=4,=1,22,且(a+2)1(3a-列.则向量a与向量方的夹角是() A君 B c D 4. 已知s血(a+p)=3os(a-),tanctay明=-5则ama+im明=（） A号 B.12 C.-5 D.12 」已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为√5，则此正四棱锥 的体积为（) A.60W5 B.120W5 C.605 D.180W15 6。已知等差数列{a,}和等比数列，}的前n项和分别为S,和，且=2+山则兰=（ ) T A.12 B.11 C.10 D.9 第1页（共4页） 已知双雀线C:片点=0>06>0的比，右焦点分别为R,B,点P在风曲线C的右支上，直线 与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为H,若PF=4H,则双曲线C的离心率为() A月 C.团 3 D.5 3 8。将函数∫女)=s血x的图像向左平移红个单位长度后得到函数g女)的图像，再将g(句)的图像上各点的 纵坐标不变、横坐标变为原来的二(@>0)倍，得到函数()的离像，且(x)在区间(0，)上拾有 两个极值点、两个零点，则ω的取值范围为() A.(s c周 78 0.63 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选须中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若随机变量X~N(0,2),随机变量上~N(0,32),则() .PX≥2)=P(Y≥3) B.P(Xs1)>P(Y s1) C.P(X≤-2)+P(Y≤3)=1 D.P(X≤-3)+P(Y23)>0.5 (参考数据：若X~N4,2),则P(4-0<X≤4+o)≈0.6827) 10.已知函数f(x)=2x-3x2,则() Ax=0是f(x)的极小值点 B。内的图象关于点兮之对称 C.g(x)=f(x)+1有2个零点 D.当0<x<1时，f2-)>fx-) 11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值 的艺术美它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素双 纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图，曲线C:(x+y=9(:2-y)是双纽线，下列说法正确 的是( A.曲线C的图象关于原点对称 B,曲线C经过3个整点（横、纵坐标均为整数的点） C曲线C上存在点P到坐标原点O的距离超过3 D.若直线y=女与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（∞，-U心，+∞） 第2页（共4页入 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若x+ 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含x的项的系数为 13.若曲线y=血(2x+2)在点 20 处的切线也是曲线y=g一ax的切线，则实数a= 14.在正八面体ABCDEF(连接正方体六个面的中心构成的图形)中，任取四个顶点，则这四点共面的概 率为 任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(2b-c)cosA=aosC (1)求A ②若d=是bc,求如B+s血c的值 5 16.(15分) 已知椭圆c .y2 :+长=1a>b>0的左右焦点分别是K和，离心率为分点P在椭圆E上，且PFF 的面积的最大值为√ (1)求椭圆C的方程： 、2)直线1过椭圆C右焦点耳，交该椭圆于A,B两点，AB中点为2，射线O2交椭圆于P,记△AOQ 的面积为S,△BP的面积为S2,若S,=3S,求直线1的方程 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=l,AB=√5， (I)若AD⊥PB,证明：ADI平面PBC; (②四诺AD LDC,且二面角A-CP-D的正弦值为5， 求AD 3 第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=e'(sinx-cosx). (1)讨论f(x)的单调性： (2证明：方程边-0sc+刊在(0,2n)上有且只有-一个解 e (3)设点A(,'()》,B(,(,》,≠五，若对任意，五∈(0，，都有经过A,B的直线斜率大 于a,求实数a的取值范围 19. (17分) 已知数列{an}一共有m2(m>2) 项，a1,a2,…,am为公差不为0的等差数列，对任意的i∈{1,2.…，m}, a:,a+m,…,a+(m-2m,a4(m-1)m成等差数列，且对于不同的i,其公差为同一 个非零常数， (1)若m=3,a1=1,a4=3,ag=9,求数列{an}的各项之和； (2)证明：a1,a(m*1)1,a2(m*)1,…,a(m-1)(m+)+1成等差数列； (3)从1,2，，m2中任取三个数p,q,r(p<q<r),记p,9,r成等差数列且 a,a,a,也成等差数列的概率为P.,证明：P 3m-6 4m3-8m 幕4页（表4页） 高三数学试题参考解答与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】B 5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】B 【第8题解析) 法-：由遥意，得如+传引引所议m司引令 1=+e0小.则后+写）设m0=w1,则=间在c行or+骨上拾有丙个表值 点和两个零点，结合图像知2π<m+”s5红 ,解得，<ωs 4m() 法二鉴江排除法由基意可鬼e闭-(+胃+引用(r+引器巴个性 项的特点只有选项C中不含号所以只需要验证@一时的情况若和号则)-6o目x+写到 令-x+子因为reQ.所以e62 结合图像知此范围内由两个零点，一个极小值点，不 符合题意，所以w+行，故选B 法起可知乐议a的向m引令如r冬如手a,则 5π b、 <π X=- 3.k2.分别令k=123,则x=2年，5,8 30'30'3 ,由题意知 3w ar+3r=,keZ,则.、3 60'60'60由题意知 6,ke2分别令k=12,3,则x=工，1红13m 160 综上所述，o∈ 513 36 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合原目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答】ABC10.I答案】BC11.{答案】ABD 【第11慝解析) A项.设出线C上任意一点P代红川.则坐标满足走线方程.即方程（忙+y}=92-y)成立. 第1天（共8） 可得[(-x刘+（←y丁=[-2-（←]成立，即点♪关于原点的对称点P八-名-）也适合曲线方程， 所以曲线C的图象关于原点对称，故A正确； B项，方程(x2+y=9(x2-y2）可化为x+2y2-9列x2+yy2+9列=0， 令=x2,则方程2+2y2-9列+y2(y2+9=0, 由判别式△=2y-g-4yy+9)=-9y2-920,可得s号， 若y是整数，则y=-1,0,1. 令y=0,x-9x2=0,解得x=0或3或-3，有三个整点(0,0)，(3,0)，（-3,0)： 令y2=1,x-7x2+10=0,解得x2=2或5，此时无整点 所以曲线C共经过3个整点，故B正确； C项，设曲线C上任一点P:y) 当P为原点时，到原点的距离为0，满足题意； 当P不为原点时，x2+y2≠0， 则由(+y=9收-y)可得，0<+y=-2s9. x2+y2 所以点P(:y)到原点的距离d=Vx2+y2s3,且d>0; 综上，曲线C上任一点P(x,y)到原点的距离都不超过3，故C错误； D项，直线y=c恒过原点(0,0)，且曲线C经过(0,0)，则直线与曲线至少一个公共点， 又：y=x与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点， 联粒+=96-月.清y得0+-9r0-的=0. y=k 当1-？=0时，方程x=0仅一解x=0,满足题意； 当1-≠0时，当x=0时，方程恒成立，即恒有一解， 当xt0时.方程化简得-9-，即当1-状<0时，方程无解满足题意 0+k21 综上，1-≤0，解得k≥1或k≤-1，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】27 13.【答案】-1 1 【解折由y=h(2+2,得=，2，=山 2x+2x中7，所以切线斜率k= -=2 +1 2 则7成方程为y-2+-21 设直线与曲线y=e-r的切点为(，e-匹)，且y=e-a, 则、022x+即-=-1，且a5-2 设∫x)=ex-e,f'(x)=ex+e-e=ex, 所以当x<0时()<0；当x>0时f(>0, 第2页（共8） 即∫()在(-o,0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，则f()2f(0)=-1, 所以e*%-e=-1有唯一解名=0，则a=e°-2=-1， 故答案为-1. 4信割日月 【解析】如图，在正八面体ABCDEF中，八个面是全等的等边三角形，E,AC,BD相交于同一点 且两两互相垂直，则四边形ABCD;ACE,BFDE是正方形， 任取四个顶点，则这四点共面的餐率为R己方一亏 331 设B=√反，则EF=AC=BD=2, 取AB的中点H,连接EH,FH,则EH⊥AB,F⊥AB, 所以∠EF是平面EAB与平面FAB所成角， 6 所以cos∠EHF= EH2+HF2-EF2 2EH.HF 所以∠EF是钝角， 2 2 根据正八面体结构，以平面EAB为参照思考，平面EAB与平面FCD平行，与平面ECD所成的角等 于π一∠EHF(为锐角)，与其余5个面所成的角都等于∠HF(为钝角)，每个面都如此， 8×5 所以任取两个面，则所成二面角为钝角的摄率为B=二287」 2 20_5 故答案为： 1. 7 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骠 15.(13分) 【解析】(1)因为(2b-cosA=acosC, 由正弦定理得(2s血B-s血C)cosA=s血AcosC, 1分 整理得2 sin Boos A=sin AcosC+cos AsinC=sim(A+C=S血B,- 3分 因为B为△4BC的内角，所以Be(0,),因此si血B≠0， 4分 所以2cosA=l,即cosA=司 5分 又4e0,所议4=号 6分 (2)由余弦定理有d=b+c2-2 bcoosA=-b+c2-bc, 8分 整理得b+c2=3bc+a2, …多纷 第3页（共8頁） 由题意有a2=是b0,即b加= 因此有6+o=2女，从而b+c= 11分 由正弦定理有血B+s如C=i如A=3×5-3点 --13分 22 4 16.(15分) 【解析)(1)依题意，显然当P在短轴端点时， aPF的面积最大为二×2cxb=√5， -工分 即如=。又由南率为后分。-少 2分 解得a2=4,b=3,c2=1. --3分 所以椭圆C的方程为女+ -4分 43 (2)因为S2=3, 所以0rO8ls血∠B0P=3x104e0|s血∠400， 所以19P=3引00L.所以IOP卡410g1, 5分 ①当AB斜率不存在时，S2=S,不合题意， -6分 ②当AB斜率存在时，设直线方程为y=k(x-), 设点A(5,),B(5,2) 生+上=1 43 则 两式作差得： -h.+h=-3 三+益=1 为-为为+54 43 3 即KoP= 8分 故直线OP的方程为：y=- 七， -9分 3 y=- 4k 联立 -=1 解器 10分 43 3 y=4k, 4k2 联 -11分 y=x-1) 解得。3+4怀 因为，=4伍，所以 =4x- 12分 V3+4k 3+4k2· 即牙解得：k=号 14分 所以直线AB的方程为y=±与(x-). 15分 2 第4页（共8页） 17.(15分) 【解析(1)因为PA⊥平面ABCD,而ADc平面ABCD,所以PALAD,--1分 又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAc平面PAB,所以AD⊥平面PAB,-------2分 而ABc平面PAB,所以AD⊥AB,-- -3分 因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB,--- 4分 又AD,BCc平面ABCD,故AD∥BC,----- 5分 又ADE平面PBC,BCc平面PBC,所以ADI/平面PBC.--- -6分 (2)以DA,DC为x,y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系 D-: -7分 D 令AD=t,则A6,0,0),P,0,2),D(0,0,0) Dc=4-平，c04-子0.ac=4-,0严-@0,2)生 -8分 设平面4C的法狗=%，.所以C=乌+4%=0 元P=2%=0 设3=4-F,则男=1，名=0，所以4=4-7,50 -10分 D丽=伤+2红=0 设平面CPD的法向量为%=(3,2，)，所以 5DC=4-平为=0 设2=4，则名=-2，为=0，所以2=(-2,0，). -12分 因为二面角4-CP,D的正弦值为5，则余弦值为⑤ ,13分 又=商角方角，所以9-可 42.24-日 -14分 2W4+2 解得1=√反，所以AD=√2： 15分 18.(17分) 【解析)(1)因为fx)=e(s如x-cos)定义域为R, f(x)=e"(sinx-cosx)+e*(cosx+sinx)=2e*sinx,----------------------- -1分 所以当xe(2-五2)keZ)时f(x)<0, -2分 当x∈(22r+π(keZ)时f(x)>0, -3分 所以f(x)在(22r+keZ）上单调递增，在(2ar-五，2r)(keZ)上单调递减 -4分 第5页（共8页） (②)证明：由八-_os+刊1化简得s洲x+os-*c08x=0. e m(x)=sinx+cosx-xcosx, 要证方程-》_os+风在(0,2)上有且只有-个解， 即证方程m()=0在(0,2m)上有且只有一个解。 --5分 又m)=x-1sinx,所以当0<x<1时m()<0,当1<x<元时m(>0,当元<x<2x时()<0， 所以mx)在(0,1)，（元，2m)上单调递减，在（山，）上单调递增， -6分 所以当x∈(0，时m(x)≥m()=sinl>0, 所以m)在(0，上不存在x满足m(x)=0, -7分 又m()=π-1>0，m2m)=1-2π<0，所以有且只有-个∈（π，2m,满足m(名）=0， 所以m(x)=0在(0,2π)上有且只有-个解- -8分 (3)设0<x<:<π，则子<片 由题意可知5，a,可得2e血5-2e血5>m-G. 巧-鼎 即2esin为-a>2 sin-ax2, 令gx)=2 e'sinx-ad2,则g(3)>g3). 所以g(x)在(0，π)上单调递增， -9分 所以g(x)20在(0，π)上恒成立， -10分 g(x)=2e'(sinx+cosx)-2ax --11分 所以2e(simx+cosx)-2m≥0在(0，x)上恒成立， 令()=c(6血x+c@s-m,则h0=l国)=-心-m≥0，解得aS-g -----12分 网=2gomx-a,令p问=20cwx-a,则g(间-2i压s如x-到引 当0<x<牙时)>0，当<x<π时()<0， 所以p冈在0上鲜调腿增在任上单调递减90=2-a>0,间=-2g-,-13分 ①当a≤-2c时(20，所以p(x)>mi血{(0)，p(}20,所以h()在(0，)上单调递增， 第6页（共8页）