福建省厦门第一中学2024-2025学年高三上学期期末复习数学周测试卷14

高三数学试卷（14) (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意率项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.设集合M={x|logx<1},N={x2x-1<0,则M∩N=（) A.{x|x<2} 仲引 C.{x0<x<2 D. 2.在复平面内，若是虚数单位，复数z与己关于虚轴对称，则2=（） 2 A.1+i B.-1-i -1+ D.1-i 3.已知平面向量a,6满足同=2a-=2,a-1a,则=（) A.1 B./2 C. D.2 4已知a+}血a导则a+到( A.可 8 c D哥 5.已知函数∫(x)=2+2,则下列函数的图象关于直线x=1对称的是() A.f-+os经 且.f++sm受：c.f-+m受D.f++ow经 6。已知)=2如(@x+p@>0p水引，其中相邻的两条对称轴的距离为行，且问经过点0-，则关 于x的方程f(x)=sinx在[0,2π上的不同解的个数为() A.6 B.5 C.4 D.3 7。已知红}是无穷等比数列，英前n项和为，4=3码-号若对任意正整致，都有3，-6少心0，则A 的取值范围是( A.[-2,1) c.(-3,) I D. 试卷第1页，共4页 设双曲线C:苔芳-1e>b>0的左，右焦点分别为R,左.右顶点为4么，已痴P为双 曲线一条渐近线上一点，若∠FP?=3∠4P%=,则双曲线C的离心率e=（) A.3 B、2V5 c.而 D,V10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， F9.随机事件B清足P团=P)=P(4)=分则下列说法正确的是（) A.事件A丽与AB互斥 B.事件A与B相互独立 C.P(A+B)=P(B) D.P(B A)=P(A) 10.设函数f(x)=ax-h2-,则对任意实数a,下列结论中正确的有（) A.f(x)至少有一个零点 B.f(x)至少有一个极值点 C.点(1，f(1)为曲线y=fx)的对称中心D.x轴一定不是函数f(x)图象的切线 :11.我们常用的数是十进制数，如1079=1×10+0×102+7×10+9x10°，表示十进制的数要用10个 数码0,1,2,3,4,5,6，方8,9：而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1， 如四位二进制的数1101包=1×2+1×2240×2+1×2°，等于十进制的数13.把m位n进制中的最 大数记为M(m,n),其中m,neN,n之2，M(m,n)为十进制的数，则下列结论中正确的是 A.M(4,2)=M(2,4) B.M(8,3)=3 C.M(2,3)≥M(2n,3) DM(n+2,n+1)>M(n+1,n+2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知公差不为0的等差数列{a}的前n项和为Sn,若，=3(42+a,+an),则m= 13.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字摸球人不知最大数字是 多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开 始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束， 否则继生摸球问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是 试卷第2页，共4页 14、在三棱锥P-ABC中，BC-PA=2N5,BA+PC=4W5,BP=4,AC⊥BP,BA=BC,二面角A-BP-C 的大小为行，则C到平面PMB的距离为： 四、解答题：本题共5小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角4B,C所对的边分别为ab,c,且osC=-cos4 c a+2h (1)求角C的大小： (2)若AC=BC=2,如图，D,E是AB上的动点，且∠DCE始终等于30°，记∠CED=a,当a为何值 时，△CDE的面积取到最小值，并求出最小值. D 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD=√6，PB-PC=V3,∠APB=∠CPD=90°， 点M,N分别是棱BC,PA的中点 (I)证明：MN∥平面PCD: (2)若平面PAB⊥平面PCD,求直线MN与平面PAB所成角的正弦值. B 17.(15分) 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量.某研 究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息.在软件测试阶 段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8：若数据集质量低，则分析准确的概率为 0.3.已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1。 (1)求一次数据能被软件准确分析的概率： (2)在连续（≥8）次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立.设软件准确分 析的数据集个数为X。 ①求X的方差；②当n为何值时，P(X=8)的值最大？ 试卷第3页，共4顷 18.(17分) 已知精圆C:兰+片=1a>b>0)的左，右焦点分别为R-1,0,0,C上坏同两点 a2+62 4k,W.6%)满是a=8>0,当久=1时，同-子 (1)求C的方程； (2)设直线FB,FA交于点P(),其中>0， @证明，+1-1， 片y2% ②已知△PAB的面积为1，求△PAF与△PBF,的面积之和 19.若存在正实数a,对任意xeD,使得a2≤f(x)s2am2,则称函数f(x)在D上是一个“T(a) 函数” (I)已知函数f(x)=e在，4]上是一个“T(a函数”，求a的取值范围 0已蜘当x引时a<,证明：数-1o在引是-个得 函数” 1.1.1 (i)设neN*,证明：anl2tam;3ta 7++1>2m2-n 1 12n+. ntan- 3 n 试卷第4页，共4顷 高三数学试题(14)参考解答 一、选择愿：本题共8小愿，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B 8.【答案】A 【管案】A【详解】因双曲线C号-兰=1a>0,b>0)的渐近线为y=±乌x,焦点R(←，0Re.0), b 由双曲线的对称性不纺设P>0,因为∠R巩=受，所以职1P照，所以%=-， 微总 (-c(+o) 1所以 所以P%1R码，又3∠4P4=受，所以P44=5 A P4=之=m号=5，所以b=2y5a,两边平方得=12d, 所以442a 所以c2-a2=12d,所以c=-132,所以二=V店，所以双曲线C的离心率e=. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ABC 10.【答案】ACD 11.【答案】ACD 11,【详解】对于A,M(4,2)=1111=1×22+1×22+1×2+1×2°=15， M2,4)=33g=3x4+3x4=15,A正确； 对于B,M8,3)=2220=2x3+2x手+…+2×3+2x号=2-=子-，B错误 1-3 对于C,当m22时2=+y=C8+C+C+…≥1++-D≥2， 2 当且仅当n=2时取等号，当n=2时，M(2”,3)=M(2m,3), 2"个2 当n>2时，M0,3)=222间=2×3+2x32++2x31+2x322+…+2x3+2x39 2个2 >2x3*+2x32++2x3+2×3°2220=M2网，C正确： (+个 对于D,Ma+2,n+)=nn。=(n+切+(n+9+…+(a+包+明 试卷第1页，共1山页 =a+)++旷+…+6a+0+a+]=%-a+ 1-0m+ -=(n+10y-1, 【n+0ta+w M(a+1,+2)=(n+l0(n+1以n+)…(n+l)at② =(+10n+2)”+(+10(u+2)+(m+10(n+2)-2+…++1)0n+2y+(+10(m+2)° =r+0a+2y++2y+a+2++0m+2y+a+2]=a+:-n+2”=0+2L-1, 1-(m+2) 函数)-=x>0,求导得/二<0，则)在e,切上单调濾减 2 当n∈N,n22时，e<n+1<n+2,则f0m+0>f0m+2,即血h+D>+2) n+1 n+2 因此(u+2)ln(a+1)>(n+1)n(n+2),即(n+1)2>(u+2)",则M(n+2,n+)>M(n+1,n+2),D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 2【答案】93【答案】吕 客9 14,【详解】取AC中点M,连接BM,PM,由BA=BC,可得BM⊥AC, 又AC⊥BP,BP∩BM=B,BP,BMC平面BPM,所以AC⊥平面BPM, 又PM∈平面BPM,所以AC⊥PM,所以AP=PC, 因为BC-PA=2B,BA=BC,所以BA-PA=2W5,又BA-PC=43,所以BA-PA=4W5, 取BP中点为O,在平面PAB中，以O为原点，B驴为x轴，如图建系：A同时位于双曲线C与椭圆C上. 便草lc受塔1，则4=3，%-45， 4=4,-因-4所c4号yc后l 由垂直关系：如右图：BPL平面MC,联立G、C可得：43，V2), 则B0=5,A0=√2，AB=√2+25=3V5,二面角A-BP-C 对应的平面角为∠40C=,面在△40P中：P=5, 四=4=358m=25,hc=%e-c时xw5反x轴6-0=29， 2 3 设点C到平面PMB的距离为a,因为%c=%M,所以x22xh=25:解得有=5 3 试卷第2页，共11页 四、解答题：本题共5小愿.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(I)在△MBC中，由正弦定理可得sC -008A sinC sind+2sinB …l分 所以sim4cosC+2 sinBcosC=-cos AsinC,所以3m(A+C)=-2 2sinBoosC, 4…2分 在在△A闭C中，si血(A+C)=sinB即得sinB=-2 sinBcosC, ……3分 因为0°<B<I80°，所以imB>0,所以cosC=-。 …4分 D E B 因为0°<C<180°，所以C=120°；： 4…5分 (2)因为4C=BC零2，由(1)知C=120°，所以A=B=30°，…6分 在入MC团中，由正弦定理可得4C-C巴 1 na血30：所以cg= …7分 sina BC CD 在△8CD中，由正弦定建可得(5-司0，所以G0- i恤(150°-a' …8分 1 所以8，cas=7c0-CB-n304恤50-a2如Ra-60+而' …10分 因为0<g<150°，游以0<2a-60°<240°，当2a-60°=90°，即a=75时，…11分 sa(2a-60)=1,S4cmg取得最小值2-5，… …12分 即当a=75时，ACDB的面积取到最小值，最小值为2-V5. …l3分 16.(15分) 【详解】(1)证明：取PD的中点为2，连接N№，Cg, …1分 :点N是PA的中点，则N视WAD且@=宁D,n …2分 又点M是BC的中点，底面ABCD是矩形， 则CMe4D且CM∥AD,nn 3分 N视∥CM且Ng=CM,四边形N视C是平行四边形，……4分 N∥C视，…5分 又MW平面PCD,C现在平面PCD内，MW∥平面PCD;…6分 (2)过点P作PB⊥B交B于点E,作PF⊥CD交CD于点F,连接，…7分 则PF⊥AB,PEOPF=P,PB,PFc平面PEF,AB⊥平面PEF, 又ABc平面ABCD,平面PEF⊥平面ABCD,… 一名分 试卷第3页，共11页 'PA=PD=V6,PB=PC=V5,∠PB=∠CPD=90', 小AB=CD=3PB=PF=5,BB=C℉alAB=D9=2.…9分 设平面PABA平面PCD=l,可知l∥CD∥AB, 八平面PAB⊥平面PCD,∠EPF✉90，F=2,4…10分 取EF的中点为O,连接OP,OM,则OP1平面ABCD,OP=1, 0M,0f,0p两两錘直…4…11分 以0为坐标原点，分别以OM,0N,0P所在直线为名y,2轴建立空间直角垒标系0-2， 如图系则P0a4水2-0.86-0Ma0-》 -(2-,而6a0西2 …12分 设平面PAB的一个法向量为就=(：，y, 则由 p风=-2x-y-z=0,取航=01- 13分 丽=3x=0, 设直线MW与平面PAB所成角为B, M 3,4 …14分 综上，直线MN与平面PAB所成角的正弦值为， 小…l5分 17.(15分) 【详解】(1)记“输入的数据集质量高”为事件A,“一次数据能被软件准确分析为事件B, 由题意可知：P(团=0.1，P()=0.8,P(可=0.3，则P()=l-P(a)=0.9,…1分 所以P(B)=P(P(A+P(P(4)=0.75.所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75.…3分 2)由D可知：P例=075= @依题意。X的可能取值为0123，X~8到 …4分 所以p=-c旧安Pt=-c旧-a pp=2-c旧P-c间器 …8分 试卷第4页，共11页 所以随机变量Y的分布列为： P 9 27 27 64 64 64 64 小小小44小44444t4444444414…9分 39 所以（们）=3x子-4 …l0分 ©可知Px=-c-”-c …11分 n+1 4(体7' …l2分 c 令447>1，解得n≤9，可知当n≤9，可得之a4 +1 令-可1，解得n≥10，可知当n≥10，可得41<4： 于是<42<4<0>4>42>i…14分 所以当n=10时，n最大，即n=10时，P(X=8到的值最大.…15分 18.(17分) 【详解】(1)解法-：当1=1时，FA=EB,则四边形FEBA为平行四边形， 由精圆的对称性可知，四边形F邓，BA为施形，即RA山x轴，所以4-。 2 …1分 628 a=3 所以 a3,解得 …2分 a2-b2=1 b=221 所以椭圆的标准方程为C:士ヅ写…3分 98 解法二：当1=1时，FA=F,B,则四边形FF,BA为平行四边形， 由椭圆的对称性可知，四边形FFBA为矩形，即FA⊥x轴，所以 …1分 试卷第5页，共11页 +-2+ =6,即a=3,b=2-2=8,…2分 所以椭圆的标准方程为C:士+上 1…3分 9 8 (2》0解法-，因为=亚，所以巴-4P_4 PBI PF3F3B =九，…4分 所以-FA-A,h-PE1 …6分 y21FB1元+1’为1AE,1+元 烈受会高品女》 …7分 4y2% 解法二：过点P作直线P∥交x轴于点，则△RP2与△RB驱2相似，…4分 所EA--益，所以丛-g …5分 FB FFFBI Y2 21FF引 同理可得必= l№ 1E' …6分 所以女+丛-2，即+ …7分 y yFF 片2% 解法三：由(1)知，F(-1,0),F1,0), 名年 为2+1 x=支 -y+1, %-1=1 x=y-”为 %+1, y 出%-二男=2伤+1%-6-⅓=2地 即%+y+%=2幽 …5分 因为FA=B(1>0),FA=(x+1,y),F=6-1y2bk+1M2-飞-1久=0， 即xy2-为》+儿十2=0，… …6分 %+乃=-%+%=出，即上+1= …7分 4y2y% 试卷第6页，共11页