广东省汕头市潮阳林百欣中学2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期 第二阶段考试高二级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（   ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 4．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．截距式适用于不过原点的任何直线 B．两点式适用于不垂直于x轴的任何直线 C．经过第三象限一点，且在x轴、y轴上的截距相等的直线只有一条 D．两圆、公共弦所在直线方程为 6． 已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 8．设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（    ） A．7 B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求，全部选对得 6 分，部分对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为10 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 10．向量，则下列说法正确的是（    ） A．，使得 B．若，则 C．若，则 D．当时，在方向上的投影向量为 11．已知双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．使得为等腰三角形的点有且仅有2个 C．点到两条渐近线的距离的乘积为 D．已知点，则的最小值为5 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，三点共线，则 . 13．圆与圆的公切线的条数为 . 14．早在两千多年前，我国的墨子就给出了圆的定义：一中同长也．已知O为坐标原点，．若圆O，圆P的“长”分别为1，r，且两圆相切，则 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）已知圆，直线. (1)判断直线与圆C的位置关系； (2)求该圆过点的切线方程. 16．（本题满分15分）已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 17．（本题满分15分）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 18. （本题满分17分）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，． (1)证明：平面平面； (2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（本题满分17分）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任作一条直线与椭圆交于A、B两点，求以M为中点的弦AB所在的直线方程； (3)设点D为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线l交椭圆C于P、Q两点，使得直线DP，DQ的斜率之和等于－1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 潮阳林百欣中学2025-2026学年度第一学期 第二阶段考试高二级数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 D C A A D B C D AD BCD AC 3 2 1或3 4．如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则 , 设异面直线与所成的角为，则， 5．截距式中，两截距必须存在且都不为，因此直线不能过原点，也不能与坐标轴平行，故A错误； 两点式中，分母不为，不能表示垂直轴、轴的直线，故B错误； 经过第三象限一点，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有过原点的一条和不过原点的一条，故C错误； 两圆、公共弦所在直线方程，两圆方程相减可得 ，故D正确. 6．圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交；联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 7．， 则向量即为平面的法向量， 8．设，则，代入到椭圆方程， 可得，整理得：. 由，所以. 即椭圆上的点到点的最大距离为. 所以圆上的点与椭圆的点的距离的最大值为. 9．椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A正确；对于B，的周长为，B错误； 对于C，的最小值为，C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，D正确. 10．对于A，若，则，使，即，显然无解，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，得， 则在方向上的投影向量为，故D正确； 11．对于A，由题意可知，，设， 则直线的斜率，，令， 则， 令，则在上单调递减， ，则，故A正确； 对于B，当时，满足条件的点有两个，当时，满足条件的点有两个，显然不存在点满足，满足为等腰三角形的点有4个，故B错误； 对于C，易知双曲线的渐近线方程为，即， 点到两条渐近线的距离的乘积为，故C正确． 对于D，点与在双曲线两侧，当三点共线，且点在线段上时， 有最小值，此时，故D错误．  12．由，，可得：，, 因为，，三点共线，所以， 即，解得，所以3， 13．对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交，可得两圆的公切线条数为2. 14.由题意，O为坐标原点，， 根据圆的定义可知，的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为r， 因为两圆相切， 当两圆外切时，则有，即， 当两圆内切时，则有，即，或（舍） 15．（1）圆，圆心，半径，（1分） 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为，（2分） 因为，即，（1分）所以直线与圆C相交.（1分） （2）若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件；（2分） 若切线有斜率，设其值为，（1分）切线方程为，即，（1分） ，解得；（2分）此时，切线方程为；（1分） 综上所述，该圆过点的切线方程和.（1分） 16．（1）由题得:，（2分）解得，（2分） 所以双曲线的方程为：.（1分） （2）设，（1分） 如图所示： 由题得直线的方程为，（2分） 联立得：，整理得：，（3分） 所以，（2分） 所以 所以.（2分） 17．（1）由题意知、分别、中点，则得，（1分） 因为平面，平面，（1分） 所以平面.（1分） （2）由平面ABC，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系如图，（1分） 则，，，，，，，（2分） 所以，，，（2分） 设平面的一个法向量为， 则，令，则得，（2分） 设直线与平面所成角为，则，（2分） 故线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可得，（1分）平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为.（2分） 18.（1）为等边三角形，，（1分） 又四边形为梯形，，则，（1分） 根据余弦定理可知，在中， （1分） 根据勾股定理可知，，即，（1分） 平面，平面，（1分） 又平面平面平面；（1分） （2）为中点，，（1分） 由（1）可知，平面平面，又平面平面平面， 平面，（1分） 连接，则，且平面，故， 所以PO，BD，OC两两垂直．以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系如图，（2分）   则，（1分） 设且，则， 由三棱锥的体积为得：， 所以，（1分） ，（2分） 设平面的一个法向量为， 则，令，则，故，（1分） 设平面的一个法向量为， 则，令，则，故．（1分） 所以平面与平面的夹角余弦值为：.（1分） 19．（1）由题意得，将代入椭圆方程得，（2分） 又，解得，故椭圆方程为（2分） （2）根据题意得中点弦的斜率存在，且M在椭圆内，设，， 所以，，（1分） 两式作差，得，（1分） 由于M是BC的中点，故，，（1分） 所以，所以，所以，（2分） 所以中点弦的方程为，所求的直线方程．（1分） （3）当直线l的斜率为0时，D和P或D和Q重合，显然不满足条件，（1分） 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，，，（1分） 由，可得，（1分） 由题意， 则，，（1分） 由 ，（2分） 由，即， 故存在满足条件的直线，直线l的方程为：．（1分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $