专题十二 一次函数应用2026年中考数学一轮复习讲义

专题十二 一次函数应用 【题型一】待定系数法求一次函数解析式 【例1】（2025•西宁）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点P在过原点的直线l上，且AP＝OP＝4，则直线l的解析式是 　或　 ． 【分析】设直线l的解析式为：y＝kx（k≠0），再根据已知条件判定点P在OA的垂直平分线上，从而求出点P的横坐标，然后根据利用勾股定理求出点P的纵坐标，再把点P的坐标代入y＝kx，求出k即可． 【解答】解：设直线l的解析式为：y＝kx（k≠0）， ∵AP＝OP， ∴点P在OA的垂直平分线上， ∵A（4，0）， ∴点P的横坐标为2， 如图所示：当直线l在第一、三象限时，过点P作PB⊥OA， ∴∠PBO＝90°， 由勾股定理得：， ∴点P坐标为， 把点P代入y＝kx得：， ∴直线l的解析式为：； 如图所示：当直线l在第二、四象限时，过点P作PB⊥OA， ∴∠PBO＝90°， 由勾股定理得：， ∴点P坐标为， 把点P代入y＝kx得：， ∴直线l的解析式为， 综上可知：直线l的解析式是或， 故答案为：或． 【变式1】（2025•鄄城县一模）已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB．当△APB的面积等于4时，直线PB的表达式为 　　 ． 【分析】先求得A（2，0），B（0，2），设点P的坐标为（p，0）（p＞0），则AP＝|p﹣2|，再根据△APB的面积等于4求得p＝6，即P（6，0）；然后运用待定系数法求解即可． 【解答】解：由条件可知A（2，0），B（0，2）， 设点P的坐标为（p，0）（p＞0），则AP＝|p﹣2|， ∵△APB的面积等于4， ∴，解得：p＝6或﹣2（不合题意，舍弃）， ∴P（6，0）， 设直线PB的解析式为y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线PB的表达式为． 故答案为：． 【变式2】（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）． （1）求k，b的值； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝2x+1，函数y＝x+k的解析式为y＝x+2，当mx＜2x+1时，则（m﹣2）x＜1，当mx＜x+2时，则（m﹣1）x＜2，根据当x＜1时，两个不等式都成立可得m≥2；当m＝2，x＜1时，2x＜2x+1和x＜2恒成立；当m＞2时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【解答】解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）， ∴， 解得； （2）由（1）可得函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝2x+1，函数y＝x+k的解析式为y＝x+2， 当mx＜2x+1时，则（m﹣2）x＜1， 当mx＜x+2时，则（m﹣1）x＜2， ∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值， ∴m﹣2≥0，且m﹣1≥0， ∴m≥2， 当m＝2，x＜1时，2x＜2x+1和x＜2恒成立，故m＝2符合题意； 当m＞2时，则， 当时，则． 解不等式得m≤3，解不等式m≤3， ∴2＜m≤3； 当时，则， 解不等式得m＞3，解不等式得m≤3，此时不符合题意； 综上所述，2≤m≤3． 【变式3】（2025•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝3． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（8，4），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质得AB＝BC＝OC＝OA＝3，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接BO，OE，直线OE与直线AC的交点即为点P，运用待定系数法求出OE的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出OE的长即可解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是正方形，OA＝3， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，AB⊥x轴， ∴B点坐标为（3，3），C点坐标为（0，3）； （2）∵OA＝3， ∴A（3，0）． 又C（0，3）． 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A，C两点代入解析式得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3； （3）连接BO，OE，直线OE与直线AC的交点即为点P， ∵四边形OABC是正方形， ∴点B与O关于直线AC对称， ∴OE的长即为PB+PE的最小值． ∴直线OE与直线AC的交点即为点P． 设直线OE的解析式为：y＝kx， 把点E（8，4）代入解析式得：6k＝3， 解得，， ∴直线OE的解析式为：． 联立方程组， 解得，，∴点P的坐标（2，1）． 过点E作EF⊥x轴，垂足为F， ∴． 所以PB+PE的最小值为． 【题型二】待定系数法求正比例函数解析式 【例1】（2025•雁塔区校级四模）正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为（　　） A． B． C． D．y＝x 【分析】直接把x＝2时，y＝﹣1代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1， ∴﹣1＝2k， 解得k， ∴y与x的函数关系式为yx， 故选：A． 【变式1】（2025•雁塔区校级模拟）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（m，n），且3m+2n＝0，则它的表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意将点A（m，n）代入正比例函数y＝kx中，结合3m+2n＝0求出k的值，即可得到正比例函数的表达式． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（m，n）， ∴n＝mk，即k， ∵3m+2n＝0， ∴3m＝﹣2n， ∴， ∴k， ∴yx． 故选：A． 【变式2】（2025•南郑区校级一模）若点A（m，y1）和点B（m+2，y2）在同一正比例函数图象上，且y2﹣y1＝4，则该正比例函数的表达式为（　　） A．y＝x B．y＝2x C．y＝﹣2x D． 【分析】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），根据已知条件列出关于m的方程式，进而得出答案． 【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）， 则y1＝km，y2＝k（m+2）， ∵y2﹣y1＝4， ∴k（m+2）﹣km＝4， ∴2k＝4， ∴k＝2． ∴正比例函数的解析式为y＝2x． 故选：B． 【变式3】（2025•南开区三模）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣1，2），则k的值为　﹣2　 ． 【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征，将点（﹣1，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0），列出关于k的方程，然后解方程即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣1，2）， ∴点（﹣1，2）满足正比例函数y＝kx（k≠0）， ∴2＝﹣k， 解得，k＝﹣2； 故答案为：﹣2． 【题型三】一次函数与一元一次不等式 【例1】（2025•徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（　　） A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2 【分析】观察函数图象得到即可． 【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0， 所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1， 所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1， 所以解集为x＜2， 故选：C． 【变式1】（2024•广东）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】数形结合求不等式的解集，逐一判断四个选项即可． 【解答】解：A．不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣2，故本选项不符合题意； B．不等式kx+b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意； C．不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2，故本选项不符合题意； D．不等式kx+b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2024•无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论： ①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”； ②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】推出y＝﹣x+4在1≤x≤3时，1≤y≤3，即t＝1，即可判断①；推出y＝x2在0≤x≤2时，0≤y≤4，即t＝2，即可判断②；③设当0＜m≤x≤n，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1，当函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【解答】解：①当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，当x＝3时，y＝﹣x+4＝1， ∵a＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴y＝﹣x+4在1≤x≤3时，1≤y≤3，即t＝1， ∴1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当x＝0时，y＝x2＝0，当x＝2时，y＝x2＝4， ∵y＝x2对称轴为y轴，a＝1＞0， ∴当x≥0时，y随x的增大而增大， ∴y＝x2在0≤x≤2时，0≤y≤4，即t＝2， ∴0≤x≤2是函数y＝x2的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵k＞0， ∴该反比例函数图象位于第一、三象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当0＜m≤x≤n，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵k＞0，0＜m≤x≤n， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数y＝﹣x2+2x+1的对称轴为， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大， 设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1， 当函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数y＝﹣x2+2x+1的“4级关联范围”， ∴函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 【题型四】一次函数与二元一次方程（组） 【例1】（2024•内蒙古）点P（x，y）在直线yx+4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数与方程的关系，列方程组求解． 【解答】解：解方程组得：， ∴P（6，）， ∴P在第四象限， 故选：D． 【变式1】（2023•宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．y1随x的增大而增大 B．b＜n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为 【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【解答】解：A：由图象得y1随x的增大而增大， 故A正确的； B：由图象得：n＞b， 故B是正确的； C：由图象得：当x＜2时，y1＜y2， 故C是错误的； D：由图象得：的解为：， 故D是正确的； 故选：C． 【变式2】（2025•宁夏）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 【分析】依据题意，可得关于x，y的方程组的解即为直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的交点A（4，6）的坐标． 【解答】解：由图象知直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2相交于点A（4，6）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故答案为：． 【题型五】两条直线相交或平行问题 【例1】（2025•南充）已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则的值是　　 ． 【分析】由直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上可知当x＝0时函数值相等，得到m＝﹣2n，然后代入化简即可． 【解答】解：当x＝0时，y＝m（x+1）＝m，y＝n（x﹣2）＝﹣2n， ∵直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上， ∴m＝﹣2n， ∴， 【变式1】（2025•大庆）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 y＝x+1（答案不唯一）　 ． 【分析】写出一个k＞0，b＞0的一次函数即可． 【解答】解：∵函数图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大， ∴y＝x+1， 故答案为：y＝x+1（答案不唯一）． 【变式2】（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）． （1）求k，b的值； （2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）先根据直线y＝﹣kx+3点（2，1）得出k＝1，再将点（2，1）代入y＝x+b，求出b的值； （2）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1）， ∴﹣2k+3＝1， 解得k＝1， 将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1， 解得b＝﹣1． （2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝x﹣1的值，也大于函数y＝﹣x+3的值， ∴m≥1． ∴m的取值范围是m≥1． 【题型六】一次函数应用之文字型 【例1】（2025•西宁）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣一一坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． （1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ （2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【分析】（1）根据题意列出方程组即可解决问题； （2）根据题意得w＝30m+2250，然后利用一次函数性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，得， 解方程组，得， 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）设购买紫丁香m株，则购买白丁香（45﹣m）株，总费用为w元． 根据题意，得w＝80m+50×（45﹣m）＝30m+2250， ∵30＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵m≥20， ∴当m＝20时，w最小＝30×20+2250＝2850， 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 【例2】（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为（20﹣a）个，且a≤3（20﹣a），根据题意，得w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，解答即可． 【解答】解：（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元， ， x＝2500， 经检验，x＝2500是原方程的根． 此时x+300＝2800， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）甲型健身器材买了a个，a≤3（20﹣a）即a≤15，且a为正整数， w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000， 由k＝﹣300＜0，得w随a的增大而减小， 故当a＝15时，w取得最小值，且最小值为w＝﹣300×15+56000＝51500（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【变式1】（2025•广元）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【分析】（1）设足球的单价为m元，则篮球的单价为（m+20）元，根据题意列关于m的分式方程并求解即可； （2）根据题意，列关于x的一元一次不等式组并求其解集，根据总费用＝购买篮球的费用+购买足球的费用写出y与x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小即可． 【解答】解：（1）设足球的单价为m元，则篮球的单价为（m+20）元． 根据题意，得， 解得m＝80， 经检验，m＝80是所所列分式方程的根， 80+20＝100（元）． 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元． （2）购买足球（120﹣x）个， 根据题意，得， 解得72≤x≤119且x为整数， y＝100x+80（120﹣x）＝20x+9600， ∴y与x的函数关系式及x的取值范围是y＝20x+9600（72≤x≤119且x为整数）， ∵20＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵72≤x≤119且x为整数， ∴当x＝72时y值最小， 120﹣72＝48（个）． 答：购买篮球72个、足球48个总费用最低． 【变式2】（2025•深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 【分析】（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条件①②，列出方程组，解方程组即可； （2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个，根据“足球的个数不超过篮球个数的2倍”，列出不等式求出m的取值范围；再设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，根据总费用＝购买篮球和足球的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 选择条件①②： 根据题意得：， 解得， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； （2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个， 根据题意得：10﹣m≤2m， 解得m， 又∵m≤10， ∴m≤10， 设学校要购买篮球、足球的总费用为w元， 根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵m≤10，且m为正整数， ∴当m＝4时，w最小，最小值为540． 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元． 【变式3】（2025•山东）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． （1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； （2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？ 【分析】（1）根据蓄水池的水位高度＝注水时水位每小时升高的高度×注水时间+本次注水前蓄水池的水位高度解答即可； （2）根据y与x的函数关系式及圆柱的体积公式列关于x的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：（1）y＝6x+5， ∴蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式为y＝6x+5． （2）根据题意，得0.4（6x+5）×0.3＝4.2， 解得x＝5． 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时． 【题型七】一次函数应用之图象型 【例1】（2025•丽水一模）甲、乙两地相距240km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示． （1）分别求出轿车和货车的平均速度； （2）求轿车到达终点时，货车离终点的距离； （3）货车出发多长时间后，两车相距200km？ 【分析】（1）轿车和货车到达目的地分别用时4h和6h，分别根据“速度＝路程÷时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有6﹣4＝2（h）的路程，根据“路程＝时间×速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当0≤x≤2.4和4＜x≤6时y关于x的函数关系式，分别将y＝200代入关系式，求出对应的x的值即可． 【解答】解：（1）根据“速度＝路程÷时间”，轿车的平均速度为240÷4＝60（km/h），货车的平均速度为240÷6＝40（km/h）， ∴轿车的平均速度为60km/h，货车的平均速度为40km/h； （2）根据“路程＝时间×速度”，得40×（6﹣4）＝80（km）， ∴轿车到达终点时，货车离终点的距离为80km； （3）当0≤x≤2.4时， 设y与x的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 由题意可得： ， 解得， ∴y＝﹣100x+240， 当y＝200时，得﹣100x+240＝200， 解得x＝0.4； 由图象得：在2.4＜x≤4时，无法达到200km； 当4＜x≤6时， 设y与x的函数关系式为y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）． 由题意可得： 得， ∴， ∴y＝40x， 当y＝200时，4x＝200， 解得x＝5． ∴货车出发0.4h或5h后，两车相距200km． 【变式1】（2025•宿迁）甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动．甲比乙早出发6min，两人途中均未休息，先到达N处的人在原地休息等待，直到另一人到达N处．两人之间的路程y（m）与甲行走的时间t（min）的函数图象如图所示． （1）乙步行的速度为 　90　 m/min，MN之间的路程为 　3960　 m； （2）当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式； （3）甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m． 【分析】（1）观察图象可知，甲6min走了360m，甲行走18min时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走50min时，乙到达N点，求出乙的总路程即为MN之间的路程； （2）求出C点坐标，待定系数法求出BC段的函数关系式即可； （3）分18≤t≤50和t＞50两种情况，求出t的值即可． 【解答】解：（1）由图象可知：甲的速度为：360÷6＝60m/min， 设乙的速度为xm/min，由题意得一次函数：60×18＝x•（18﹣6）， 整理得，12x＝1080， 解得x＝90， 故乙的速度为90m/min； MN之间的路程为：90×（50﹣6）＝3960m； 故答案为：90，3960； （2）由图象可知：C点的纵坐标为3960﹣60×50＝960， ∴C（50，960）， 当18≤t≤50时，设y＝kt+b，把B（18，0），C（50，960）代入，得： ， 解得， ∴y＝30t﹣540， 即y关于t的函数表达式为y＝30t﹣540； （3）当18≤t≤50时，令y＝30t﹣540＝450，即30t＝990， 解得t＝33； 当t＞50时，60t＝3960﹣450，即60t＝3510， 解得t＝58.5； 综上：当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m． 【变式2】（2025•齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）A，C两区相距 　240　 米，a＝ 　7.5　 ； （2）求线段EF所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【分析】（1）由图象直接可得A，B两区的距离和B，C两区的距离，从而求出A，C两区的距离，再由时间＝路程÷速度求出机器人甲到达B区时所用时间，即a的值即可； （2）由时间＝路程÷速度求出机器人乙到达B区时所用时间，从而得到点E的坐标，根据速度＝路程÷时间求出EF段的速度，再由路程＝速度×时间求出线段EF所在直线的函数解析式即可； （3）分别讨论机器人甲在B区左侧时、机器人乙到达B区并开始返回时至机器人甲在B区停留结束时、机器人甲从B区出发至到达C区三个时间段内机器人甲、乙相距30米时对应x的值即可． 【解答】解：（1）由图象可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距150+90＝240（米）， 机器人甲到达B区时所用时间为150÷20＝7.5（分）， ∴a＝7.5． 故答案为：240，7.5． （2）机器人乙到达B区时所用时间为90÷10＝9（分）， ∴E（9，0）， 机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷（15﹣9）＝15（米/分）， 则y＝15（x﹣9）＝15x﹣135， ∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x﹣135（9≤x≤15）． （3）当0≤x≤7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得20x+10x+30＝240， 解得x＝7， 当9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135＝30， 解得x＝11， 当12＜x≤15时，机器人甲的速度为90÷（15﹣12）＝30（米/分），则y＝30（x﹣12）＝30x﹣360，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135﹣（30x﹣360）＝30， 解得x＝13， ∴机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 【题型八】一次函数应用之表格型 【例1】（2025•西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【分析】（1）通过设生产甲、乙服装的数量为未知数，结合总件数和总投入资金的条件，列二元一次方程组求解； （2）先根据甲、乙数量关系设未知数并列出不等式确定甲的数量范围，再分别算出甲、乙的单件利润，得出总利润关于甲数量的函数，根据函数单调性确定利润最大时的生产安排． 【解答】解：（1）设生产甲款服装x件，生产乙款服装y件， 根据生产甲、乙两款服装共300件，可得x+y＝300， 又∵投入230000元且资金刚好用完， ∴700x+800y＝230000， 将x+y＝300变形为x＝300﹣y，代入700x+800y＝230000中， 700（300﹣y）+800y＝230000， 210000﹣700y+800y＝230000， 100y＝20000， y＝200， 把y＝200代入x＝300﹣y， 得x＝300﹣200＝100， ∴可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设生产甲款服装m件，则生产乙款服装（500﹣m）件， ∵甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍， ∴m≥2（500﹣m）， m≥1000﹣2m， m+2m≥1000， 3m≥1000， m333.33， ∵m为服装件数， ∴m取整数，m≥334， 甲的利润为（1000﹣700）＝300元/件，乙的利润为（1200﹣800）＝400元/件， 总利润＝300m+400（500﹣m）＝300m+200000﹣400m＝﹣100m+200000， ∵﹣100＜0， ∴总利润随m的增大而减小， ∴当m＝334时，W有最大值，此时500﹣m＝500﹣334＝166， ∴生产甲款服装334件，乙款服装166件时，能获得最大利润． 【变式1】（2025•陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表： 气体温度x（℃） … 25 30 35 … 气体体积y（L） … 596 606 616 … （1）求y与x的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【分析】（1）根据变量的变化规律解答即可； （2）当y＝700时，求出对应x的值即可． 【解答】解：（1）根据表格，气体温度升高1℃，气体体积增大2L，则y＝596+2（x﹣25）＝2x+546， ∴y与x的函数关系式为y＝2x+546． （2）当y＝700时，得2x+546＝700， 解得x＝77． 答：停止加热时的气体温度为77℃． 【变式2】（2024•广元）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【分析】（1）依据题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，可得 ，计算即可得解； （2）依据题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200﹣m） 件长款服装，从而80m+90（200﹣m）≤16800，故m≥120，又设利润为w元，进而w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000，再结合一次函数的性质，即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件， ∴． ∴． 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200﹣m） 件长款服装， ∴80m+90（200﹣m）≤16800． ∴m≥120． 又设利润为w元， 则w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000． ∵﹣10＜0 ∴w随m的增大而减小． ∴当m＝120时，利润w最大为：﹣10×120+6000＝4800（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【课后练习】 1．（2025•武安市一模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2）和点（1，﹣1）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求此一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【分析】（1）把两已知点的坐标代入y＝kx+b得关于k、b的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用一次函数解析式求出一次函数与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）把（0，2）和（1，﹣1）代入y＝kx+b得， 解得， 所以一次函数解析式为y＝﹣3x+2； （2）当y＝0时，﹣3x+2＝0，解得x，则一次函数与x轴的交点坐标为（，0）， 所以一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积2． 2．（2025•天宁区校级模拟）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点，则k＝　　 ． 【分析】本题中只需把点的坐标代入函数解析式，即可求得k值，从而解决问题． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣1，）， ∴k即k， ∴该正比例函数的解析式为yx． 故答案为：． 3．（2025•临泉县模拟）已知正比例函数y＝ax（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和点B． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）若在x轴上存在一点C，在反比例函数图象上存在一点D，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点D的坐标． 【分析】（1）A（1，2）的坐标代入 y＝ax和，可求得a和k 的值，即可就得反比例函数和正比例函数的解析式； （2）依据平行四边形对角线互相平分这一性质，结合中点坐标公式来确定点D的坐标． 【解答】解：（1）将A（1，2）代入 y＝ax，得 a＝2， ∴正比例函数的解析式为 y＝2x； 将A（1，2）代入，得k＝2， ∴反比例函数的解析式为； （2）由题意可知，A点和B点的坐标关于原点对称， ∴B点的坐标为 （﹣1，﹣2）， 设点C的坐标为（m，0），点D的坐标为． 若AB为平行四边形的边， 当四边形ABCD为平行四边形时， 可得， 解得， ∴点D的坐标为； 当四边形ABDC为平行四边形时，可得 解得 ∴点D的坐标为 若AB为平行四边形的对角线， 可得 无解，故不存在以AB为平行四边形对角线的情况； 综上所述，符合条件的点D的坐标为或． 4．（2025•潍坊）如图，一次函数y＝k1x+b经过点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y＝k2x交于点P（1，2），则下列结论正确的是（　　） A．k1﹣k2＞0 B．P为AB的中点 C．方程k1x+b＝k2x的解是x＝2 D．当x＜1时，k1x+b＞k2x 【分析】先利用待定系数法求出k2＝2，k1＝﹣2，再确定B点坐标，则可对A选项进行判断；根据线段的中点坐标公式可对B选项进行判断；利用P点为两函数的交点，则当x＝1时，两函数的函数值相等，从而可对C选项进行判断；利用直线y＝﹣2x+4在直线y＝2x的上方所对应的自变量的范围可对D选项进行判断． 【解答】解：把P（1，2）代入y＝k2x得k2＝2， 把A（0，4），P（1，2）分别代入y＝k1x+b得， 解得， ∴一次函数y＝k1x+b解析式为y＝﹣2x+4， 当y＝0时，﹣2x+4＝0， 解得x＝2， ∴B（2，0）， ∵k1＝﹣2，k2＝2， ∴k1﹣k2＝﹣2﹣2＝﹣4＜0，所以A选项不符合题意； ∵A（0，4），B（2，0），P（1，2）， ∴点P为AB的中点，所以B选项符合题意； ∵一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x交于点P（1，2）， ∴方程k1x+b＝k2x的解是x＝1，所以C选项不符合题意； 当x＜1时，k1x+b＞k2x，所以，D选项符合题意． 故选：BD． 5．（2024•日照）已知一次函数y1＝ax（a≠0）和y2x+1，当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，则a的取值范围为 　a　 ． 【分析】依据题意，由当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，从而当x≤1时，总有x+1＞ax，即（a）x＜1，进而分类讨论即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方， ∴当x≤1时，总有x+1＞ax． ∴（a）x＜1． ①当a，且a≠0时， ∴a＞0． ∴（a）x＞﹣1． ∴x，与x≤1矛盾，故此时不成立． ②当a时， ∴（a）x＝0＜1，符合题意． ③当a时， ∴a0． ∴x． 又∵x≤1， ∴1． ∴a． 综上，a． 故答案为：a． 6．（2024•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点． （1）求一次函数的解析式； （2）已知变量x，y2的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y2 … ﹣1 ﹣2 ﹣4 ﹣8 8 4 2 1 … 写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象； （3）一次函数y1的图象与函数y2的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE．若△PCE的面积为15，求点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据表格数据可知是反比例函数，求出反比例函数解析式画出图象即可； （3）先求出点E坐标，根据反比例函数k值意义得到S△POE＝S梯形PMNE，设点P（m，），根据面积列出方程求出m值即可得到点P坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点， ，解得， ∴一次函数解析式为：y1； （2）根据表格数据可知y2是反比例函数，k＝4， ∴y2， 函数图象如下： （3）联立方程组，解得，， ∴C（﹣4，﹣1）， ∵点C关于坐标原点的对称点为点E， ∴E（4，1）， 如图，连接OP，作PM⊥x轴，EN⊥x轴， ∵△PCE的面积为15， ∴S△POE， ∵点P、E在反比例函数图象上， ∴S△POE＝S梯形PMNE， 设点P（m，）， ∴． 解得m＝1或﹣16（舍去）， ∴P（1，4）． 7．（2025•新疆）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（　　） A．两车出发2h后相遇 B．A，B两地相距280km C．快车比慢车早h到达目的地 D．快车的速度为80km/h，慢车的速度为60km/h 【分析】AB．观察图象即可； C．根据图象计算即可； D．分别根据速度＝路程÷时间计算即可． 【解答】解：当＝2时，s＝0， ∴两车出发2h后相遇， ∴A正确，不符合题意； 当t＝0时，s＝280， ∴A，B两地相距280km， ∴B正确，不符合题意； 快车比慢车早（h）到达目的地， ∴C错误，符合题意； 快车的速度为28080（km/h），慢车的速度为28060（km/h）， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 8．（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表： 温度t（℃） ﹣10 0 10 30 声音传播的速度v（m/s） 324 330 336 348 研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（　　） A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s 【分析】利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式，当t＝15时，求出对应v的值即可． 【解答】解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝33（6分）别代入v＝at+b， 得， 解得， ∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330， 当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339， ∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s． 故选：B． 9．（2025•黑龙江）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是 　300　 ，b的值是 　2　 ； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km． 【分析】（1）观察图象，可知A、B两地之间的距离，B、C两地之间的距离，从而求出A、C两地之间的距离，即a的值；根据速度＝路程÷时间求出轿车的速度，由时间＝路程÷速度求出轿车行驶的时间，再根据图象列关于b的方程并求解即可； （2）求出点N的坐标，从而求出点M的坐标，根据速度＝路程÷时间求出货车的速度，进而求出在货车从B地返回C地的过程中y与x之间的函数解析式即可； （3）分别求出货车到达B地之前、轿车到达B地至接人结束准备继续驶往C地时、轿车从B地开始驶往C地至货车到达C地三处过程中两车相距40km时对应x的值即可． 【解答】解：（1）由图象可知，A、B两地之间的距离为180km，B、C两地之间的距离为120km， 180+120＝300（km）， ∴a＝300， 轿车的速度为180÷1.5＝120（km/h）， 300÷120＝2.5（h）， 根据图象，得1.5+（3﹣b）＝2.5， 解得b＝2． 故答案为：300，2． （2）3（h）， ∴N（，0）， 2（h）， ∴M（，120）， 货车的速度为12090（km/h）， y＝120﹣90（x）＝﹣90x+240， ∴在货车从B地返回C地的过程中，货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式为y＝﹣90x+240（x）． （3）当0≤x时，得（120+90）x+40＝300， 解得x， 当x≤1.5时，两车之间的距离一直在减小，且总是小于40km， 当1.5＜x≤2时，得90（x）＝40， 解得x， 当2＜x时，得180+120（x﹣2）+40﹣90x+240＝300， 解得x， ∴轿车出发h或h或h与货车相距40km． 10．（2025•上海）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：t． （1）求y与x的函数关系式，并写出定义域； （2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 【分析】（1）求出每分钟加水量，从而写出y与x的函数关系式，当y＝200时，求出对应x的值，从而写出定义域即可； （2）将y＝200对应的x的值代入t与x的关系式，求出对应t的值即可． 【解答】解：（1）每分钟加水量为（160﹣80）÷2＝40（升）， 则y＝40x+80， 当40x+80＝200时，解得x＝3， ∴y与x的函数关系式及定义域为y＝40x+80（0≤x≤3）． （2）当x＝3时，t32， ∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度． 11．（2025•德阳模拟）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m m﹣20 售价/（元/双） 240 160 （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【分析】（1）根据题意列关于m的一元一次方程并求解即可； （2）设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，x的整数的数量就是进货方案的数量； （3）设获得的利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据a的取值范围和一次函数的增减性确定当x取何值时W的值最大，并求出此时200﹣x的值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得60m+50（m﹣20）＝10000， 解得m＝100， ∴m的值为100． （2）乙种运动鞋每双进价为100﹣20＝80（元）， 设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200﹣x）双， 根据题意，得， 解得95≤x≤105， ∵x为非负整数， ∴该专卖店有11种进货方案． （3）设获得的利润为W元，则W＝（240﹣100﹣a）x+（160﹣80）（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000， 当50＜a＜60时，60﹣a＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵95≤x≤105， ∴当x＝105时W值最大， 200﹣105＝95（双）； 当a＝60时，W＝16000； 当60＜a＜70时，60﹣a＜0， ∴W随a的减小而增大， ∵95≤x≤105， ∴当x＝95时W值最大， 200﹣95＝105（双）； ∴当50＜a＜60时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；当a＝60时，所有方案获利都相等；当60＜a＜70时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润． 13．（2025•金华模拟）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时100﹣m的值即可． 【解答】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件． 根据题意，得， 解得． 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）根据题意，得m≤1.5（100﹣m）， 解得m≤60， W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝10m+3000， ∵10＞0， ∴W随m的增大而增大， ∵m≤60， ∴当m＝60时W值最大，W最大＝10×60+3000＝3600， 100﹣60＝40（件）． 答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件全部售完后获得的利润最，最大利润是3600元． 14．（2025•鲁山县三模）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【分析】（1）根据方式一、方式二的总费用的组成列式即可； （2）根据方式一、方式二的费用相等列出方程，解方程即可； （3）根据方式一、方式二的费用＝6500，解方程求出x进行比较即可． 【解答】解：（1）根据题意得：y1＝500+1600x，y2＝200+1800x， ∴y1关于x的函数解析式为y1＝500+1600x，y2关于x的函数解析式为y2＝200+1800x； （2）根据题意得：500+1600x＝200+1800x， 解得x＝1.5， 答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg； （3）按照第一种方式购买茶叶：500+1600x＝6500， 解得x； 按照第二种方式购买茶叶：200+1800x＝6500， 解得x． ∵， ∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 15．（2025•靖边县模拟）烧烤作为一种古老而普遍的烹饪方式，随着社会的发展和技术的进步，烧烤逐渐从原始的生存技能转变为人类文化和社会生活的重要组成部分．某烧烤店的烤串有肉串和素菜串两类，肉串和素菜串的成本价和销售价如下表所示： 种类 肉串 素菜串 成本价（元/串） 3 1.1 销售价（元/串） 4 1.5 已知该烧烤店每天准备肉串和素菜串共6000串，且这些烤串每天都能销售完．设该烧烤店每天准备肉串x串，每天销售这两类烤串所得的总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该烧烤店发现肉串比素菜串受欢迎，所以某天烧烤店准备的肉串数量是素菜串的3倍，求该烧烤店这天销售这两类烤串所得的总利润． 【分析】（1）根据总利润等于肉串和素菜串的利润之和，列出关系式即可； （2）根据烧烤店准备的肉串数量是素菜串的3倍，求出x的值，代入（1）中的解析式，进行计算即可． 【解答】解：（1）y＝（4﹣3）x+（1.5﹣1.1）（6000﹣x）＝0.6x+2400． ∴y＝0.6x+2400． （2）由条件可知x＝3（6000﹣x）， 解得x＝4500， 当x＝4500时，y＝5100． ∴该烧烤店这天销售这两类烤串所得的总利润为5100元． 16．（2025•辽阳模拟）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为x立方米，应交煤气费为y元． （1）若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？ （2）写出当x＞50时y与x之间的表达式； （3）若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？ 【分析】（1）根据小丽家某季度用煤气量为60立方米列出算式求解即可； （2）根据当x＞50时列出关系式即可； （3）根据小丽家第一季度的煤气费为380元，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得：小丽家该季度应交煤气费为50×4+（60﹣50）×4.5＝245（元）； （2）当x＞50时，y＝4×50+4.5（x﹣50）＝4.5x﹣25； （3）设小丽家第一季度用气x立方米， 因为380＞200， 所以x＞50， 由题意，得4.5x﹣25＝380， 解得 x＝90， 答：小丽家第一季度用气90立方米． 17．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A关于直线CD的对称点为E，连接DE． （1）求证：∠OAB＝45°； （2）设点C的坐标为（0，m），当0＜m＜2时，线段DE与线段OB相交于点F，求四边形COFD面积的最大值． 【分析】（1）先求得A（0，4），B（4，0），得到OA＝4，OB＝4，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得OC＝m，AC＝4﹣m，根据折叠的性质得CE＝AC＝4﹣m，OE＝CE﹣OC＝4﹣2m，利用等腰直角三角形的判定和性质求得OF＝OE＝4﹣2m，CD＝AC＝4﹣m，再利用梯形的面积公式求得四边形COFD面积关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】（1）证明：由条件可知A（0，4），B（4，0）， ∴OA＝4，OB＝4， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝45°； （2）解：∵点C的坐标为（0，m）， ∴OC＝m，AC＝4﹣m， 由条件可知CE＝AC＝4﹣m，∠OAB＝∠CED＝45°， ∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2m， ∵∠EOF＝90°， ∴∠OEF＝∠OFE＝45°， ∴OF＝OE＝4﹣2m， ∵CD⊥OA， ∴∠OAB＝∠CDA＝45°， ∴CD＝AC＝4﹣m， ∴四边形COFD面积 ∵， ∴当，四边形COFD面积有最大值，最大值为． 18．（2025•德州）如图，A（﹣6，0），B（0，8），点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B′（a，0）处． （1）求a的值； （2）求直线AM的解析式； （3）若直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝a的左侧，请直接写出t的取值范围． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等，得出长度，计算即可求解； （2）根据勾股定理计算出长度，得出点M的坐标，利用待定系数法计算解析式； （3）根据图象数形结合即可求解． 【解答】解：（1）∵A（﹣6，0），B（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8， 在Rt△OAB中，AB2＝OA2+OB2， ∴AB＝10， 由题意得△ABM≌△AB'M， ∴AB＝AB'＝OA+OB'＝10， ∴a＝4； （2）设M（0，m）， 由题意得△ABM≌△AB'M， ∴BM＝B'M＝8﹣m， 由（1）得OB'＝4， 在Rt△OB'M中，MB'2＝OM2+OB'2， ∴（8﹣m）2＝m2+16， 解得m＝3， ∴M（0，3）， 设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣6，0），M（0，3）代入得， ， 解得， ∴直线AM的解析式为； （3）直线y＝﹣x+t与直线AM相交， 当x＝4时，交点坐标为（4，5）， 此时﹣4+t＝5，则t＝9， ∵直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝4的左侧， ∴由图象得t＜9． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十二 一次函数应用 【题型一】待定系数法求一次函数解析式 【例1】（2025•西宁）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点P在过原点的直线l上，且AP＝OP＝4，则直线l的解析式是 　或　 ． 【分析】设直线l的解析式为：y＝kx（k≠0），再根据已知条件判定点P在OA的垂直平分线上，从而求出点P的横坐标，然后根据利用勾股定理求出点P的纵坐标，再把点P的坐标代入y＝kx，求出k即可． 【解答】解：设直线l的解析式为：y＝kx（k≠0）， ∵AP＝OP， ∴点P在OA的垂直平分线上， ∵A（4，0）， ∴点P的横坐标为2， 如图所示：当直线l在第一、三象限时，过点P作PB⊥OA， ∴∠PBO＝90°， 由勾股定理得：， ∴点P坐标为， 把点P代入y＝kx得：， ∴直线l的解析式为：； 如图所示：当直线l在第二、四象限时，过点P作PB⊥OA， ∴∠PBO＝90°， 由勾股定理得：， ∴点P坐标为， 把点P代入y＝kx得：， ∴直线l的解析式为， 综上可知：直线l的解析式是或， 故答案为：或． 【变式1】（2025•鄄城县一模）已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB．当△APB的面积等于4时，直线PB的表达式为 　 　 ． 【变式2】（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）． （1）求k，b的值； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围． 【变式3】（2025•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝3． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（8，4），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 【题型二】待定系数法求正比例函数解析式 【例1】（2025•雁塔区校级四模）正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1，则此正比例函数的关系式为（　　） A． B． C． D．y＝x 【分析】直接把x＝2时，y＝﹣1代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1， ∴﹣1＝2k， 解得k， ∴y与x的函数关系式为yx， 故选：A． 【变式1】（2025•雁塔区校级模拟）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（m，n），且3m+2n＝0，则它的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025•南郑区校级一模）若点A（m，y1）和点B（m+2，y2）在同一正比例函数图象上，且y2﹣y1＝4，则该正比例函数的表达式为（　　） A．y＝x B．y＝2x C．y＝﹣2x D． 【变式3】（2025•南开区三模）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（﹣1，2），则k的值为　 　 ． 【题型三】一次函数与一元一次不等式 【例1】（2025•徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（　　） A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2 【分析】观察函数图象得到即可． 【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0， 所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1， 所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1， 所以解集为x＜2， 故选：C． 【变式1】（2024•广东）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024•无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论： ①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”； ②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【题型四】一次函数与二元一次方程（组） 【例1】（2024•内蒙古）点P（x，y）在直线yx+4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数与方程的关系，列方程组求解． 【解答】解：解方程组得：， ∴P（6，）， ∴P在第四象限， 故选：D． 【变式1】（2023•宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．y1随x的增大而增大 B．b＜n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为 【变式2】（2025•宁夏）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组的解是 　 　 ． 【题型五】两条直线相交或平行问题 【例1】（2025•南充）已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则的值是　　 ． 【分析】由直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上可知当x＝0时函数值相等，得到m＝﹣2n，然后代入化简即可． 【解答】解：当x＝0时，y＝m（x+1）＝m，y＝n（x﹣2）＝﹣2n， ∵直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上， ∴m＝﹣2n， ∴， 【变式1】（2025•大庆）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 　 ． 【变式2】（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）． （1）求k，b的值； （2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围． 【题型六】一次函数应用之文字型 【例1】（2025•西宁）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣一一坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． （1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ （2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【分析】（1）根据题意列出方程组即可解决问题； （2）根据题意得w＝30m+2250，然后利用一次函数性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，得， 解方程组，得， 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）设购买紫丁香m株，则购买白丁香（45﹣m）株，总费用为w元． 根据题意，得w＝80m+50×（45﹣m）＝30m+2250， ∵30＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵m≥20， ∴当m＝20时，w最小＝30×20+2250＝2850， 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 【例2】（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为（20﹣a）个，且a≤3（20﹣a），根据题意，得w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，解答即可． 【解答】解：（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元， ， x＝2500， 经检验，x＝2500是原方程的根． 此时x+300＝2800， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）甲型健身器材买了a个，a≤3（20﹣a）即a≤15，且a为正整数， w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000， 由k＝﹣300＜0，得w随a的增大而减小， 故当a＝15时，w取得最小值，且最小值为w＝﹣300×15+56000＝51500（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【变式1】（2025•广元）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【变式2】（2025•深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 【变式3】（2025•山东）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． （1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； （2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？ 【题型七】一次函数应用之图象型 【例1】（2025•丽水一模）甲、乙两地相距240km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示． （1）分别求出轿车和货车的平均速度； （2）求轿车到达终点时，货车离终点的距离； （3）货车出发多长时间后，两车相距200km？ 【分析】（1）轿车和货车到达目的地分别用时4h和6h，分别根据“速度＝路程÷时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有6﹣4＝2（h）的路程，根据“路程＝时间×速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当0≤x≤2.4和4＜x≤6时y关于x的函数关系式，分别将y＝200代入关系式，求出对应的x的值即可． 【解答】解：（1）根据“速度＝路程÷时间”，轿车的平均速度为240÷4＝60（km/h），货车的平均速度为240÷6＝40（km/h）， ∴轿车的平均速度为60km/h，货车的平均速度为40km/h； （2）根据“路程＝时间×速度”，得40×（6﹣4）＝80（km）， ∴轿车到达终点时，货车离终点的距离为80km； （3）当0≤x≤2.4时， 设y与x的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 由题意可得： ， 解得， ∴y＝﹣100x+240， 当y＝200时，得﹣100x+240＝200， 解得x＝0.4； 由图象得：在2.4＜x≤4时，无法达到200km； 当4＜x≤6时， 设y与x的函数关系式为y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）． 由题意可得： 得， ∴， ∴y＝40x， 当y＝200时，4x＝200， 解得x＝5． ∴货车出发0.4h或5h后，两车相距200km． 【变式1】（2025•宿迁）甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动．甲比乙早出发6min，两人途中均未休息，先到达N处的人在原地休息等待，直到另一人到达N处．两人之间的路程y（m）与甲行走的时间t（min）的函数图象如图所示． （1）乙步行的速度为 　 　 m/min，MN之间的路程为 　 　 m； （2）当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式； （3）甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m． 【变式2】（2025•齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）A，C两区相距 　 　 米，a＝ 　 　 ； （2）求线段EF所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【题型八】一次函数应用之表格型 【例1】（2025•西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【变式1】（2025•陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表： 气体温度x（℃） … 25 30 35 … 气体体积y（L） … 596 606 616 … （1）求y与x的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【变式2】（2024•广元）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【课后练习】 1．（2025•武安市一模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2）和点（1，﹣1）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求此一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 2．（2025•天宁区校级模拟）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点，则k＝　 　 ． 3．（2025•临泉县模拟）已知正比例函数y＝ax（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和点B． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）若在x轴上存在一点C，在反比例函数图象上存在一点D，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点D的坐标． 4．（2025•潍坊）如图，一次函数y＝k1x+b经过点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y＝k2x交于点P（1，2），则下列结论正确的是（　　） A．k1﹣k2＞0 B．P为AB的中点 C．方程k1x+b＝k2x的解是x＝2 D．当x＜1时，k1x+b＞k2x 5．（2024•日照）已知一次函数y1＝ax（a≠0）和y2x+1，当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，则a的取值范围为 　 　 ． 6．（2024•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点． （1）求一次函数的解析式； （2）已知变量x，y2的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y2 … ﹣1 ﹣2 ﹣4 ﹣8 8 4 2 1 … 写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象； （3）一次函数y1的图象与函数y2的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE．若△PCE的面积为15，求点P的坐标． 7．（2025•新疆）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（　　） A．两车出发2h后相遇 B．A，B两地相距280km C．快车比慢车早h到达目的地 D．快车的速度为80km/h，慢车的速度为60km/h 8．（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表： 温度t（℃） ﹣10 0 10 30 声音传播的速度v（m/s） 324 330 336 348 研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（　　） A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s 9．（2025•黑龙江）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是 　 　 ，b的值是 　 ； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km． 10．（2025•上海）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：t． （1）求y与x的函数关系式，并写出定义域； （2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 11．（2025•德阳模拟）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m m﹣20 售价/（元/双） 240 160 （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 13．（2025•金华模拟）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 14．（2025•鲁山县三模）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 15．（2025•靖边县模拟）烧烤作为一种古老而普遍的烹饪方式，随着社会的发展和技术的进步，烧烤逐渐从原始的生存技能转变为人类文化和社会生活的重要组成部分．某烧烤店的烤串有肉串和素菜串两类，肉串和素菜串的成本价和销售价如下表所示： 种类 肉串 素菜串 成本价（元/串） 3 1.1 销售价（元/串） 4 1.5 已知该烧烤店每天准备肉串和素菜串共6000串，且这些烤串每天都能销售完．设该烧烤店每天准备肉串x串，每天销售这两类烤串所得的总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该烧烤店发现肉串比素菜串受欢迎，所以某天烧烤店准备的肉串数量是素菜串的3倍，求该烧烤店这天销售这两类烤串所得的总利润． 16．（2025•辽阳模拟）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为x立方米，应交煤气费为y元． （1）若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？ （2）写出当x＞50时y与x之间的表达式； （3）若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？ 17．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A关于直线CD的对称点为E，连接DE． （1）求证：∠OAB＝45°； （2）设点C的坐标为（0，m），当0＜m＜2时，线段DE与线段OB相交于点F，求四边形COFD面积的最大值． 18．（2025•德州）如图，A（﹣6，0），B（0，8），点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B′（a，0）处． （1）求a的值； （2）求直线AM的解析式； （3）若直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝a的左侧，请直接写出t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $