浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

杭州学军中学2025级高一上第二次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．下列四个命题，其中为真命题的是 A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B．和表示同一函数 C．函数的单调增区间为 D．若函数的值域是，则实数或 4．已知函数，记，，，则 A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 6．某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为 A．元 B．元 C．元 D．元 7．已知正实数，，满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知定义在上的单调函数满足．若对， ，使得成立，则的最小值为 A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是 A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知，且，则 A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为4 11．设函数满足，，且，则下列结论正确的是 A． B．的图象关于中心对称 C．是函数的图象的一条对称轴 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知（且），则的取值范围是 ． 13．已知，则的值为 ． 14．若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求，的值； (2)求的值. 16．（15分）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于的不等式. 17．（15分）某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 1.5 1.2 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． (1)选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 18．（17分）已知函数． (1)写出函数的单调区间； (2)若函数有两个不同零点，求实数的取值范围； (3)若，且，求的取值范围． 19．（17分）已知函数，记（）. (1)若，解不等式：； (2)设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值. 学科网（北京）股份有限公司 $题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C A C B C ACD BC 题号 11 答案 AD 12.(o+ 13.1-√2 4.( 4 3 l5.【详解】(1)由三角函数定义，得cosa=,sina=- 5 3 (2)由诱导公式，得原式=，-sima sina+cosa 、3,43 55 16.【详解】(1)由-x2+2x+3>0,有-1<x<3,可得函数f(x)的定义域为-1,3)， 又由二次函数y=-x2+2x+3=-(x-12+4的增区间为(-0,1，减区间为(1，+o), 当a>1时，函数y=logx在(0，+oo)上单调递增， 可得函数f(x的增区间为(-1，川，减区间为1,3 当-1<x<3时，0<-x2+2x+3≤4，有f(x)≤10g4, 故函数f(x的值域为-0，log。4. (2)当a>1时，关于x的不等式可化为-x2+2x+3>x+1, x≥0 x<0 可化为-1<x<3 或{-1<x<3 -x2+2x+3>x+1 -x2+2x+3>-x+1 可得0≤x<2或3-7 <x<0, 故关于x的不等式f(x)>log(x+1的解集为 2 3-V17 【详解】(1)解：若选择模型Q=ka,将，3.2,2)代入可得=号 ,即 2 经验证，(3,1.5)，(4,1.2)均不满足，故模型Q=ka不合适. 若选择模型)=m log x,因为Q=m logx过点(L,0),所以模型Q=m logx不合适. 若选择模型0=P,将1,3)，(2,2)代入可得g=1,p=6,即Q=6 x+a x+1 经验证，8,1.)，(412)均满足，故模型0=最合适，且0=6 x+g +1 《2)解：由成本，与销量0的关系为=Q+3 3 2=x+ +2. x+3 要使生产的产品可以获得利润，则=++2<x x+3 因为x+3>0,所以x+1+2(x+3)<x(x+3),即x2>7. 因为x>0,所以x>√万. 故该产品的销售单价应该高于√7元. 18【详解】1)f到=-(x-a= [_4+a,xE-2,0U[2,+0) 4 2x+-+a,x∈(-oo,-2)U(0,2) 则fx的单调递增区间是(-2,0)，2，+0)，单调递减区间是-0，-2)，(0,2)， (2)函数f(x在(-0，-2)单调递减，在(-2,0)单调递增， 故f(x)在-0,0)的最小值为f(-2)=a+2, =fx v=x） a+2 -20 Q-2 同理，f(x在(0，+oo)的最小值为f(2)=a-2, 故结合图象可得，函数()有两个零点时需满足广-2)=a+2=0 a<0 解得：a=-2. 「f-2)=a+2>0 或f(2)=a-2<0解得：0<a<2. a>0 综上所述：a=-2或0<a<2. [a>2 (3)由题意得： f(2)=a-2<2' 则2<a<4. ()=-2x+4 +a=2 a=2x-4+2 x 且 fs)=-4+a=2 ，则 4 X2 2= a-2 因为a>2,0<x<2,所以a-2=2x- 4_2X-4>0, xx 故2<x2<4. 所以5-6+a=2x-4+2+4+ 2 5a2+52引52 2+x+2 X1- 又2x-4-a-2e(0,2, 2 做8()=2x-2x 2单调递增， aa+-525-2 2++2单调递， X- 故hx)<h(1=3. 因此x-x2+a的取值范围为-0,3). 19.【详解】(1)因为f(x)=2,gx)=f(x+1f(-x, 当1=-3时，g(x=f(x-3f(-x)=2-3×2, 由gx)≥2，得2-3×2≥2，整理得22-2×2-3≥0， 即2+1(2-3≥0，所以2≥3，即x≥1og23, 故不等式gx)≥2的解集为log23,+o0） (2)当t=1时，g(x)=f(x)+f(-x)=2+2, 则g2x)=22+22=(2+2}2-2, 因为存在实数x∈(1,2]，使得g2x)=kg(x)-3成立， 所以(2+2)-2=k2+2)2-3在(0,2上有解， 1 整理得到1 (2+2 =k在1,2]上有解， 因为t=2在(1,2]上为增函数，则te(2,4, 而m=1+te(2,4为增函数，则m24 (517 而n=1+,m∈ 517 2’4 为减函数，则n∈ 30529 289'25 所以y=1+ (2+2 ,x∈(1,2]的值域为 30529 289'251 故k∈ 「30529 289'25 (3)因为fx)=2, 所以h(x)=f(2x+2+af(x)+b=4-(22+a-2+b, 令t=2,x∈[0，，则t∈[1,2]， 因为对于任意的xe[0,,均有h(x≤M, 所以4t2+at+b≤M对任意的t∈[1,2恒成立， 4+a+b≤M 金别取172，得6+2a+6≤ 6x3 2a+bsM 3 故4M≥29+。a+b+16+2a+b+4+a+b≥18+3a+2b+16+2a+b+4+a+b 2 =18+3a+2b+20+3a+2b≥|20+3a+2b-(18+3a+2b=2, (16+2a+b)(4+a+b)≥0 当且仅当 (20+3a+20)18+3a+2b≤0时，等号成立， 所以M分，即M的最小值为分 4+a+b≤2 9≤a+bs-7 哑时6+2a+b≤)整理得 s2a+bs-3 33 2 , 3 1 17 9+2a+2 193 ≤。a+b≤- 2 2 (155b517 [-13≤a≤-11 2 故 -16≤a≤-12，故a=-12,从而 5sb≤17 所以b=17 -12≤a≤-8 17 2 下证：+-2号a上政立 枚在[引上为减函数，在[号2上为蜡函数， 故0s训=2到-威4产-12+号在习上恒咬立 综上，0=-12，b=17 2