提高专题4 导数与不等式的恒成立或有解问题讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与不等式恒成立或有解问题，整合函数最值法、放缩法、必要性探路法、同构法四大核心方法，按“方法储备-典例精讲-拓展提升”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、解题策略指导、真题演练等环节，帮助学生构建系统解题思路，突破高考高频难点。 讲义创新融合切线放缩、同构变形等解题技巧，如用必要性探路法缩小参数范围培养数学思维，通过指对同构构造函数提升数学语言表达能力，搭配分层练习和2025年各地模拟真题训练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

【二轮复习—函数与导数】 提高专题4 导数与不等式的恒成立或有解问题 【方法储备】探究一 函数最值法 函数最值法的思路： 1.对于含参不等式的恒成立问题，将不等式朝着有利于通过导数判断函数单调性的方向变形,整理成一侧为常数的形式； 2.根据题目的全称量词或存在量词，将问题转化为函数最值与常数的关系,这是处理不等式问题的通法. 【典例精讲】 例1.(2025·广东省惠州市·联考题)已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是          ． 解：由得：， 则， 令，易得， ，则，令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 得当时，取得最小值为， 故，即，故的最小值是． 故答案为：． 例2.(2025·浙江省绍兴市·模拟题)已知关于的不等式恒成立，则的最大值为          ． 解：令， ， 当时，恒成立，即在单调递减，没有最小值，不符合不等式恒成立； 当时，即，得，， 当，，单调递减； 当，，单调递增， 所以，， 由题意得恒成立，所以可得，即， 所以，转化为求的最大值， ， 令，， 所以，令得，； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以，且时，，， 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 即的最大值是， 所以可得的最大值为， 【拓展提升】 练1-1.(2025·江苏省镇江市·联考题)函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：定义域：对任意实数，，故，定义域为， 且，故，即是奇函数， 当时，，可得函数在递减， 从而函数函数在上递减， 不等式可化为， 得， 由单调递减，得在上有解， 即存在，使得， 也就是， 令， 得， 令，得，即， 当时，，递增；当时，，递减， 故的最大值为。 从而，即， 故选B． 练1-2.(2025·河北省邢台市·模拟题)已知函数． 时，求的极值 若不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：时，， ，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，有极大值，无极小值； 依题意，恒成立，分离常量可得： 恒成立， 令，， 则，， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增； ， ，即实数的取值范围为：．  【方法储备】探究二 放缩法 切线放缩法的思路： 1.一些含参不等式中,将指数函数、对数函数综合起来考查,尤其是与有关的超越函数问题,若直接求导找零点(多数情况下是隐零点)过程烦琐, 此时若能巧妙运用一些“切线不等式”进行放缩,将复杂的超越函数转化为简单函数(以直代曲),起到化繁为简、化难为易的作用. 2.两个重要的“切线不等式”: (,当且仅当时等号成立)； (,当且仅当x=1时等号成立),这两个不等式是“切线”放缩法的基础. 【典例精讲】 例3.(2025·湖南省·月考试卷)若关于的方程有解，则正数的取值范围是          ． 解：因为， 即有解， 令，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值为， 所以，当且仅当时取等号， 可知，在区间内有解， 所以在区间内有解， 即在区间内有解， 令，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值为， 所以． 故答案为：． 【拓展提升】 练2-1.(2024·湖南省长沙市月考试卷) 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数的取值范围是___． 解：设，则， 故，则， 又因为，即， 所以，，， 因为， 所以 在上恒成立， 其中， 理由如下：构造， 则，令  得：， 当  得：， 当 得：， 故在处取的极小值，也是最小值， ，从而得证． 故，故， 实数的取值范围为， 故答案为：． 练2-2.(2024·河北省衡水市模拟题) 已知函数． 若，求曲线在点处的切线方程； 若对任意恒成立，求的取值范围． 解：当 时，  ， 则 ，所以， 又， 所以曲线 在点处的切线方程为； ，则 ， 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 则，即， 当时，，则， 又，所以， 所以，则，      所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 所以， ①当，即时，，则在区间上单调递增， 所以，符合题意；    ②当，即时， ， 令 ， 则 ， 所以在区间上单调递增， 则，故， 又，所以，使得 ， 所以当时，，则在区间上单调递减， 此时，不符合题意， 综上，实数的取值范围为     【方法储备】探究三 必要性“探路”法 必要性探路法的思路： 1.探究必要条件，缩小参数范围：在给定的范围内取特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件，接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,等）. 2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； ⑴如果函数单调，则由第一步得到的范围就是最终答案； ⑵如果函数不单调，则利用第一步确定的范围进一步确定函数的最值. 【典例精讲】 例4.(2024·福建省莆田市模拟题) 已知函数． 求的最小值； 设函数，若，求实数的取值范围． 解：， 令，此时， 当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 因为，， 所以，解得必要性探路 下面证明当时，，以下是充分性证明 由，得， 因为，， 所以 即， 令，， 则 ． 由可知， 所以， 所以当时，，从而单调递减， 当时，，从而单调递增， 故，从而， 综上，实数的取值范围为．  【拓展提升】 练3-1.(2025·浙江省·模拟题)已知函数，其中且． 当时，求曲线在处的切线方程； 若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 解：由题意知，当时，， 易知，， 即得曲线在处的切线方程为； 因为， 又因为， 所以随增大而减小，当时，， 设，则， 显然时，则此时单调递增，时，此时单调递减， 所以，即恒成立， 由， 令，即， 设，，易知其对称轴为， 且，即开口向上，对称轴 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 所以当时，恒成立. 练3-2.(2025·河南省开封市·月考试卷)设函数． 若曲线在点处的切线方程为，求，的值 若当时，恒有，求实数的取值范围 设时，求证：． 解：由题可得， 由切线方程可知，， 将代入得，，解得：； 即，则， 即切线方程为：， 比较两式得； 令， 则， 由题意可知，当时，恒有，且有，则有． 当时， ， 因为，所以， 令，易得函数在上单调递增，则， 所以成立； 当时，，满足题意； 当时，令，则，则，因为，所以，所以恒成立，所以函数在上单调递增，所以，则函数在上单调递增，所以，满足题意； 当时，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时，， 所以函数在上单调递减，则在此区间内，不合题意． 综上可得，实数得取值范围是； 证明：当时，，结论成立； 假设当时结论成立， 即， 当时， ， 因为，由基本不等式可得， 令，其中， 则， 因为，故，等号当且仅当时成立， 故在上，，故， 令，则， 即， 故， 所以 ， 即当时，结论也成立，综上当时，不等式成立． 【方法储备】探究四 同构法 1.双变量的同构问题： 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构(函数同构)，往往通过函数的单调性进行求解. 如：， 即为增函数. 2.指、对同构： 指、对数变形主要包括：积型同构，商型同构，和差型同构. ⑴积型同构,三种同构途径: ①同左:,构造函数; ②同右:,构造函数; ③取对数:,构造函数. ⑵商型 商型 (或)同构,三种同构途径: ①同左: (或),构造函数(或); ②同右: (或),构造函数(或); ③取对数: (或), 构造函数(或). ⑶和差型 和差型同构,两种同构途径: ①同左:,构造函数; ②同右:,构造函数. 补充：1.先凑再变形 若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的变形有: ①; ② ③ 2.同构放缩或同构换元共存 有些更复杂的指对不等式,利用常见的变形方法先进行同构变形再换元,使构造的函数较为简单,或者不等式本身的结构不特殊,可以先结合常用不等结论放缩.常见的放缩模型: ①利用放缩:,; ②利用放缩:,; ③利用放缩:; ④利用放缩:. 【典例精讲】 例5.(2025·湖北省荆州市·联考题)已知函数，若存在，使，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：由，得， 所以，即， 令，由，，得，即， 则， 所以函数在上单调递增， 由，得， 所以，所以，所以． 令，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 故选：． 例6.(2025·江西省宜春市·模拟题)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：不等式， 即，， 进一步变形为，所以， 得， 即在上恒成立． 因为，所以，， 当时，，不等式恒成立 当时，构造函数，， 得，令，即，则，解得， 当时，，单调递减当时，，，单调递增， 从而在单调递增， ，即， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 构造函数，，得， 令，解得， 当时，，，单调递减当时，，，单调递增， 所以在处取得最小值，， 因为恒成立，所以，即， 又因为，所以， 由，实数的取值范围为， 故选C． 【拓展提升】 练4-1.(2025·陕西省·模拟题)已知恒成立，求正数的取值范围          ． 解：， 又，所以， 当时，上式显然成立， 所以只需处理的情况即可，此时 ， 令， 恒成立，所以严格递增， 在恒成立即可， 令，则， 令， 当时，，严格递增， 当时，，严格递减， 所以，所以， 故答案为：． 练4-2.(2025·湖北省荆门市·模拟题)已知函数． 讨论函数的极值点个数 若恒成立，求实数的取值范围． 解：因为，， 则， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值点， 当时，，则在上单调递增， 当，即时，， 当，即时，， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，无极大值点， 综上所述，当时，的极值点个数为， 当时，的极值点个数为； 由，得， 故， 设函数，易知在上单调递增， 式可化为，即， 所以对恒成立， 设函数，则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值， 最大值为，故， 所以实数的取值范围为．  共14页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $