探究不等式与等式恒成立和有解问题策略讲义(一)-2026届高三数学二轮专题复习

探究不等式与等式的“恒成立”和“有解”问题策略(一) 有关不等式与等式的恒成立(任意)和有解(存在)问题,一直是高考及各类考试中考查的热点,也是考试卷中有意设置难题进行考查的重点对象.解决这类问题需要综合运用函数、导数、不等式和方程等知识于一体,通过演绎证明、运算推理等理性思维,重点考查多项数学思想和核心素养,先求出函数的最值(最大值与最小值)或值域,再求出式中参数的值(含最值)或取值范围来达到终极求解之目标.高考数学中的"恒成立"问题，一直以来都是命题的热点,这类问题既含参量又含变量,所以这类问题也是学习的一个重点和难点,如何简洁、快速、准确解决这类问题是提高解题能力的关键,本文通过对近年来高考试题的探讨举例说明这类问题的求解策略.新课程理念下,注重解题的通性通法,反对过分技巧化的训练.但在通性通法中,往往需要学生具备较为完善的知识结构和扎实的计算功底,否则学生在解题时经常会出现这样或那样的错误. 类型一、不等关系型 (一)、单函数中的任意与存在问题:此类问题不是很难,共有四种它们各二种情况如下. 例1.已知函数,若对恒成立,求实数的取值范围. 【解析】因,由,可得对恒成立;令则;再令,则时,;而问题成立的充要条件是,故实数的取值范围为. 【点评】对,,或恒成立,充要条件为对,,或;注意在参数不能分离时,需对参数分类讨论,并结合各自的最值情况完成. 例2.已知,若存在，使得成立;求实数的取值范围. 【解析】因,则问题等价于:存在,使,令,且,则问题成立的充要条件是;因可得,故;从而有,解得,即满足条件的实数的取值范围为. 【点评】若,使,或成立,充要条件为对,,或;注意在参数不能分离时,需对参数分类讨论,并结合各自的最值情况完成. (二)、双函数中的任意与存在问题:此类问题较复杂,分六种情况探讨得出其结果如下. (1)“双任意型”函数,但两个函数的定义域相同,求参数恒成立问题 例3.(2014年温州市高三第一次适应性文)设函数,;若对任意时,恒成立,求实数的取值范围. 【解析】令,问题等价对恒成立,即只需即可;而;①当,有对恒成立,则在上递增,故,不合题意;②当时,易得在上递减,在上递增,故,不合题意;③当时,有对恒成立,则在上递减,故且,解得;综合得. 【点评】对于这类“双任意型”函数:对,,或恒成立问题,由于它们的定义域相同,只需令;则问题等价对,,或恒成立,其充要条件为对,,或;这样其实就转化成上面问题(一)中单函数的任意恒成立问题.在参数不能分离的情况下(或即是可以分离出来,但问题解决反而变得复杂时就不宜分离),需对参数在函数式中视具体情况进行分类讨论. (2)“双存在型”函数,但两个函数的定义域相同,求参数有解问题 例4.已知函数,;若不等式在上有解,求实数的取值范围. 【解析】由已知条件及,可得在上有解;令(),则问题等价于对成立;①当时,;②当时,;③当时,;综上可得,从而只需,解之得,或;故实数的取值范围为. 【点评】对于这类“双存在型”函数:若,使,或有解问题,由于它们的定义域相同,只需令;则问题等价若,使,或成立,其充要条件为对,,或;这样其实就转化成上面问题(一)中单函数的存在有解问题.在参数可以分离出来的情况下,本题通过分离参数的技巧,利用分类讨论的思想,采用零点分区间法求出函数的最小值,从而轻松获解. (3) “双任意型”函数,两函数的定义域不同或相同(相同时自变量不同,(3)至(6)均一样) 例5.(2012年厦门质检)设函数,,为自然对数的底数;对,,不等式恒成立,求正数的取值范围. 【解析】因,由题意知问题等价对,;而,当时,当时;即在上递增,在上递减,则;同理,当时,当时,易得;由,且,解之得;故正数的取值范围为. 【点评】对,总有恒成立;其充要条件是:对, ,只需成立.按照左边是恒成立要大于右边,此时把右边看作常数可得;现左边是常数要大于右边恒成立,自然得出成立.正确理解模型内涵,将模型等价转化成最值模式是解题关键. (4)“任意存在混合型1”,即含任意的函数大于含存在的函数 例6.(2016年湖南十三校联考)已知函数,;若对任意,存在,使成立,求实数的取值范围. 【解析】依题意问题等价于对成立即可.而由且,得;由且,得;则在上递减,在上递增,故得.因,其对称轴为;①当时,在上递增,则且解得; ②当时,则且解得;③当时,在上递减,则且解得综上所述得实数的取值范围为. 【点评】对,使得成立;其充要条件是:对, ,只需成立.按照左边是恒成立要大于右边,此时把右边看作常数可得;现左边是常数要大于右边存在成立,自然得出成立.先利用导数为工具求出在其定义域上的最小值;再通过分类讨论的思想求出在其定义域上的最小值;然后通过两者的最小值关系得出解. 【跟踪练习题】 1.已知奇函数是定义在上的增函数.(1)求实数的取值范围;(2)若对恒成立,求实数的取值范围. 2.设函数,.(1)对,不等式恒成立,求正数的取值范围;(2)对,,使成立,求正数的最小值. 跟踪练习题答案与解析 1.解:(1)由对恒成立,必有;依题意知,即对恒成立,只需;则实数的取值范围为.(2)因在上递增,则;由条件问题等价对恒成立,从而得对恒成立;于是得,因,即有对恒成立,只需,得为所求.故实数的取值范围是. 2.解:(1)法1,问题等价:对,只需;因,易知在上递增,在上递减,则;又因,易得在上递减,在上递增,则;因,由,解得为所求.法2,因,且两函数定义域均为,由,得出对恒成立;令,需即可,而,易知在上递减,在上递增;于是由且,得为所求.(2)问题等价:对,只需;由(1)知;而对恒成立,知在上递增,得;因,由,解出,故. 学科网（北京）股份有限公司 $