探究不等式与等式恒成立和有解问题策略讲义(二)-2026届高三数学二轮专题复习

探究不等式与等式的“恒成立”和“有解”问题策略(二) 有关不等式与等式的恒成立(任意)和有解(存在)问题,一直是高考及各类考试中考查的热点,也是考试卷中有意设置难题进行考查的重点对象.解决这类问题需要综合运用函数、导数、不等式和方程等知识于一体,通过演绎证明、运算推理等理性思维,重点考查多项数学思想和核心素养,先求出函数的最值(最大值与最小值)或值域,再求出式中参数的值(含最值)或取值范围来达到终极求解之目标.高考数学中的"恒成立"问题，一直以来都是命题的热点,这类问题既含参量又含变量,所以这类问题也是学习的一个重点和难点,如何简洁、快速、准确解决这类问题是提高解题能力的关键,本文通过对近年来高考试题的探讨举例说明这类问题的求解策略.新课程理念下,注重解题的通性通法,反对过分技巧化的训练.但在通性通法中,往往需要学生具备较为完善的知识结构和扎实的计算功底,否则学生在解题时经常会出现这样或那样的错误. 类型一、不等关系型 (二)、双函数中的任意与存在问题:此类问题较复杂,分六种情况探讨得出其结果如下. (5)“存在任意混合型2”,即含存在的函数大于含任意的函数 例7.已知函数,;若,对,使成立,求实数的取值范围. 【解析】依题意问题等价于对成立即可.因在上递减,则.而;①当时,对恒成立,知在上递增,得的值域为,此时不合题意;②当时,易得在上递增,在上递减,可得,解得;故实数. 【点评】若对,使得成立;其充要条件是:对, ,只需成立.按照左边是存在要大于右边,此时把右边看作常数可得;现左边是常数要大于右边是恒成立,易得出成立.只需将两者的最大值求出,需用导数讨论的最大值. (6)“双存在型”函数,两函数的定义域不同或相同(相同时自变量不同) 例8.已知函数,;若存在,存在,使成立,求实数的取值范围. 【解析】依题意问题等价于对,成立即可.因,其对称轴方程,则.又因,易知在上递减,在上递增,则.由,解得;故实数. 【点评】若,使得成立;其充要条件是:对, ,只需成立.按照左边是存在要大于右边,此时把右边看作常数可得;现左边是常数要大于右边是存在成立,易得出成立.通过求函数最值的方法,求出最大值与最小值. 【类型一总评】这类不等关系中恒成立(任意)与有解(存在)问题一直是高中数学学习的难点,更是高考的热点.试题大多在函数、导数、不等式等重要内容交汇处设计问题,全面考查对概念的理解和思维的灵活性、深刻性与创新性,能极大地展示出考生对分析与解决问题的综合数学能力和数学文化素养;在高考试题中设计的题型呈现多样、问题构思新颖、形式凸显灵活和创新,解决问题的关键是要联系函数的图像与性质,借助导数和不等式为工具,灵活驾驭数学思想与方法去有效分析和转化问题.上面对各种类型作了全面而有效的归纳和总结,对这些结论不要死记硬背,应该在理解的基础上通过一些实践操作来达到感悟,并能熟练掌握. 类型二、等式关系型 这里主要探讨两个不同函数之间的相等关系,有下列三种情况. (1)“任意与存在”混合型 例9.已知函数,;若对,,使得成立,求实数的取值范围. 【解析】因对恒成立,则在上递增,有,即的值域为.又因,则在上也递增,得的值域为.由题意知问题等价,可得且,则,即.故实数的取值范围为,. 【点评】对,使得成立;其充要条件是:对, ,的值域是的值域的子集,即.因此,求出两函数的值域,并理解两者值域之间的关系是解决问题的关键;先由再得出的解是一个突破点. (2)“双存在”型 例10.已知,;若,,使得成立,求实数的取值范围. 【解析】因对恒成立,知在上递增,可得的值域.又因在上递减,可得的值域.依题意知问题等价于;为此先考虑时的情形,易得或,解得或;由补集思想得时有.故的取值范围为. 【点评】若,使得成立;其充要条件是:对, ,的值域与的值域的交集非空,即.因此,求出两函数的值域,并理解两者值域之间的关系是处理问题的关键.在求的值域时,利用导数判定其单调性是非常方便的;利用补集思想求解是处理这类问题的窍门,既简洁方便又不容易出错. (3)“双任意”型 例11.已知函数,;若对,,总有成立,求实数的值. 【解析】因对恒成立,则在上递增,有,即的值域为.又因,则在上也递增,得的值域为.由题意知问题等价,可得且,解得.故所求实数,. 【点评】对,使得成立;其充要条件是:对, ,的值域与的值域相等,即.因此,求出两函数的值域,并理解两者值域之间的关系是解决问题的关键所在. 【类型二总评】这类等式关系中恒成立(任意)与有解(存在)问题,常利用两函数的值域关系求解;对于这种双函数双自变量的等式关系,一般有上述三种情况构成,要正确理解每种类型中两函数值域之间的集合关系,在解题时才能认识到位、熟练操作、准确求解. 【跟踪练习题】 3.设函数,.(1)对,使成立,求的取值范围;(2)若,,使成立,求的最大值. 4.已知函数.(1)若对,,使得成立,求实数的取值范围;(2)若对,,使得成立,求实数的值;(3)若,,使得成立,求实数的取值范围. 5.已知函数,其中参数;若对,恒成立,求的最大值. 跟踪练习题答案与解析 3.解:(1)问题等价:对,只需成立;由于,对称轴,则;而在上递减,则;由,得为所求.(2)问题等价:对,只需成立;因在上递减,在上递增,则;由(1)知;于是由,解得,故. 4. 解:(1)设函数的值域为,的值域为,该问题等价于即可;因,而;于是有,得,解得或为所求.(2)本问题等价于即可,由(1)知,即,解得或为所求. (3)本问题等价于即可,由(1)知;在上递减,在上递增,易得;由,只需满足,解得或为所求. 5.解:由,即得对恒成立;①当时,因且时,有,不合;②当时,则有对恒成立,得,此时;③当时,设的切线平行(重合)于直线,易求出切线方程为,则有,即,为使取得最大值,只需考虑存在时,使成立,构造函数(),只需即可;而,当时,得;当时,得;故知在上递增,在上递减;则;综上所述得. 学科网（北京）股份有限公司 $