精品解析：浙江省杭州市萧山区城区八校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期八年级期中学情调研 数学调研卷 (本卷满分120分) 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是假命题的是（   ） A. 若，则 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 若，则 D. 有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 4. 以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，在与中，，，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的周长为，则的长为（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 17 8. 如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在纸片中，，且，为线段上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，当时，面积的最小值为（   ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11. 列不等式：的倍小于______． 12. 如图，．若，，则中边的长是______． 13. 如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______． 14. 某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 15. 如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为______． 16. 如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在线段上运动，连接． （）当______时，是以为斜边的直角三角形； （）当时，是等腰三角形，则所有满足条件的的值的和为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明或推理步骤） 17. （1）解不等式：，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组：． 18. 如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）作出关于直线l的对称图形； （2）求的面积； （3）在直线l上找一点D，使最小． 19. 如图，已知中，平分交于点，于．若，，求的度数． 20. 在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 21. 如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． （1）试判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 22. 如图，，，，与交于点，连结． （1）求证：； （2）过点作于点，于点，求证：； （3）若，求的度数（直接写出答案）． 23. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． （1）在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） （2）若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 24. 如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且． （1）设，求的度数（用含的代数式表示）． （2）如图2，过点作，交于点，求证：． （3）如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级期中学情调研 数学调研卷 (本卷满分120分) 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，解题关键是掌握轴对称图形的概念．直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 2. 若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”．用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．据此求解即可． 【详解】解：在数轴上表示如下： 故选：D． 3. 下列命题中，是假命题的是（   ） A. 若，则 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 若，则 D. 有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断．选项A为不等式性质，选项B为角平分线性质，选项C为绝对值性质，均为真命题；选项D涉及三角形全等判定，但两边和一角对应相等时，若角非夹角，则不一定全等，故为假命题．熟练掌握不等式的基本性质、角平分线的性质、绝对值的性质以及全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解： A、若，则，不等式两边加同一数，不等号方向不变，真命题； B、角平分线上的点到角两边距离相等，为角平分线性质，真命题； C、若，则，由绝对值定义，真命题； D、两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，如情况可能不全等，假命题． 故选：D． 4. 以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，符合题意； C、，故不是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，不符合题意， 故选：B． 5. 如图，在与中，，，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明，则，又，进而求出的度数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不成立，不符合题意； B、取反例, ， 则，， ， 故B不成立，不符合题意； C、取反例，， 则，， ， 故C不成立，不符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴， 故D成立，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的周长为，则的长为（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的概念．先根据尺规作图确定是的垂直平分线，再利用垂直平分线性质得到，最后结合的周长求出的长即可解答． 【详解】解：由题意可得是线段的垂直平分线， 则， 的周长为， ， ， ， ， ， 即， 故选：． 8. 如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示有理数，有理数的混合运算等知识点，正确判断的大小以及正负是解题的关键． 先根据数轴得到，再判断，，即可判断各选项． 【详解】解：由数轴可得， 故A正确， ∴，， 故B正确， ∴， 故C错误， ∵， ∴， ∴， 故D正确， 故选C． 9. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断，然后根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，在纸片中，，且，为线段上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，当时，面积的最小值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．过点作于点，过点作于点，先利用三角形的面积公式可得，再证出是等边三角形，则的面积为，然后求出的最小值为6，即的最小值为6，代入计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当的值最小时，的面积最小， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴由可知，的最小值为6， ∴面积的最小值为， 故选：B． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11. 列不等式：的倍小于______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接表示出的倍为，其结果小于，得出不等式即可，正确列出不等关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 12. 如图，．若，，则中边的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由可得，即得，进而即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由直角三角形的性质可得，又平分，所以，则有，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴， 故答案为：． 14. 某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 【答案】10 【解析】 【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【详解】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 15. 如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在线段上运动，连接． （）当______时，是以为斜边的直角三角形； （）当时，是等腰三角形，则所有满足条件的的值的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）根据勾股定理解答即可； （）根据等腰三角形的定义，分四种情况，分别画出图形，求出的值，进而相加即可求解； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）如图，当时，是以为斜边的直角三角形， ∵四边形为长方形 ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）当时，如图，过点作于， 则， ∴； 当且点在的中点左侧时，如图，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当且点在的中点右侧时，如图，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，所有满足条件的的值为，，，， ∴所有满足条件的的值的和为， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明或推理步骤） 17. （1）解不等式：，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， 在数轴上表示为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是： （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得：； 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 18. 如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）作出关于直线l的对称图形； （2）求的面积； （3）在直线l上找一点D，使最小． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2）7 （3） 如图，点D即为所作． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）利用三角形的面积公式根据矩形面积减去三个三角形的面积计算即可得到结论； （3）连接交直线l于点D，则点D即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 略 19. 如图，已知中，平分交于点，于．若，，求的度数． 【答案】的度数是． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，则，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 20. 在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，先由勾股定理得，根据勾股定理逆定理可得，则有为直角三角形，然后通过，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴ ． 21. 如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． （1）试判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2） 解：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）知，， ∴ 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用方法是解题的关键． （）先利用等角对等边得出，再证出，进而判断出，即可得出结论； （）先根据三角形的内角和求出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，，，，与交于点，连结． （1）求证：； （2）过点作于点，于点，求证：； （3）若，求的度数（直接写出答案）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：由（）得，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，证明，由全等三角形性质即可求证； （）由（）得，，，则，所以，然后代入即可求解； （）设与交于点，由（）得，，由（）得，，则，根据三角形内角和定理可得，所以，然后证明，所以，从而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设与交于点， 由（）得，，由（）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 23. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． （1）在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） （2）若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是 ． 24. 如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且． （1）设，求的度数（用含的代数式表示）． （2）如图2，过点作，交于点，求证：． （3）如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴≌， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到； 根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到； 作交于点，连接，由，得到，，求得，得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作交于点，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $