精品解析：辽宁省葫芦岛龙港区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度第一学期八年级同步阶段检测 数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第三根木条的长度x厘米应在的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 6. 如图，在中，，，，平分，则点到的距离等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 7. 如图，工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 10. 如图，在中，，点是内部一点，点分别是点关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①；②；③上述结论中正确结论的序号是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，则的形状是___________． 12. 椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，在如图所示的椅子的设计中，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于y轴对称，则m+n的值是_____． 14. 如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为___________． 15. 如图，在四边形中连接，其中平分，且于点，当的边长满足时，请求出面积的最大值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 已知为的三边长，且满足． （1）求第三边的取值范围为_________． （2）当为等腰三角形时，求的周长． 17. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） （2）在（1）问条件下，若，求证： 18. 如图所示，某海监船在海域处巡逻，观测到岛礁在北偏东方向，该船以每小时10nmile的速度向正东方向航行到处，观测岛礁在北偏东方向，处恰与岛礁相距20nmile，继续以相同的速度向正东方向航行到处时，再观测到岛礁在北偏西方向，请你分别确定该海监船从处到达处和处所用的时间分别为多少？ 19. 如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 20. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点． （1）若的周长为12，求的长． （2）若，求的度数． 21. 如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点． （1）根据轴对称的性质易证是________． （2）直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． （3）若，求的长． 22. 【再现作图】如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同长度（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点． 【提出问题】 （1）在直线上取一点，连接，则这两条线段的数量关系是_______． （2）连接，当时，过点作于点，尝试探究三条线段之间的数量关系，并写出证明过程． 23. 【定理再现】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理应用】 （1）如图1在中，平分交于点，过点分别作，垂足分别为点，，请直接写出与的比值___________．（三角形面积记为） 【数学感悟】 如图2，在平面直角坐标系中，点点，连接，过点作的垂线交轴正半轴于点． （2）当时，求的值． （3）连接与相交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级同步阶段检测 数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：轴对称图形是: 故选：A． 2. 一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第三根木条的长度x厘米应在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 即， 故选：D． 3. 在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，三角形的分类；根据三角形内角和定理和直角三角形的判定进行计算即可． 【详解】解：①，则，是直角三角形； ②，则，，由三角形内角和定理，得，解得，，于是有，是直角三角形； ③，又，则，则，，不是直角三角形； ④，则，由三角形内角和定理，得，解得，，不是直角三角形； 能确定是直角三角形的条件有个， 故选：B． 4. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故选：A． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到∠A=∠D=65°，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠A=∠D=65°， ∴∠C=180°-∠ABC -∠A=35°， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，平分，则点到的距离等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD． 【详解】解：∵BC=12，BD=2CD， ∴CD=4， 由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=4． 故选B． 【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键． 7. 如图，工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，关键是熟练应用知识点解决问题； 根据由三边相等得两三角形全等，即由判定三角形全等． 【详解】解：∵角尺两边的刻度相同， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． 故答案为：B． 8. 如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关键．根据题意求出，再根据角平分线的性质求出的度数，故根据的内角和求出的度数． 【详解】解：， ， ， 的角平分线与的外角平分线相交于点P， ， ． 故选B． 9. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 10. 如图，在中，，点是内部一点，点分别是点关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①；②；③上述结论中正确结论的序号是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，得；由垂直平分线的性质得，由四边形内角和定理得；根据对称性得，，，可得． 【详解】解：连接，如图， 根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴， 又， ∴，故②正确； 根据对称性得，，， 又， ∴， ∴故③错误． ∴正确的结论是①②， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，则的形状是___________． 【答案】钝角三角形 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，先由题意和三角形的内角和定理求出，，，求解方程确定三角形各角的度数得结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． ∴该三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角三角形． 12. 椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，在如图所示的椅子的设计中，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【详解】解：∵在如图所示的椅子的设计中，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固 ∴运用的数学原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 13. 在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于y轴对称，则m+n的值是_____． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可得m、n的值，代入m+n进行计算即可得答案. 【详解】解：∵A（2，m）和B（n，﹣3）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝﹣2， ∴m+n＝﹣3﹣2＝﹣5． 故答案为﹣5． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征、有理数的加减等，根据题意求出m、n的值是解本题的关键. 14. 如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质，由是等边三角形得，由得，可得，可得，从而可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，在四边形中连接，其中平分，且于点，当的边长满足时，请求出面积的最大值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】通过构造辅助线，利用角平分线、垂直的性质证明线段相等，结合中位线定理确定的高的最大值，进而求出面积最大值． 【详解】解：延长交的延长线于点，取的中点，连接． ∵平分，， ∴∠ACM=∠ACD，∠MAC=∠DAC=90°， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，是中点， ∴， 当时，的面积最大， ∵， 的最大面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及中位线定理是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 已知为的三边长，且满足． （1）求第三边的取值范围为_________． （2）当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】（1） （2）的周长为17 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值与平方的非负性、三角形三边关系和等腰三角形的定义，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据三角形三边关系和非负性进行求解即可； （2）根据等腰三角形的定义分为两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为的三边长， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意， 当时， ∴的周长为， ∴的周长为17． 17. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） （2）在（1）问条件下，若，求证： 【答案】（1） 如图，即为所求作的角； （2） 证明：（已知） 在和中 【解析】 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键； （1）作即可； （2）根据得出，进而证明，得出即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图所示，某海监船在海域处巡逻，观测到岛礁在北偏东方向，该船以每小时10nmile的速度向正东方向航行到处，观测岛礁在北偏东方向，处恰与岛礁相距20nmile，继续以相同的速度向正东方向航行到处时，再观测到岛礁在北偏西方向，请你分别确定该海监船从处到达处和处所用的时间分别为多少？ 【答案】船从处到达处所用的时间为2h，船从处到达处所用的时间为4h 【解析】 【分析】根据题意推出，推出 ，然后根据船航行的速度，即可推出从点到点用了多长时间，即可推出到达点的具体时间，根据点观测海岛在北偏西方向，即可推出为等边三角形，即 ，即可推出点到达点船所用的时间，即可推出船到达点的时间． 【详解】解：∵在处观测海岛在北偏东方向， ∴， ∵点观测海岛在北偏东方向， ∴， ∴， ∴ ∵点观测海岛在北偏西方向， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∵船以每小时10 的速度从点航行到处，又以同样的速度继续航行到处， ∴船从点到达点所用的时间为：（小时），船从点到达点所用的时间为：（小时），船从点到达点所用的时间为：（小时）． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点，关键在于通过求相关角的度数，推出相关边的关系，熟练运用航程、时间、速度的关系式，认真地进行计算． 19. 如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 即为所作： （2）5 （3） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积：； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 20. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点． （1）若的周长为12，求的长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）5； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．线段、角的等量代换在做题中起到非常重要的作用． （1）由是的垂直平分线得到，所以的周长，而，由此即可求出长； （2）由可以得到，而，利用三角形的内角和即可求出∠，又由可以推出，而，由此即可求出． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点． （1）根据轴对称的性质易证是________． （2）直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． （3）若，求的长． 【答案】（1）等边三角形； （2） 解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （3）的长为3． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，以及平行线的性质． （1）由折叠的性质求出，进而可证明是等边三角形； （2）由是等边三角形得，由平行线的性质得，进而可证是等边三角形； （3）由等边三角形的性质得，再证明求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知，由（2）可知， ∴ ∴， ∴． ∴，即的长为3． 22. 【再现作图】如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同长度（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点． 【提出问题】 （1）在直线上取一点，连接，则这两条线段的数量关系是_______． （2）连接，当时，过点作于点，尝试探究三条线段之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 过点作，交延长线于点， ∵， ∴． ∵于点，于点． ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；解题关键是利用垂直平分线得线段相等，通过作辅助线构造全等三角形实现线段的转化． （1）由作图得是的垂直平分线，利用垂直平分线性质得． （2）作延长线，先证得，再证得，最后通过线段和转化得． 【小问1详解】 由作图方法可知，直线是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴点在上， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 【定理再现】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理应用】 （1）如图1在中，平分交于点，过点分别作，垂足分别为点，，请直接写出与的比值___________．（三角形面积记为） 【数学感悟】 如图2，在平面直角坐标系中，点点，连接，过点作的垂线交轴正半轴于点． （2）当时，求的值． （3）连接与相交于点，若，求的值． 【答案】（1）（）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线性质，全等三角形的判定与定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由角平分线性质定理得，根据三角形面积可得结论； （2）分别过点作轴于点，轴于点，根据证明可得，进而可求出的值； （3）分别过点作轴于点，轴于点， 根据角平分线性质定理得，由（2）得可得，即可求出． 【详解】解：∵平分交于点，过点分别作， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分别过点作轴于点，轴于点， ∴， ∵点， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 （3）分别过点作轴于点，轴于点，如图， ∵， 由（1）可知，∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $