精品解析：重庆八中宏帆中学校2025-2026学年九年级上学期数学定时作业

11月23日定时练习 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根． 【详解】解：A、是无理数，故符合题意； B、是分数，属于有理数，故不符合题意； C、是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； D、，是整数，属于有理数，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂相除，掌握相关的运算法则是解题的关键． 根据积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂相除，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项的运算错误； B、，故本选项的运算正确； C、，故本选项的运算错误； D、，故本选项的运算错误． 故选：B 3. 为制定科学的某景区游客疏导方案，管理部门需了解游客游览时长分布特征．下列调查方式最合理的是（ ） A. 在国庆节当天对所有进入景区游客进行全程跟踪记录 B. 随机抽取10个工作日和10个周末，在不同时段记录300名游客的进出时间 C. 对购买付费观景台门票的游客进行游览时间统计 D. 要求所有游客在景区出口扫码填写游览时间问卷 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的合理性，合理的调查方式应确保样本具有代表性和可行性，避免选择偏差或数据不准确． 【详解】 A选项在国庆节当天调查，游客数量异常集中，不能代表平日游览特征，不合理； B选项随机抽取10个工作日和10个周末，在不同时段记录300名游客的进出时间，覆盖不同时段，样本量适中，具有代表性，调查方式最合理； C选项只针对购买付费门票的游客，样本范围狭窄，不具有代表性，不合理； D选项依赖游客自愿填写问卷，数据可能缺失或不准确，不合理． 故选：B． 4. 下列的说法中正确的是（ ） A. 单项式的次数是5 B. 的系数是 C. 多项式的常数项为 D. 多项式是三次二项式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数与系数、多项式的项数与次数及常数项的概念，解题的关键是准确掌握这些概念的定义． 分别根据单项式次数、系数，多项式项数、次数及常数项的定义，对每个选项逐一分析判断，得出正确选项． 【详解】解： 单项式的次数是所有字母指数的和， 选项 A 中， 的字母部分为 ，次数为 2，不是 5， A 错误． 单项式的系数是数字部分（包括常数 ）， 选项 B 中， 的系数为 ，不是 ， B 错误． 多项式的常数项是不含字母的项， 选项 C 中， 的常数项是 ， C 正确． 多项式的次数是最高次项的次数， 选项 D 中， 的最高次项为 ，次数为 2，是二次二项式，不是三次， D 错误． 故选C． 5. 下列各式的化简结果与的化简结果是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式是化简后根号内数相同是解题的关键． 先化简为，根号内数为2；再分别化简各选项，找出化简后根号内数也为2的选项． 【详解】∵ ， ∴ 化简后根号内数为2， 对于选项： A. ，根号内数为3； B. ，根号内数为6； C. ，根号内数为2； D. ，根号内数为3， ∴ 只有C选项化简后根号内数为2，与同类． 故选：C． 6. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构． 根据完全平方式的定义，将原式与标准形式比较系数，求出参数a的值． 【详解】设完全平方式为， ∵ 原式为完全平方式， ∴ 常数项，解得， 又∵ 一次项系数相等，即， ∴ ， 当时，，∴ ，∴ 。 当时，，∴ ，∴ ， 故的值为1或． 故选：C． 7. 的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ 故选A． 8. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由六月份的辆增加到八月份的辆，则该汽车六月至八月销售量平均每月增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，设每月增长率为x，则七月份销售量为，八月份销售量为七月份的倍，即． 根据题意，八月份销售量为辆，可得方程为：，解方程，即可求解． 【详解】解：设每月增长率为x，根据题意得， ， 解得：（舍去） 答：该汽车六月至八月销售量平均每月增长率为 故选：D 9. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，以为斜边向上作等腰，交于点，连接，，交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，四点共圆知识． 过作，过作交于，设，则，先说明在以为直径的圆上，得到，再证明，得到，进而求得，，利用勾股定理求出，再由相似得到，求得，最后由即可求解． 【详解】由题意知，且也是以为斜边的直角三角形， 则在以为直径的圆上， 又在等腰中，， （同弧所对圆周角相等）， 如图，过作，则为等腰直角三角形， 设，则， ， 又， ， ，即， ，解得，， ， ， ， ， 过作交于， ， ，即，解得， 又， ， ， ． 故选：B． 10. 已知整式，其中为自然数，（，为正整数），，，，…，，为整数且，以下说法： ①当，时，不存在符合题意的； ②当，时，的最大值为； ③当时，满足关于的二次函数与轴有交点的共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查整式的分类讨论，掌握绝对值和非负整数的性质是解题的关键． ①，当时，存在满足条件的系数序列，如，因此说法错误；对于说法②，当时，，在约束条件下最大值为，而非，因此说法错误；对于说法③，当时，满足条件的二次函数共有7个，且判别式均，都与x轴有交点，而非9个，因此说法错误；故正确个数为0． 【详解】说法①：∵ ，系数满足，所有条件满足， ∴ M存在，说法错误； 说法②：∵ ，， 设， 则， 又∵，代入得， 因为，所以的最大值为， 当且仅当且时取等， ∴ 最大值为，说法错误； 说法③：∵，系数满足， 可能序列有共7个， 计算判别式均， ∴ 均有交点，说法错误． 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 原式提取公因式后，利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若分式的值等于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程得到代数式的值，再进行求解． 把代入方程，可得，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】将代入，得：， 整理得；， ∴． 故答案为：． 14. 已知有增根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键．将原方程去分母后并整理，然后将增根代入该方程中解得a的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 原方程有增根， ， ， ， 解得：， 故答案为：1． 15. 如图，以的边为直径作的外接圆，切于点，连接交于点，且．点为劣弧的中点，连接并延长交于点．若，，则_____；_____． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用圆周角定理得到，由等角的余角相等推出，设，则，利用勾股定理求出x值；连接交于点N，连接，，过点F作于M，利用等腰三角形的性质得到，勾股定理求出，，过点E作于点T，证明，求出，再证明，求出，即可求出． 【详解】解：∵为的直径，切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴, 解得，即； 连接交于点N，连接，，过点F作于M， ∵点为劣弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， 过点E作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：6，． 16. 若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且，，那么称这个四位正整数为“特色数”．将一个“特色数”其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如：对于四位数1234，，，所以1234是“特色数”．将1234其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数：234，134，124，123，则．若最小的“特色数”为，则_____；若也是一个“特色数”，满足被19除余17且等于一个自然数的平方，那么符合条件的所有的和为_____． 【答案】 ①. 189 ②. 2558 【解析】 【分析】本题考查数字规律探索，实数的运算；首先，根据“特色数”的定义，各数位数字均不为0，且千位与百位不等、十位与个位不等.最小的“特色数”为1212，计算其P值得到189.其次，对于另一个“特色数”，根据条件为自然数的平方，推导出b和c的取值有五种情况：，或，或，或，或，.再根据被19除余17，推导出a与d的关系，结合特色数条件和，得到2个符合条件的M值，最后求和即可. 【详解】解：∵“特色数”最小， ∴千位、百位、十位、个位上都要尽可能小， 又∵各数位数字均不为0，且千位与百位不等、十位与个位不等， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为自然数的平方，且b、c为数字1~9， ∴或0， ∴或0， ∴，或，或，或，或，， ∵，， ∴， ∵被19除余17， 即能被19整除 ∴当，时， 此时没有满足条件的a、d的值； 当，时， 此时，满足条件； 当，时， 此时没有满足条件的a、d的值； 当，时， 此时，满足条件； 当，时， 此时没有满足条件的a、d的值； 综上：符合条件的M有两个为：1289、1269 ∴符合条件的所有的和为. 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解为0，1 【解析】 【分析】考查了一元一次不等式组的解法，分别解不等式，找出解集的公共部分即可． 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，进而写出不等式组的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，不等式组的解集为：， 所以，不等式组的最小整数解为0，1． 18. （1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点（要求：只保留作图痕迹，不写作法和结论）； （2）已知：如图，，，于，，求的长． 证明：在四边形中，， ， ①__________， 又②__________， ， 在与中， ， ③__________， ，， ，即， 又， ， ④__________， ， ， ． ． 【答案】 （1）尺规作图如下： （2）；；，；； 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心做弧，分别交、、于、、，用尺子测出的长度，再以为圆心，为半径画弧交于点即可做出． （2）通过构造相等，结合已知条件，证明，进而实现面积的转化，然后根据直角三角形的性质和面积公式列式求解． 【详解】略 【点睛】本题考查尺规作图的基本操作，全等三角形的判定与性质，图形面积的转化思想，直角三角形的性质，掌握用圆规截取等弧的方法，构造全等三角形实现面积转化是解题关键． 19. 某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数表示，共分为四个等级：等：、等：、等：、等：．其中等级为优秀，单位：分）八年级抽取的等学生人数是等学生人数的． 九年级抽取的等学生成绩为：88，88，88，88，87，84，83，83，81． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 82 86 九年级 85 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：_____，_____，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有1000人，九年级有800人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）20；88；补全图形如下： （2） 解：九年级学生的成绩更好，理由如下： 因为八、九年级学生竞赛成绩的均值相同，九年级中位数高于八年级学生竞赛成绩的中位数， 且九年级学生竞赛成绩的众数高于八年级学生竞赛成绩的众数， ∴九年级学生的成绩更好． （3）260 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、样本估计总体，扇形统计图，频数分布直方图，正确理解题意是解题的关键． （1）根据九年级B等人数和其人数占比可求出a的值，根据中位数的定义可求出b的值，再求出八年级两个等级的人数即可补全图形； （2）根据两个年级中位数、众数的大小关系可得答案； （3）求出样本中八年级、九年级优秀所占的百分比，进而估计总体中优秀所占的百分比，进而求出相应的人数． 【小问1详解】 解：∵九年级B等人数为9人， ∴， ∴九年级A等人数为人， 把九年级20名学生的成绩按照从低到高排列，中位数为第10个数据和第11个数据的平均数， ∵， ∴； 八年级抽取的等和等学生人数为人， 又∵八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数, ∴八年级抽取的A等学生人数为2人，C等学生人数为6人， 故答案为：20；88； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：人， 答：两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数有260人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【详解】原式 ， ， 原式=． 21. 某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元． （1）求甲、乙两种商品各购进多少件？ （2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种商品各购进120、100件 （2）650元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设设甲种商品购进件，根据题意建立一元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设设甲商品的售价元，根据题意列分式方程即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种商品购进件，则 解得 答：甲、乙两种商品各购进120、100件； 【小问2详解】 解：设甲商品的售价元，则 解得 经检验，是原分式方程的解． 超市能从这次销售中获利为． 答：超市能从这次销售中获利650元． 22. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.8个单位每秒；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.5个单位每秒．设运动时间为秒，记点到直线的距离为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）如图： 函数的性质：当时，随增大而增大， 当时，随的增大而减小； 函数的性质：时，随增大而增大； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分两种情况分析当时，当时，写出分段函数解析式，根据面积比得到； （2）描点画出两个函数图象即可； （3）根据两个函数图象的交点，先估计当时的取值，再写解集即可． 【小问1详解】 ∵中，，，， ∴， 秒后，，， 当时，即，解得， 当时，， ， 点到直线的距离为， 当时，， ， 点到直线的距离为， 则； 过作，， 则， ， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可知， 时，， 时，． 23. 小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） （1）求．（结果保留根号） （2）该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，掌握特殊角的正切值和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据正切值求即可求解； （2）设，则无人机与小明的距离，再根据题意得，利用其正切值得到，进而在，应用勾股定理求即可． 【小问1详解】 解：，， ，，， ，解得， ，解得， ； 【小问2详解】 解：设，则无人机与小明的距离， 由题意可知， ，解得， ， 在中，， 即， 整理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 无人机距离地面的高度为． 24. 抛物线与轴交于点和点，交轴于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为线段下方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点、分别为轴上的两个动点（点在点上方），，连接，，当取最大值时，求的最大值； （3）已知，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线对称轴的交点为，连接，为原抛物线上一点，过作的平行线交抛物线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求解二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是求解出解析式． （1）根据二次函数的对称轴及过一点，建立等式进行求解； （2）先证明出是等腰三角形，再利用二次函数的性质结合配方法求解即可，再根据对称求最值即可； （3）根据题意，利用平移分点由点向右平移1个单位再向下平移2个单位，点由点向左平移1个单位再向上平移2个单位即可确保，然后根据平移求交点即可． 【小问1详解】 解：对称轴为， 把代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点D的坐标为， 点D在BC的下方， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 轴， E的坐标为， ， ， ， 当时，取得最大值，此时， 如图，过作，且，关于轴对称点为， 四边形为平行四边形，， ，，，， ， ， ， 当在的延长线时，取得最大值； 【小问3详解】 ， ，， 由到向右平移1个单位，向下平移3个单位，共平移了个单位， 所以抛物线沿着射线方向平移个单位长度， 即向右平移2个单位，向下平移6个单位得到新抛物线， ，顶点为，平移后为， ， 当时，，则， 又，则点由点向右平移1个单位再向下平移2个单位得到， ， 点由点向右平移1个单位再向下平移2个单位得到， 又为原抛物线上一点， 向右平移1个单位再向下平移2个单位得到， 联立，解得，即点， 此时点，符合题意； 点由点向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 又为原抛物线上一点， 向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 联立，解得，即点， 此时点，符合题意； 综上，或． 25. 在等腰和等腰中，，，连接． （1）如图1，，延长交于点F，若，D、F分别为、的中点，求线段的长度； （2）如图2，，当E、D、B三点共线时，延长与的延长线交于点M，连接交于点G．延长与的延长线交于点N．若．求证：； （3）如图3，，，连接并延长交于点F．当垂直平分时，点为点D关于的对称点．点为线段上一点，连接，过点H作交射线于点M，且满足．当取最小值时，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长到点P使，连接，过点A作于点H，延长到点Q使，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为中垂线， ∴，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一及勾股定理即可求得结果； （2）延长到点P使，连接，过点A作于点H，延长到点Q使，连接，根据等边三角形的性质得出，证明，从而得出，，继而推得，，设，则，得出，证明，得出，从而推导出，则，利用解含直角三角形的性质得出相关线段关系得出结论； （3）根据题意作出，并连接，，在上取一点H，作，点M交的延长线于点M，构造隐圆以点O为圆心，取中点O，为半径作，点F在上运动，取中点N，则，，连接，，，，证明，延长，交于点Q，再证明，此时计算出定值和定角的值，从而得出点M是圆周运动，以点P为圆心，使得点Q，M，N在上，通过计算得出当点E，M，P三点顺次共线时，最小，进而得到；设，则，由得出，，由于恒成立，则也恒成立，得出，此时，，均为定边，则，为动边，先证明，得出，此时点C的轨迹固定为直线，点B的轨迹固定为直线，，的最小值为时，过点E作交直线于点，与交点S，根据并利用勾股定理求得和的长度，过点A作交于点K，作的角平分线，交于点L，再过点L作交于点T，在中，设，，利用角平分线的定理及三角形等面积法求得的长度，进而设，再利用勾股定理列出关于a的方程求得a的值即可得到的长度，再过点A作交直线于点，证明，得到的长度，最后证明出四边形为矩形，进而得到，最终可求得． 【小问1详解】 解：∵，，F为中点， ∴，且， 在中，，， ∴， 又∵D为中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据题意作出，并连接，，在上取一点H，作，交的延长线于点M， ∵，， ∴， 以点O为圆心，取中点O，为半径作， ∴点F在上运动， 取中点N，则，，连接，，，， ∵所对圆周角相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 延长，交于点Q， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴定值，定角， ∴点M是圆周运动， 以点P为圆心，使得点Q，M，N在上， ∴，， ∴当点E，M，P三点顺次共线时，最小， 此时，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵恒成立，则也恒成立， ∴， ∴，，均为定边，则，为动边， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点C的轨迹固定为直线，点B的轨迹固定为直线，， ∴的最小值为时， 如图，过点E作交直线于点，与交点S， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，， 过点A作交于点K，作的角平分线，交于点L，再过点L作交于点T， ∵， ∴在中，设，， 由角平分线定义可知：，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得（负值舍去）， ∴， 过点A作交直线于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，定边对定角及相似三角形的判定与性质等知识点，难度系数大，综合性强，属几何压轴题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11月23日定时练习 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为制定科学的某景区游客疏导方案，管理部门需了解游客游览时长分布特征．下列调查方式最合理的是（ ） A. 在国庆节当天对所有进入景区游客进行全程跟踪记录 B. 随机抽取10个工作日和10个周末，在不同时段记录300名游客的进出时间 C. 对购买付费观景台门票的游客进行游览时间统计 D. 要求所有游客在景区出口扫码填写游览时间问卷 4. 下列的说法中正确的是（ ） A. 单项式的次数是5 B. 的系数是 C. 多项式的常数项为 D. 多项式是三次二项式 5. 下列各式的化简结果与的化简结果是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0或 7. 的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由六月份的辆增加到八月份的辆，则该汽车六月至八月销售量平均每月增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，以为斜边向上作等腰，交于点，连接，，交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，（，为正整数），，，，…，，为整数且，以下说法： ①当，时，不存在符合题意的； ②当，时，的最大值为； ③当时，满足关于的二次函数与轴有交点的共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 因式分解：______． 12. 若分式的值等于，则______． 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值是_____． 14. 已知有增根，则______． 15. 如图，以的边为直径作的外接圆，切于点，连接交于点，且．点为劣弧的中点，连接并延长交于点．若，，则_____；_____． 16. 若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且，，那么称这个四位正整数为“特色数”．将一个“特色数”其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如：对于四位数1234，，，所以1234是“特色数”．将1234其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数：234，134，124，123，则．若最小的“特色数”为，则_____；若也是一个“特色数”，满足被19除余17且等于一个自然数的平方，那么符合条件的所有的和为_____． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 解不等式组，并写出不等式组的整数解． 18. （1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点（要求：只保留作图痕迹，不写作法和结论）； （2）已知：如图，，，于，，求的长． 证明：在四边形中，， ， ①__________， 又②__________， ， 在与中， ， ③__________， ，， ，即， 又， ， ④__________， ， ， ． ． 19. 某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数表示，共分为四个等级：等：、等：、等：、等：．其中等级为优秀，单位：分）八年级抽取的等学生人数是等学生人数的． 九年级抽取的等学生成绩为：88，88，88，88，87，84，83，83，81． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 82 86 九年级 85 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：_____，_____，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有1000人，九年级有800人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元． （1）求甲、乙两种商品各购进多少件？ （2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？ 22. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.8个单位每秒；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.5个单位每秒．设运动时间为秒，记点到直线的距离为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） （1）求．（结果保留根号） （2）该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 24. 抛物线与轴交于点和点，交轴于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为线段下方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点、分别为轴上的两个动点（点在点上方），，连接，，当取最大值时，求的最大值； （3）已知，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线对称轴的交点为，连接，为原抛物线上一点，过作的平行线交抛物线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况． 25. 在等腰和等腰中，，，连接． （1）如图1，，延长交于点F，若，D、F分别为、的中点，求线段的长度； （2）如图2，，当E、D、B三点共线时，延长与的延长线交于点M，连接交于点G．延长与的延长线交于点N．若．求证：； （3）如图3，，，连接并延长交于点F．当垂直平分时，点为点D关于的对称点．点为线段上一点，连接，过点H作交射线于点M，且满足．当取最小值时，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $