专题18 社会生活讲义-2026届高三数学二轮复习

【二轮复习—社会生活】 专题18 社会生活 考向一 以传统艺术、节日为背景 【方法储备】 数学模型问题基于生产、生活、科研等背景，需要综合运用生活语言、符号语言、图形语言等研究其中的数量关系.其中生活语言文字类型的应用问题就是包括比较长的用生活语言叙述的关系，重点是理解生活语言，从中抽象数量关系，而复杂数学关系类型的试题特点是用比较抽象、严谨、规范的数学语言叙述问题，解题的重点是对数学语言的理解，厘清各元素之间的关系．严谨性和抽象性是数学语言的特征之一，理解数学语言是数学阅读的核心问题． 【典例精讲】 例1.(2025·湖南省·联考题)晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图是该建筑的剖面画图圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”现使用图简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为(    ) A. B. C. D. 解：由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分， 将区域还原到如图所示圆柱中． 由图可知，，， 由扇形的弧长公式可知，的长为， 结合圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为． 【拓展提升】 练1-1(2025·湖北省恩施土家族苗族自治州·联考题)某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过，已知在过滤过程中的污染物的残留数量单位：毫克升与过滤时间单位：小时之间的函数关系为：为正的常数，为原污染物数量若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤(    ) A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 解：由题意，前个小时消除了的污染物， ，，， 即，． ，则由， 即，，得． 要能够按规定排放废气，至少还需要过滤小时． 故选：． 练1-2(2025·湖南省常德市·月考试卷)（多选题）第届冬季奥林匹克运动会圆满结束根据规划，国家体育场鸟巢成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆和椭圆的离心率相同，且则下列正确的是(    ) A. B. C. 如果两个椭圆，分别是同一个矩形此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行的内切椭圆即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点和外接椭圆，则 D. 由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线与交于两点，，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为． 解：选项A因为，且，所以，即，故不正确 选项B由，得，则， 所以，故正确 选项满足椭圆方程，又因为，则， 所以，，故正确 选项D，由对称性知，、关于轴对称，，，，， ，， ，，故正确． 故选BCD． 练1-3(2025·湖北省·孝感月考试卷)(多选)“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线半圆的方程为，半椭圆的方程为则下列说法正确的是(    ) A. 点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点， ， 则 面积的最大值为 B. 曲线上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为 C. 若，是半椭圆上的一个动点，则 的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 解：对于，因为点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点，， 则，，则， 当位于椭圆的下顶点时取等号， 所以面积的最大值为，故A正确； 对于，半圆上的点到点的距离都是， 半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为， 所以曲线上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为，故B正确； 对于，是椭圆的两个焦点，． 在中，，由余弦定理知： ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C错误； 对于，由题意知：蒙日圆的圆心坐标为原点， 在椭圆：中取两条切线：和， 它们交点为，该点在蒙日圆上，半径为， 此时蒙日圆方程为：，故D正确． 故选：． 考向二 以社会热点为背景 【方法储备】 聚焦社会热点，彰显责任担当.解决此类问题的关键在于： 1.学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，数学阅读能力的培养是渗透在平常学习的点点滴滴之中的. 2.掌握阅读策略.数学是一门严谨的学科，有自己的语言，在阅读中对不同的素材内容，采用不同的策略方法．同时数学是一种“数形结合”的语言，所以阅读试题通常也需要学生在三种语言之间的频繁的转换，相互补充，弄清楚试题所表达的意思． 3.加强逻辑思维能力培养.高考试题虽然语言简洁，但是所包含的内容却十分丰富，要理解这些语言需要有较高的思维能力与阅读能力．在阅读中要把重点放在对知识的消化、对试题数量关系的分析、理解和抽象之上． 【典例精讲】 例2.(2025·四川省成都市·模拟题)（多选题）我国知名品牌小米公司的图具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线、为常数，且则下列有关曲线的说法中正确的是(    ) A. 对任意的且，曲线总关于原点对称 B. 当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个 C. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 D. 当时，曲线与直线交于，两点，则的最小值为 解：取上点，那么， 点关于原点的对称点为， 由于， 所以点、都在曲线上，因此总关于原点对称，所以选项A正确； 当，时，，，得，因此与轴有个交点； 当，，时，，那么，解得， 因此或，因此与轴有个交点． 综上所述，与坐标轴的交点个数为个，所以选项B错误； 当，时，在上任取一点， 根据 ，那么， 当且仅当时，即当时取到等号， 因此曲线上的点到原点的距离最小值为，所以选项C正确． 由题设直线恒过，当时，方程化为，圆的圆心，半径为，在圆上， 曲线与直线交于，两点，不妨与重合， ，为到直线的距离的倍， 的最小值为圆的圆心到直线的距离减去圆的半径的倍． 即， 的最小值为． 故选：． 【拓展提升】 练2-1(2025·河南省·模拟题)（多选）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是(    )参考数据：若，则 A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为 解：对于，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即， A正确； 对于，由，得， 又， 于是，即， 因此，即，则， B错误； 对于， ， C正确； 对于，， 设， ， 解得，，由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为，D正确． 故选：． 练2-2 (2025·湖北省黄石市·模拟)（多选题）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，每排气分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间分钟之间存在函数关系，其中为常数已知空气中一氧化碳浓度不高于为正常，人可以安全进入车库若刚好经过分钟，人就可以安全进入车库了，则(    ) A. B. C. D. 排气分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为 解：由题意可设， 则，此时为常数， 由题意，， 则，即， 所以，故 A正确，B错误； 因为刚好经过分钟，人就可以安全进入车库了， 所以，又由，得， ， 解得，所以，故 C正确； ， 故排气分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为，故D正确． 故选：． 练2-3(2025·浙江省·联考题)细心的观众发现，亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂。“梅兰竹菊，迎八方君子松柳荷桂，展大国风范“。团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善。花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为，若其中一片花瓣所在圆圆心记为，两个花瓣端点记为、，切点记为，则不正确的是(    ) A. 、、在同一直线上 B. 个弧形所在圆的圆心落在同一圆上 C. D. 弧形所在圆的半径变化时，存在 解：取的中点为，连接，连接，交于点， 因为花瓣的圆心角为 ，花瓣端点也在同一圆上，个弧形花瓣也内切于同一个大圆， 则，，即，，又，故，则， 故，，在同一直线上，故A正确； 由可知，三角形为等边三角形， 由可知每个花瓣的圆心、大圆圆心以及花瓣和大圆的切点三点共线， 则每个花瓣的圆心到大圆的距离始终为： B. ， 故个弧形所在圆的圆心落在同一圆上，故B正确； 由题意可知扇作十二葵瓣形，有个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣端点也在同一圆上， 则，故C正确， 由可知：， ，，， 则故D不正确． 故选D． 考向三 以经济为背景 【方法储备】 1.经济活动创造社会财富,特别是目前火热的“数字经济”,使得我们的生活更上一层楼,经济活动有很多层次，如环境、金融、财务等多方面，这些都与数学有着千丝万缕的联系. 【典例精讲】 例3.(2025·北京市市辖区·模拟题)调查显示，垃圾分类投放可以带来约元千克的经济效益为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分为正整数月底积分会按照元分进行自动兑换． 当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换          元； 为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的，则的最大值为          ． 解：  若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为分， 故该家庭该月积分卡能兑换元； 设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元 若时，恒成立； 若时，，可得． 故的最大值为． 故答案为：；． 【拓展提升】 练3-1(2025·湖北省黄石市·模拟)（多选）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，每排气分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间分钟之间存在函数关系，其中为常数已知空气中一氧化碳浓度不高于为正常，人可以安全进入车库若刚好经过分钟，人就可以安全进入车库了，则(    ) A. B. C. D. 排气分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为 解：由题意可设，则，此时为常数， 由题意，，则，即， 所以，故 A正确，B错误； 因为刚好经过分钟，人就可以安全进入车库了， 所以，又由，得， ， 解得，所以，故 C正确； ， 故排气分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为，故D正确． 故选：． 练3-2(2025·历年真题)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附： 解：由题可知，超声波检查结果不正常者有人，这人中患该疾病的有人， 则 零假设为超声波检查结果与是否患该疾病无关 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于．  练3-3(2025·湖北省武汉市·月考)小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有层，设第层的“环境满意度”为，且第层比第层的“环境满意度”多出又已知小王有“恐高症”，设第层的“高层恐惧度”为，且第层比第层的“高层恐惧度”高出倍在上述条件下，若第层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第层“购买满意度”为，且，则小王最想买第          层住宅参考公式及数据：，，， 解：由题意可得，，即 故当时， ， 又满足，所以 又是首项为1，公比为的等比数列，所以，所以 所以 令，则， 当时，， 当时，， 又单调递减， 所以当时，， 当时，， 又，所以，， 所以数列的最大值为， 所以小王最想买第10层住宅. 共12页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $