专题21 客观题解题技巧讲义-2026届高三数学二轮复习

【二轮复习—客观题解题技巧】 专题21 客观题解题技巧 考向一 选择题答题技巧 【方法储备】 1.特殊值法 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． 2.排除法 排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择项这一信息，从选择项入手，根据题设条件与各选择项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择项进行排除，将其中与题设矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法． 3.数形结合法 根据命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法． 4.正难则反 正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题。 【典例精讲】 例1.(2022·新高考2卷)若，则(    ) A. B. C. D. 解：方法1：设则，取，排除， 再取则，取，排除故选C． 方法2：由 ，故 故，即， 故，故，故． 故选C． 【变式训练】 练1-1(2022·新高考2卷)若函数的定义域为，且，，则(    ) A. B. C. D. 解：令得 故，， 消去和得到，故周期为 令，得， ，， ，， ， 故 即． 故选C． 练1-2(2022·全国甲卷理科) 函数在区间的图象大致为(    ) A. B. C. D. 解：令， 则，所以为奇函数，排除； 又当时，，所以，排除． 故选A． 练1-3(2022·全国甲卷理科)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选C． 练1-4(2023·浙江省·联考题)已知向量，，满足，，，则向量与夹角的最大值是(    ) A. B. C. D. 解：方法1：不妨设，，， 因为，所以， 即，则向量的起点为，终点在以为圆心，以为半径的圆上， 如下图所示： 由图可知，当图中向量所在直线与圆相切时， 向量与夹角的最大，且最大值是． 方法2：，， 又，， 则， 即，即， 所以，， 向量与夹角的最大值是． 故选B． 练1-5（2023·江苏省·月考试卷）北斗导航系统内颗卫星组成，于年月日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为(    ) A. B. C. D. 解：从颗星中任取颗星，方法总数为，其中，玉衡和天权都没有选中的方法数为， 故玉衡和天权至少一颗被选中的方法数为， 则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为． 故选B． 练1-6(2023·安徽省·联考题)（多选）定义“正对数”，下列命题中正确的有 (    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则． 解：对于，当，时，满足，， 而，，，故A错误 对于，当，时，有，从而，， 当，时，有，从而，，． 当，时，，命题B正确 对于，由“正对数”的定义知，当时，． 当，时，，而，则 当，时，有，，而， ，则； 当，时，有，， 而，则； 当，时，，则． 综上可知，当，时，，命题C正确 对于，由“正对数”的定义知，当时，有． 当，时，有， 从而，， 当，时，有，从而， ， 当，时，有，从而， ， 当，时，，， ，，从而， 综上可知，当，，则，即命题D正确． 故选：． 考向二 填空题答题技巧 【方法储备】 1.特例法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程． 2.数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形． 3.构造法 用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的． 【典例精讲】 例2.(2022·新高考1卷)写出与圆和都相切的一条直线的方程          ． 解：方法显然直线的斜率不为，不妨设直线方程为，于是，． 故，，于是或， 再结合解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，，． 填一条即可 方法设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 【变式训练】 练2-1(2022·浙江卷)已知多项式，则          ，           ． 解：设的通项为， 当时，， 当时，，所以 当时，， 当时，，所以． 练2-2(2023·广东省·模拟题)已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为          ． 解：． 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立， 所以恒成立，得 因为， 所以，由可知，． 若函数在区间上单调递减，则在上恒成立， 所以，得，结合可知，． 综上，若函数在区间上单调，则实数的取值范围为或． 所以若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为． 故答案为． 练2-3(2023·辽宁省·模拟题)如图，在所在平面内，分别以，为边向外作正方形和正方形记的内角，，的对边分别为，，，面积为已知，且，则          ． 解：因为，在中有， 所以，由正弦定理得， 由，得，即，则， 由题意得，， 如右图： 在中，， 则 得． 练2-4（2023.福建省·模拟题）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： 曲线关于坐标轴和直线均对称； 曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点； 曲线围成的图形的面积是； 曲线上的任意两点间的距离不超过； 若是曲线上任意一点，则的最小值是． 其中正确的结论序号是          ． 解：由于，则 当时，曲线的方程可化为， 化简得，表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线的方程可化为， 化简得，表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线的方程可化为， 化简得，表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线的方程可化为， 化简得，表示圆心为，半径为的半圆． 作出曲线如图所示：曲线是四个半径为的半圆围成的图形， 由图易知曲线关于坐标轴和直线均对称，故正确； 曲线恰好经过个整点，故错误； 曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线所围成图形的面积为，故错误； 由图可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故错误； 因为到直线的距离为，所以， 当最小时，易知在曲线的第一象限内的图象上， 因为曲线的第一象限内的图象是圆心为，半径为的半圆， 圆心到的距离， 从而，即，故正确． 故答案为：． 练2-5(2022·全国乙卷理科)已知和分别是函数且的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是           解：至少要有两个零点和， 构造函数，对其求导，， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增， 此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点， 则，不符合题意， 若，则在上单调递减，此时若， 则在上单调递增，在上单调递减， 令，则， 此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且， 则需满足，即，， 故，所以． 故答案为． 练2-6(2023·辽宁省沈阳市联考)已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的最小值是           ，的最大值是           ． 解：作函数的图象如下图所示： 由图象可知，要使方程有四个不同的解，则需，故的最小值为； 由二次函数的对称性可知，， 由对数函数的图象及性质可知，， 则，，， 而函数在上为减函数，故其最大值为， 即的最大值是． 故答案为：，． 共10页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $