专题22 主观题答题模板讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕三角函数、数列、立体几何、概率与统计、解析几何、导数六大高考核心考向，按考向构建“方法储备-典例精讲-拓展提升”知识体系，通过考点梳理明确公式运用与步骤规范，典例精讲结合模拟真题示范解题思路，拓展提升设置分层练习，帮助学生系统突破高频难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如三角函数强调公式运用步骤与符号理解，数列通过裂项相消等方法训练推理能力，立体几何结合空间向量建系培养空间观念。分层练习与真题对接保障复习效果，为教师提供系统复习框架，助力把控节奏，提升学生应考能力。

【二轮复习—主观题答题模板】 专题22 主观题答题模板 【方法储备】考向一 三角函数 1.平时复习中需要落实好倍角公式、和差角公式在解三角形中的运用，例如：例题中二倍角公式必须是关于,分母必须是,不能默写公式; 2.诱导公式在化简求值中也是经常用到的一类公式,复习备考中要熟练掌握该公式在解三角形中的运用; 3.重视运算化简过程中的步骤,避免严重跳步,有用到公式的地方一定要体现公式; 4.运用基本不等式时,要写齐不等式取等条件，也要高度培养符号理解能力,日常训练要重视逻辑思考,不饿能将结论当作条件使用. 【典例精讲】 例1.(2025·湖南省长沙市·模拟题)在中，内角，，的对边分别为，，，且满足C. 求 若为边上一点异于端点，，求的取值范围． 解：在中，因为， ， 据正弦定理可得：， 则， ，； 在中，，，所以， 则， 据正弦定理， 则， 又，， 则， 故的取值范围为：  【拓展提升】 练1-1..(2025·江西省九江市·模拟题)在中，角，，所对的边分别为，，． 证明： 若，，成等比数列． (ⅰ)设，求的取值范围 (ⅱ)求的取值范围． 解：， 又， 所以； 因为，，成等比数列，且，于是三角形的三边分别为，，， 则，，， 解得：． (ⅱ)由的结论可知 ， 综上所述，的取值范围是  【方法储备】考向二 数列 1.落实等差、等比数列定义的理解，以及符号语言的理解，避免惯性将题设条件中理解为等差、等比数列，落实符号的正确表示、代数式的正确运算; 2.熟练掌握通项与前项和的关系，能够正确根据前项和的关系推导出通项公式,注意讨论; 3.裂项相消是常规的求和方法,还需熟练掌握错位相减、分组求和、累加法、累乘法等求和方法; 【典例精讲】 例2.(2025·湖南省永州市·模拟题)已知数列满足，，且对任意，都有． 设，求数列的通项公式 设数列的前项和为，求证：． 解：依题意，对任意的，，都有， 故对任意的，，， 所以对任意的，，，即为定值， 所以数列是公差为的等差数列， 据，，得，， 所以，解得，故， 所以． 由可知，， 所以当，， ， 又符合上式， 所以． 所以， 故 ， 因为，， 所以．  【拓展提升】 练2-1.(2025·河南省·月考试卷)记为数列的前项和，为数列的前项积，已知． 证明：数列是等差数列； 求的通项公式． 解：证明：当时，， 由，解得， 当时，，代入， 消去，可得，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列． 由题意，得， 由，可得， 由，可得， 当时，，显然不满足该式， 所以．  【方法储备】考向三 立体几何 1.利用空间向量求解问题注意事项： (1)解题时要建立右手直角坐标系． (2)注意求线面角的公式中，线面角的取值范围是. (3)利用空间向量求二面角要结合图形判断所求角是锐角还是钝角． 2.与空间向量有关的探究性问题主要有两类： 一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断． 【典例精讲】 例3.(2025·云南省昆明市·联考题)如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面． 证明： 若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 解：证明：过点作于， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，故BH， 又为直径，， 又，，平面，平面， 平面， ，且，、平面，， 平面， 平面， ； 解：据知，平面， ， 当且仅当时，达到最大； 过点作于， 以为坐标原点，，所在直线为，轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系， 设平面的法向量为， 则点，，，，， ，， 则 令，可得，， 故平面的一个法向量为， 因为平面的一个法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为 ．  【拓展提升】 练3-1.(2025·湖北省·模拟题)如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点，满足． 证明：平面 若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值． 解：证明：取中点，连接，并设与交于点，连接， 三棱柱中，，， 则，， 所以四边形是平行四边形， 则，从而，得， 从而可得是的中点，而为线段的中点， 所以，， 又，三棱柱中，， 所以 所以四边形是平行四边形，得， 又平面，平面， 所以平面 平面，而，平面， 所以，，又， 则可以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴， 建立图示的空间直角坐标系，则， 从而， 设平面法向量为， 从而，取得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．  【方法储备】考向四 概率与统计 1.随机变量分布列问题的两个关键点： (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率． (2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解． 2.独立性检验的关键 (1)根据列联表准确计算，若列联表没有列出来，要先列出此表． (2)的观测值越大，对应的假设成立的概率越小，不成立的概率越大． 【典例精讲】 例4.(2025·江苏省无锡市·期中考试)已知某商店出售商品，据统计分析，发现顾客对商品的需求量相对稳定，每周内对商品的不同需求量单位：个与概率的数据如下： 对的需求量 概率 若以商品的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品进行盘点存货：如果商品都售出了，则在周末及时采购个新的商品，只要商品还有个存货，就不采购新的商品记为该商店第周开始时商品的供给量，假设． 求的分布列 记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为． (ⅰ)求商品的定常态分布 (ⅱ)从长远来看，求该商店改善经营后商品需求大于供给的概率． 解：由题意得，第周开始时商品不同供给量的概率为， ， 第周开始时商品供给量的概率为： ， ， 第周开始时商品的供给量分布列为 记为商品第周内的的需求量， 由题意，与的状态有关， 当时，若，则 若，则， 设，即，， 由全概率公式可得， ， 由，得，，解得， 故； 由可知，定常态分布， 所以从长远来看，，， 记商品需求大于供给的概率为， 由全概率公式 ．  【拓展提升】 练4-1.(2025·福建省泉州市·模拟题)某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示． 工艺甲 工艺乙 合计 合格 不合格 合计 依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关 在不合格的件样本产品中任选件，求在这件样本产品中至少有件是采用工艺甲生产的条件下，这件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率． 附：， 解：零假设：假设产品的质量与采用的工艺无关， 根据列联表数据，代入公式计算值： ， 对比临界值，时，，由于， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品质量与采用的工艺有关． 设事件 至少有件是采用工艺甲生产事件 恰有一件是采用工艺乙生产， ， ， 因此，．  【方法储备】考向五 解析几何 1.复习解析解析几何时需从四基入手,落实基础知识，基本方法，强调通性通法在解题中的应用; 2.加强对几何问题代数化途径的方法的归纳、总结和训练，形成用解析法解决几何问题的方法体系; 3.加强对解析几何命题规律和命题特点的研究,特别是对往年高考试题的研究,对数学问题的研究有助于帮助我们理清数学问题的本质,从更高的视角去理解问题、解决问题，提高备考效率. 【典例精讲】 例5.(2025·江苏省镇江市·模拟题)抛物线：与：的焦点分别为，，为，的一个交点，且． 求，，的值； ，是上的两点，若四边形按逆时针排列为平行四边形，求此四边形的面积． 解：因为，所以， 则抛物线，经过点，则， 因为，所以， 故A在：上，则， 故：， 综上； 设，， 因为四边形按逆时针排列为平行四边形，则 ，所以， 所以，则 所以， 由题意可知， ，所以， 则，， 设与的夹角为，则， ， 所以四边形的面积为．  【拓展提升】 练5-1.(2025·湖北省武汉市·模拟题)建立如图所示的坐标系矩形中，，，，，分别是矩形四条边的中点，直线，上的动点，满足，，直线与的交点为． 证明点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程 当时，过点的直线与轴不重合与中的椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为点设直线与轴交于点，求面积的最大值． 解：依题意，，，由得：， 当时，直线的方程为， 又，，由得：， 所以，直线的方程为， 由得，由得， 两式相乘得，，整理得． 当时，点， 设，，设直线的方程为：， 由，消去得：， 则，，， 依题意，，直线的方程为：， 令，得点的横坐标为：， 又，则， 因此直线过定点， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的面积最大值为．  【方法储备】考向六 导数 1.利用或化简为同构式构造函数 构造函数是解决复杂不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数的基本运算法则，构造出相应的辅助函数．通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.在导数题中体会构造函数的数学价值. 2.消元是解决多元函数与不等式常见首选方案，将题中多元变量通过消元转化为单变量函数，转而使用函数单调性解题. 3.某些超越不等式不便于求解，可利用指数不等式、对数不等式、三角不等式、基本不等式、常用不等式等进行放缩，构造出相应的便于求解的不等式. 【典例精讲】 例6.(2025·辽宁省大连市·模拟题)已知函数． 当时，讨论的单调性 若，，讨论方程的根的个数． 解：的定义域为， 导函数， 令，解得，， 当时，恒成立， 无递增区间，递减区间为； 当时，，令，得， 令，得， 的递增区间为，递减区间为，； 当时，，令，得， 令，得， 的递增区间为，递减区间为，； 综上所述，当时，无递增区间，递减区间为， 当时，的递增区间为，递减区间为，， 当时，的递增区间为，递减区间为，； 若，，， ， 令，， 在上单调递增， 上式中满足：， ，可得， 令，， 当时，，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，且， 当时，， 则，画出的大致图象如图所示． 综上，当时，该方程有个根；当或时，该方程有个根；当时，该方程有个根．  【拓展提升】 练6-1.(2025·江苏省苏州市·联考题)设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． 判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； 若函数是上的“函数”． (ⅰ)求的取值范围； (ⅱ)证明：，． 解：因为， 所以， 因为，，又， 所以， 则， 所以对于任意恒成立． 故是上的“”函数． ， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． 当时，对一切成立． 当时，恒成立． 设，则， 所以在上单调递减， 可得． 当时，由恒成立． 设，则， 所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． 证明：由(ⅰ)知， 对，． 下面证：，， 即证， 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 共14页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $