专题10 构造法讲义-2026届高三数学二轮复习

【二轮复习—构造法】 专题10 构造法考向一 由条件直接构造 【方法储备】 1.在解决有关不等式、方程及最值之类问题时，联系已知条件和结论，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的性质，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键点也是难点； 2.构造函数时往往从两方面着手： ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”； ②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 【典例精讲】 例1.(2022·新高考Ⅰ卷)设，，，则(    ) A. B. C. D. 解：，，， ， 令则， 故在上单调递减， 可得，即，所以； ， 令则， 令，所以， 所以在上单调递增，可得，即， 所以在上单调递增，可得，即，所以． 故． 【拓展提升】 练1-1（2021·全国乙卷）设，，，则(    ) A. B. C. D. 解：，， ， 令，， 令，则，， ， ，， 在上单调递增， ， ，即，， 取，则，即， 同理令，， 再令，则，， ， ，， 在上单调递减， ， ，即， 同样的，取，则，即， ． 故选：． 练1-2(2022·全国甲卷)已知，则(    ) A. B. C. D. 解：因为，因为当 所以，即，所以； 设， ，所以在单调递增， 则，所以， 所以，所以， 故选A. 练1-3(2024·福建省月考)如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，使得，，，重合于一点，记为，得到四棱锥当底面的边长变化时，四棱锥的体积的最大值为(    ) A. B. C. D. 解：如图，取的中点，连接，，， 设正方形的边长为，则，， 所以， 所以四棱锥的体积 ． 设，得． 令，得，令，得， 故在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，即体积取得最大值，为． 故选D． 【方法储备】考向二 找原函数构造 导数问题中已知某个含的不等式，可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．常用构造形式有、，这类形式是对，型导数的推广及应用，当导函数形式出现的是“”时，优先考虑构造型，当导函数形式出现的是“”时，优先考虑构造型. 几种导数的常见构造： 1．对于，构造 若遇到，构造 2．对于，构造 3．对于，构造 4．对于，构造 5．对于，构造 6．对于，构造 拓展：1. 对于，构造 2. 对于，构造 3. 对于，构造 4. 对于，构造 【典例精讲】 例2.(2025·湖北省十堰市·月考试卷)已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 解：设，， 因为， 则，所以在上单调递减， 则，即，即，故A错误； ，即，即，故B正确； ，即，即，但与大小关系不确定，故错误，错误． 故本题选． 【拓展提升】 练2-1(2024·四川省·月考试卷)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是          ． 解：因为 为奇函数， ， 所以  ， 当时， ；当时，令， 则为偶函数，， 则当时，， 故在上为减函数，在上为增函数． 所以在上，当时，由，得，所以 ； 在上，当时，由，得，所以 ． 综上知，使得 成立的的取值范围是． 故答案为． 练2-2(2024·浙江省联考)（多选）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则(    ) A. B. C. D. 解：设函数，，则， 因为恒成立，所以，所以在上单调递减， 所以，即， 则必有，，，， 故AD正确，BC错误． 故选AD． 练2-3(2025·江苏省月考)定义在上的函数满足，且，则( ) A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 解：由 ，可知， 设函数，则，则，为常数， 所以 ，又， 则，，， 设，， 当时，，当时，， 则在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为，即， 所以在上单调递增，既无极大值又无极小值． 故选：． 【方法储备】考向三 “同构法”构造 1.同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式.同构式需要构造一个母函数，即外函数，用表示，这个母函数需要满足:①指对跨阶，②单调性和最值易求. 常见的同构形函数：（1）与（2）与, 常见的同构变形：（1）（2） （3） 注意：同构后的整体变量范围. 2.在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程. 3.在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解. 【典例精讲】 例3.(2025·江苏省模拟)若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为          ． 解：，即， 令，则． 设，其中， 则，令，得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，又， 所以存在，使得， 所以若，则或，即或恒成立， 当，故不可能， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得，所以正实数的最大值为． 故答案为：. 【拓展提升】 练3-1(2024·河北省月考)若，则(    ) A. B. C. D. 解：设，则在上为增函数， 因为， 所以， 所以，所以． ， 当时，，此时，则有 当时，，此时，则有，所以、D错误，故选B． 练3-2( 2024·安徽省联考)对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”类比上述解题思路，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 解：由不等式，得． 设函数，则，所以在上单调递增． 因为，所以解得或． 所以不等式的解集是． 故选A． 练3-3(2025·江苏省南京市月考)已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为          ． 解：由题意可得， 对任意的实数恒成立， 设，则． 当时，，在上单调递增， 当时，， 不满足在上恒成立 当时，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以， 所以，故． 构造， 则． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以， 即的最大值为． 故答案为：． 共8页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $