专题11 换元法讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦换元法专题，涵盖整体换元、三角换元、比值换元三大高考核心考向，关联函数、导数、圆锥曲线等高频考点。通过方法储备梳理考点本质，典例精讲构建解题模型，拓展提升强化真题训练，形成“考点-方法-应用”的系统复习链条，助力学生突破抽象转化难点。 资料以高考真题为载体设计分层教学，创新采用“问题情境-换元建模-函数分析”教学路径。例如三角换元法中用三角函数表示椭圆上的点，培养数学思维与抽象能力，高效提升学生复杂问题转化能力，为教师把控复习节奏提供精准教学指导。

【二轮复习—换元法】 专题11 换元法 考向一 整体换元法 【方法储备】 对一个数学问题,如果直接求解有困难,或不易下手,或由问题的条件难以直接得出结论时,常将一个或几个式子分别看成整体,用一个或几个新“元”代换它们,使得以新元为基础的问题求解比较简易,解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果. 【典例精讲】 例1(2025·江苏省月考·多选)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点现新定义：若满足，则称为的次不动点设函数，若在区间上存在次不动点，则的取值可以是(    ) A. B. C. D. 解：根据题意，若在区间上存在次不动点， 则在区间上有解， 即， 即有解， 令，，则， 令函数，且单调递增， 当时，，所以在上单调递增， ，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 所以． 又，， 所以， 所以当时， 故， 则． 故选：． 【拓展提升】 练1-1(2025·广东省月考)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则曲线在处的曲率为          正弦曲线曲率的平方的最大值为          ． 解：由题意得，，则，则， 由题意得，，，， 令，则， 令，则，显然当时，，单调递减， 所以，的最大值为． 故答案为：；． 练1-2(2025·江苏省月考)已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是          ． 解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点， 则，，解得，． 在中，根据余弦定理可得， 整理得，即，设，， 则有，， 所以，即有， 所以，所以， 设，则，且， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以． 故答案为 练1-3(2024·江西省月考）已知定义在上的函数，若，，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：， 令，则，所以在上单调递增， 则，，，显然，即在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，，所以， 即，，而在上的最大值为， 因为，所以当且仅当时，，即 故， 所以实数的取值范围为． 故选 B． 【方法储备】考向二 三角换元法 圆锥曲线有一个特点，就是曲线上的点不易于直接表达（抛物线除外），例如椭圆，为了表示椭圆上一点，需要引入两个参数，此时会涉及到两个麻烦事：①开根号，②定符号，这样一来，会给后面的处理带来很多麻烦，而三角函数的出现正好弥补了这样的问题，因为三角函数本身就有降次和升次的功能，利用三角恒等式,可以自然类比到椭圆中,那么椭圆上的点就可以表达成，此时只含有一个参数，成功实现了减元、去根号和定符号的效果。 【典例精讲】 例2.(2024·辽宁省期末)已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 解：不妨设点为第一象限的交点，则 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 所以， 因此，即， 所以，即，令 因此，其中， 所以当时，有最大值，最大值为， 故选：． 【拓展提升】 练2-1(2024·福建省·模拟题)在平面直角坐标系中，已知，、是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是          ． 解：圆：的圆心，半径为， 如图，作所在直径，交于点， 因为，，所以，为垂径， 要使面积最大，则，位于的两侧， 并设，可得， 故，， 可令， ，， 设函数，， ， 由， 解得舍去， 显然，当，，递减； 当时，，递增， 结合在递减， 故时，最大，此时， 故， 则面积的最大值为． 故答案为：． 练2-2(2025·江苏省月考)“三角换元思想”是三角函数中的基本思想运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题譬如：已知，求的最大值我们令，，则这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题已知是曲线上的点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 解：设， 由， 可得， 则， 设，则， 所以，令，则， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增，所以当时取最大值， 最大值为，所以的最大值为． 故选：． 考向三 比值换元法 【方法储备】 对于多元函数,我们称为双变量，一般来说，我们无法对其进行求导，可以采用“先转换后构造”的解题策略：同除变形令,构造函数,将含二元变量的不等式转化为一元变量的函数，以导数为工具证明. 【典例精讲】 例3.(2025·广西省模拟)已知函数是定义在上的奇函数，当时，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：因为时，，则在上单调递增， 所以时，恒成立， 又是定义在上的奇函数，，所以是上的增函数， 不等式，对任意的恒成立， 即，， 又，所以， 令，设， 令，则， 在上恒成立，所以函数在上单调递减， 在时有所以， 即实数的取值范围为．故选：． 【拓展提升】 练3-1(2024·海南省期末)若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为          ． 解：由，，为正数， ， 令，，则，则， 令，，所以在上单调递减， 又因为， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以，且， 所以的取值范围为 故答案为 练3-2(2024·河北省月考)若对任意正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为          ． 解：不等式对、恒成立， 可得， 可设，可得， ， 由和在时单调递减，可得在时单调递减， 则，当时，，递减； 时，，递增， 可得在处取得极大值，且为最大值， 则，即，解得， 故答案为：． 练3-3(2024·广东省广州市·期中考试)已知 的内角，，的对边分别为，角是直角，则的取值范围是          ． 解：法一：  ， 则有：当  时，则  ，令  ， 则  ，   ， 当且仅当  ，即  时，等号成立，   ， 故  ； 当  时，  ； 当  时，则  ， 令  ，可得  ， 则   ， 令， 易得在  上单调递减，且恒有， 则关于的函数 在  上单调递增， 所以  ，即  ； 综上所述：  ，即  的取值范围是  ． 法二：角是直角，则  ，， 可得   ，   ，则  ，可得  ，   ． 故答案为：  ． 共8页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $