专题12 分离法讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦分离法专题，覆盖不等式恒成立、有解及函数零点、方程根等高考高频考点，按考向梳理方法步骤与转化策略，通过考点解析、方法指导、真题精讲与拓展提升环节，帮助学生构建解题框架，突破参数讨论难点。 资料以“方法储备—典例精讲—分层训练”为主线，创新采用分离参数法简化问题，如例1将函数单调递增转化为导数恒成立问题，分离参数后求最值培养数学思维。设置不同考向真题与变式练习，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用支撑。

【二轮复习—分离法】 专题12 分离法 【方法储备】考向一 解决不等式恒成立或有解问题 1.利用分离参数法来确定不等式恒成立或有解问题中参数的取值范围，有如下三个步骤： 第一步：参数与变量分离，化为或； 第二步：求或，； 第三步：解或(). 2.分离参数法可以避免对参数范围的讨论，简化解题过程，但需注意两点： ①函数是否可以分离参数， ②如果变性后得到的函数形式太复杂，则不宜采用参变分离法。 3.常见单变量不等式问题的最值转化： （1）,则恒成立; （2）,则恒成立; （3）,则恒成立; （4）,则恒成立; （5）,则恒成立.令,即可转化为,则恒成立，则. 特别说明:，恒成立不可以转化为：. 理由:和自变量都是,自变量一样是一个函数的问题,不能分为两个函数理解. 4.常见双变量不等式问题的最值转化： （1）,,; （2）,,; （3）,; （4）,; （5）,,的值域是的值域的子集. （6）,,的值域与的值域的交集不是空集. 【典例精讲】 例1.(2025·河北省·月考试卷)已知函数在区间单调递增，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 解：由题意，对恒成立， 对恒成立， 令，则， 当时，， 则在单调递减， 当时 ，， 则的最小值为．故选： 【拓展提升】 练1-1.(2024·福建省·单元测试)设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 解：因为实数， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式， 即， 设，则； 当时，，单调递增， 故不等式等价于， 即； 设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故，所以， 综上所述，的最小值为． 故选A． 练1-2(2024·江苏省模拟)已知数列的前项和为，且，，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是          ． 解：因为，故， 两式相减得：， 即，又因为，所以，又， 故数列是为首项，为公差的等差数列，所以 由不等式对任意的恒成立， 故，对任意的恒成立，即， 当为奇数时，得对任意的恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立．故，解得 当为偶数时，得，对任意的恒成立， 令，当时，取最小值，故， 综上的取值范围是． 考向二 解决函数零点、方程根的问题 【方法储备】 利用导数解决函数零点、方程根的问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质做出图像，然后将问题转化为函数图像与坐标轴的交点问题， （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图像的交点问题 （3）分离参数法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图像的交点问题. 【典例精讲】 例2.( 2025·吉林省期中)已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：由已知条件可得在上至少有一个解， 即方程在上至少有一个解， 设，  求导得：，  ， 令，解得或， 当时，，函数单调递增，  当时，，函数单调递减，  在有唯一的极值点，  ，，的极大值为， 且知， 方程在上至少有一个解等价于， 的取值范围为． 故选D． 【拓展提升】 练2-1.(2024·江苏省·模拟题)若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为 (    ) A. B. C. D. 解：函数定义域为， 令可得， 令，， 则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值，， 又，， ， 有两解， ． 故选C． 练2-2(2024·广东省月考)已知 讨论的单调区间； ，若曲线和在上有且仅有两个交点，求的取值范围． 解：函数的定义域为：， ，令，即，则 当时，即， 此时恒成立，则函数在上单调递增； 当时，即 的两个根为，且 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 当时，即 的两个根为，且 此时恒成立，则函数在上单调递增； 综上：当时，的增区间为和，减区间为； 当时，的增区间为． (2) 由题可知在上有两个根，则， 即在上有两个根， 设，，， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以时，，在上单调递减，时，，在上单调递增， 又，，，则， 所以． 共6页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $