专题13 配凑法讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦高考配凑法专题，涵盖利用配凑法解决最值问题、化简求值、构造数列三大核心考点，按考向梳理方法策略、精讲真题典例、设置分层练习。通过考点解析明确“一正二定三相等”等关键要点，结合答题思路指导（如配系数、拆添项），帮助学生构建系统解题框架，突破高考高频难点。 资料以“方法储备—典例突破—拓展提升”三步教学法为特色，注重培养学生数学思维与模型观念。例如在构造数列考向中，引导学生通过配凑将递推公式转化为等差或等比数列模型，提升推理能力。设置基础到综合的梯度练习（如练1-1基础最值到练3-2数列证明），配合真题情境训练，助力学生高效掌握解题技巧，为教师精准把握复习重点提供实用教学资源。

【二轮复习—配凑法】 专题13 配凑法 【方法储备】考向一 解决最值问题 用基本不等式求最值时需要注意三个条件：一正、二定、三相等，“一正”不满足时，需提负号或分类讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性. 答题思路1：“配系数”使和式为定值 系数配凑法大多用于形如的积的形式，通过系数配凑，使,且与之和为定值（或满足已知条件），可利用基本不等式解决. 答题思路2：“配项”使积式为定值 （1）拆项配凑法大多用于形如的和的形式，通过拆项，使,若相应项的平方和或积为定值（或满足已知条件），可利用基本不等式解决; （2）添项配凑大多用于形如的形式，若为定值，通过添加项，使,最后利用基本不等式即可; （3）有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑拆项，变为和的形式，然后配凑定积. 【典例精讲】 例1.(2025·全国·联考题)已知，为正实数，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 解：，为正实数， ，， 又， ， 当且仅当，即，时，时取等号， 则当，时，取得最小值． 故选：． 【拓展提升】 练1-1(2024·天津市·月考试卷)已知实数，当取得最小值时，则的值为          ． 解：根据题意可得，  ， 因  ，所以  ，  ， 所以  即  ， 当且仅当  时等号成立， 此时  ，解得  ，则  ． 故答案为：  . 练1-2.(2024·天津市·期末考试)已知，，且，则的最小值为          ． 解：因为，，且， 则 ， 当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值． 故答案为：． 练1-3.(2024·山东省济宁市·模拟题)已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值是          ． 解：函数且的图象过定点， 因为点在直线上， 所以，所以， 由，得， 则 ， 令，则，则， 则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 所以的最小值是． 故答案为． 【方法储备】考向二 解决化简求值问题 配凑法解决化简求值问题的常用策略： 1. 把结论变形，凑出题设形式，以方便利用已知条件 2. 把题设变形，凑出结论形式，以从中推出结论 3. 把题设先变形，再把结论变形，凑出变形后的题设形式 【典例精讲】 例2.(2025·江苏省·联考)已知，，且、． 求的值； 求的值． 解：原式 且， ， 则， ， ， ，， ，， ， 又，， ．  【拓展提升】 练2-1(2024·陕西省·联考)          ． 解： ． 故答案为． 练2-2(2024·湖北省·月考)已知，，则的值等于(    ) A. B. C. D. 解：，，则， ， ， 则， 故选C． 练2-3(2024·湖北省·联考)若，则(    ) A. B. C. D. 解：， 展开式中含的项为：， 故系数． 故选D． 【方法储备】考向三 构造数列 应用配凑法构造数列的常见类型： 1.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求. 2.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求. 3.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等差数列，先求出新数列的通项，进而可求. 4.对于形如的数列，配凑成的形式，令，即，再配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求. 注意： 1.等都是常数,但是注意不能为1,为1的时候就会变为等差数列或者累加法求解; 2.待定系数法求出之后, 为了避免出错, 尽量把以什么为首项, 什么为公差或公比写出来; 3.还有一些不常见的构造数列, 碰到的话要大胆猜测,仔细验证. 【典例精讲】 例3.(2025·河北省·模拟)在正项无穷数列中，若，则是，，成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：因为，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以充分性成立； 因为， 所以， 因为，，，所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，即，所以必要性成立． 故选：． 【拓展提升】 练3-1(2024·福建省·模拟)（多选）已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 解：，， 因为，所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，故选项A正确； ， ， ，， 所以是首项为，公比为的等比数列， ，故选项B正确； ，所以，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：． 练3-2(2024·山东省·联考)已知数列满足，，． 证明：为等差数列；    求数列的前项和． 解：证明：， ，． 是首项为，公差为的等差数列； 解：由可得， ，， 令，其前项和为， 则， ， 两式相减得， ． ．  共7页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $