专题16 取对数法讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦取对数法这一高考高频技巧，围绕解指数方程、构造数列、解复杂不等式三大核心考向，构建“方法储备-典例精讲-拓展提升”的递进式知识体系。通过考点梳理明确应用原则，方法指导拆解转化逻辑，真题训练强化解题策略，帮助学生系统突破指数、对数、数列综合问题的难点。 资料特色在于将数学眼光与数学思维深度融入教学，如通过酒驾酒精含量衰减问题培养用数学观察现实世界的意识，在数列递推构造中引导学生用对数转化递推式为等比数列，发展逻辑推理能力。设置分层练习适配不同难度真题，配合即时方法总结，确保有限时间内高效提升转化与建模能力，为教师精准把控复习节奏、学生突破高考难点提供有力支持。

【二轮复习—取对数法】 专题16 取对数法 【方法储备】考向一 解指数方程 1.等式两边取对数的原则：当等式一边出现指数的时候，等式两边可以同时取对数.取对数运算可将乘法运算或除法降格为加法或减法运算，也可以将根式、幂函数、指数函数转化为乘除运算，一般在采取这一策略之后会让解题更加简单方便. 注意：等式两边必须都是正数时，才能同时取对数. 2.常见的四种指数方程的一般解法： （1）方程的解法（对数运算法则）： （2）方程的解法（指数运算法则）： （3）方程的解法（取对数法）： 方程两边同时取对数： （4）方程的解法（换元法）： 令,注意新变量范围，将原方程化为关于的方程，即可求解. 【典例精讲】 例1.(2024·辽宁省·模拟题)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式若关于的方程和关于的方程可化为同构方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 解：对两边取自然对数，得， 对两边取自然对数，得， 即， 因为方程为两个同构方程，所以，解得：， 设，，则，所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个，所以， 所以． 故选A． 【拓展提升】 练1-1(2024·湖北省·月考试卷)对任意的，不等式恒成立，则的范围为          ． 解：由题意得 设，则， 设，则在区间上单调递增， ， 在区间上有且仅有个零点， 设为的零点，即，即， 当时，，故在区间上单调递减； 当时，，故在区间上单调递增， 当且仅当时等号成立， ． 练1-2(2025·江苏省模拟)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(    )参考数据：，， A. B. C. D. 解：设经过 个小时才能驾驶，则  ， 即  ， 由于  在定义域上单调递减，   ， 他至少经过小时才能驾驶． 故选：． 考向二 构造数列 【方法储备】 递推关系式如的通项公式求法： ①若，则等式两边取常用对数或自然对数，化为， 得到首项为，公比为的等比数列，所以. ②若，则等式两边取以为对数，化为，然后采用构造法构造新的等比数列求解. 【典例精讲】 例2.(2024·湖南省·联考题)已知数列，，则(    ) A. B. C. D. 解：由可得，， 根据递推公式可得出，，，进而可知，对任意的，， 在等式两边取对数可得， 令，则，可得，则， 所以，数列是等比数列，且首项为，公比为， ， 即   故选B． 【拓展提升】 练2-1 (2024·江苏省扬州市·模拟题)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． 证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； 设，，定义且记，求数列的前项和． 解：点在函数的图象上，， ，是“平方递推数列”． 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以为首项，为公比的等比数列． 由知， 由数列、的通项公式得， 当时，当时，． 又由，得 当且时， 当且时， ， 综上，  练2-2(2025·江西省联考)已知数列满足． 若为递增数列，求的取值范围； 当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积． 解：由题设，即，恒成立， 而在上单调递减，则， 所以， 即的取值范围为； 证明：当时，，又，则，则，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，则， 所以 ． 考向三 解复杂不等式 【方法储备】 1.用取对数法可以使要证明的不等式转化为另一个易证明的等价不等式，从而达到所要证明不等式的目的. 2.解不等式两边取对数需满足的条件： （1）首先等式两边都得大于零， （2）如果对数底数小于1,则不等号方向变化， （3）如果对数的底数大于1,则不等号方向不变. 【典例精讲】 例3.(2025·贵州省联考)已知，则(    ) A. B. C. D. 解：对于选项，当时，，因为，所以选项A错误； 对于选项，，由， 得， 令，则，， 当时，， 即，得，，得，则函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，当时，， 如图，因为，由，得，即， 所以，选项C正确； 对于选项，由知，则即，所以选项B错误； 对于选项，因为， 所以，得，选项D错误． 故选：． 【拓展提升】 练3-1(2024·福建省·月考试卷)（多选）已知实数，满足：且，则(    ) A. B. C. D. 解：方法一：，则，在单调递增， ，，即，对． 当，时，，，此时，错． 又，，，，对． 令， 令， 故在单调递减， ，，在单调递减， ，， ，对． 方法二：， 由在上单调递增 ，A正确 对于，例如取，，知，错． 对于，，而，，C正确． 对于， 令， 在单调递减， ，D正确． 练3-2(2024·广东省·月考试卷)已知函数为自然对数的底数，当时，函数在点处的切线方程为          若对恒成立，则实数的最大值为          ． 解：由题意当时，，， 则，， 所以函数在点处的切线方程为． 因为，，即， 则，令，， 故在上恒成立， 故在上单调递减，故， 两边取对数得，即， 记，则， 当时，，当时，， 故函数在单调递减，在单调递增， 故的最小值是，故， 即实数的最大值是． 共7页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $