专题15 放缩法讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦高考放缩法核心考点，涵盖裂项放缩、已证结论放缩、常用不等式放缩三大考向，按“方法储备—典例精讲—拓展提升”逻辑架构知识，通过考点梳理、技巧总结、真题训练（含2025年各省模拟题）帮助学生构建放缩法解题体系，突破数列与函数不等式证明难点。 资料以分层教学和核心素养培养为特色，如裂项放缩中引导学生用数学眼光观察通项结构，提炼放缩技巧，已证结论放缩环节通过分步推理培养数学思维的逻辑严谨性，典例与拓展题梯度设计保障复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

【二轮复习—放缩法】 专题15 放缩法 【方法储备】考向一 裂项放缩 1：裂项放缩策略：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩； 2：常见裂项放缩技巧： ①或 ② ③； ④ ⑤ ⑥ ⑦ 【典例精讲】 例1.(2025·湖南省·期中)已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． 求数列的通项公式 将数列与的所有项从小到大排列得到数列证明：． 解：设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； 证明：由知，，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以当时，； 当时，． 综上即证．  【拓展提升】 练1-1(2024·山东省·单元测试)各项均为正数的数列，其前项和记为，且满足对，都有． 求数列的通项公式； 设，证明：． 解：由已知：对于  ，   ，   ， 两式相减得：，   ，又数列  各项均为正数，   ， 当时， ，因为  ，得  ， 数列  是首项为，公差为的等差数列， 故  ； 当时，，成立； 当时，，成立； 当 时，  ， 故   ， 综上可知，  ． 练1-2(2024·江苏省月考)已知各项均为正数的数列的前项和为，，． 求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 若表示不超过的最大整数，如，，求的值． 解：证明：因为， 所以当时，， 所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以当时，． 又满足上式，所以的通项公式为． 解：因为，所以． 又当时，， 所以， 当时，，所以对任意的，都有， 又，所以， 所以．  考向二 利用已证结论放缩利用已证结论放缩 【方法储备】 1.函数中证明与有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立. 2.先放缩后求和型证明数列不等式：通过放缩将数列变为“可求和数列”，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见；放缩时，要注意从第几项适用，若不从第一项放缩，求和要分情况讨论，且放缩方式不唯一，放缩幅度大了，需调整. 【典例精讲】 例2.(2025·广东省·单元测试)已知函数，． 讨论的单调性； 证明：当时，． 解：， 当在上恒成立，故在上单调递增； 当时，令得； 令得， 故在上单调递增，在上单调递减； 证明：由知，当时， ， 所以， 令， 则， 令， 则， 因为，所以，所以在上单调递增； 又，所以，所以在上单调递减； 因为，所以， 所以， 即当时，． 【拓展提升】 练2-1(2024·陕西省·模拟题)已知函数． 讨论的单调性； 当时，证明： ； 证明：． 解：，令， 时，，在上单调递增； 时，时，，单调递增；时，，单调递减． ，时，，单调递减；时，，单调递增． 综上，时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增． 时，，所以， 令，则， 时，，单调递增；时， ，单调递减．， 即，即． 时，，． 由知，即令，得，即， 所以， ． ．  练2-2(2024·福建省期中)已知函数在处的切线方程为． 求函数的解析式． 若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 求证：． 解：，． 又已知函数在处的切线为，即切点为， ，解之得，， 函数的解析式为． ， “不等式在区间上恒成立”等价于“不等式在区间上恒成立”， 令，， 令，解得；令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减，故， 实数的取值范围为． 由知，， ， ， ， ， ．  【方法储备】考向三 常用不等式放缩 常用不等式放缩有： （1）三角函数放缩：①；②；③ （2）指数放缩：①；②（为函数图象的两条切线）；③；④ （3）对数放缩：①；②；③；（为函数图象的两条切线） （4） 指对放缩：， （5） 若，则； （6）已知不等结论或性质：，基本不等式，二项式定理. 注意：常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简单化.但不等式，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意. 【典例精讲】 例3.(2025·山东省联考)已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列． 求； 设是数列的前项和，求； 设，是的前项的积，求证：． 解：由题意得，即，即得， 则，则等比数列的公比， 又，故； 由得 则 ； 证明：由题意知， 则， 故， 欲证，即证， 即证， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，故， 故， 即， 故． 【拓展提升】 练3-1(2024·辽宁省模拟)已知函数． 若在区间上单调递增，求实数的取值范围； 设直线与函数交于，直线的斜率为，证明：． 解：                         因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立                         若在上恒成立，则恒成立，所以                         设． 因为直线与函数交于， 此时不妨设．则有              对函数，其在处的切线方程为， 所以恒有．令，则有，即有， 所以， 即有， 所以           练3-2(2024·河北省·模拟题)已知函数． 若，求的取值范围； 当时，记函数的两个零点为，，求证：． 解：易知的定义域为，由得． 令，则， 令，解得，或． 所以当时，，单调递减 当时，，单调递增 当时，，单调递减． 易知当时，，所以， 所以的取值范围是：． 证明：当时，，则． 令，解得或． 所以当时，，单调递减 当时，，单调递增 当时，，单调递减． 易知当时，函数， 且当时，，其图象与轴交于点， 函数的两个零点，必在之间，不妨设． 由分析可知，不等式可通过切线放缩的方法证明，不妨在函数上取，， 所以需要证明当时，函数在，处的切线均在函数图象的下方． 易求函数在，处的切线方程分别为和， 所以证明当时，不等式和成立． 先证明当时，成立， 即证令， 则， 令，则 令，则． 所以在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，所以， 所以． 即当时，成立． 再证明当时，成立． 令． 令，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，，此时， 所以， 所以当时，成立． 通过分析，可画出的大致图象，如图所示： 易得直线和的零点分别为，， 则由图象可得．  共10页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $