精品解析：吉林省长春市南关区2025-2026学年九年级上学期12月七科联赛数学试卷

2025—2026学年度上学期九年级质量调研题数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数．据此判断即可． 【详解】解：A．，含能开得尽方的因数16，故不是最简二次根式； B．的被开方数6不含平方因数且无分母，故是最简二次根式； C．的分母中含有根式，故不是最简二次根式； D．的开方数含有分母，故不是最简二次根式， 故选：B． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或， 即，， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的运算法则运算即可解答． 【详解】解：A. ，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算正确，故符合题意； D. ，选项计算错误，故不符合题意； 故选：C． 4. 某班级有18位女同学和22位男同学，班上每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀．若老师随机从盒中抽出1张纸条，则抽到男同学名字的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率计算，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是关键； 根据概率公式，抽到男同学名字的概率等于男同学人数除以总人数． 【详解】解：∵总人数， 男同学人数， ∴ 概率， 故选：D． 5. 如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，理解题意是关键；由题意得米，，由正弦函数关系式即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：B． 6. 如图，在中，，点D、E、F分别为的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，掌握这两个知识点是关键；由三角形中位线定理得，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵E、F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； ∵点D为的中点，， ∴是斜边上的中线， ∴， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，与是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上，若，点A的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，以及，得出与位似比为，再结合点A的坐标为，点D在第一象限，进而求出点D的坐标． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ， ∵ ∴ ∴与位似比为， 点A的坐标为，点D在第一象限， 点D的坐标是，即， 故选：C 8. 若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 化简：_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：． 10. 计算：sin30°＋tan45°＝_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：sin30°＋tan45°＝ 【点睛】此题主要考查学生对特殊角的三角函数值的记忆30°、45°、60°角的各个三角函数值,必须正确、熟练地进行记忆． 11. 二次根式有意义的条件是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x-2≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数． 12. 若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式． 根据方程没有实数根的条件，判别式小于零，列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：方程可化为， 其中，，， ． 由于方程没有实数根，故，即， 所以． 故答案为． 13. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，再代入各个线段的长计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 14. 如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连结、，与交于点F． 给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 由正方形的性质得，，则，由等边三角形的性质得，，则，，所以，可判断①正确；可求得，而，则，即可证明，可判断②正确；作于点，则，设，则，，进而求得，由相似三角形的性质得，可判断③正确；求得，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， ，故①正确； ，且， ， ， ， ， ， ，故②正确； 作于点，则， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ，故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，． 17. 第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点．如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，正确列表或画出树状图法是解题的关键；先列表，即可得到所有事件的总数及抽出的两张卡片图案不同的总数，由概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 A B C A B C 由表知，所有等可能的结果为9种，其中抽出的两张卡片图案不同的可能结果有6种， 所以抽出的两张卡片图案不同的概率为：． 答：抽出的两张卡片图案不同的概率为． 18. 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】当时，这个代数式的值最小，最小值为 【解析】 【分析】本题考查的是配方法的应用，利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数， 当时，这个代数式的值最小，最小值为． 19. 如图，为了测量旗杆的高度，在距离旗杆底部11米的A处，用高1.50米的测角仪测得旗杆顶端C的仰角．求旗杆的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，） 【答案】14.2米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，仰角俯角问题的三角函数的应用；过点D作于点E，则得四边形是矩形，得的长，在中，由正切函数可得的长，进而借助即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 则， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，有（米）， 故（米）， 答：旗杆的高度为14.2米． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一点D，使； （2）在图②中的边上找一点E，使； （3）在图③中的边上找一点F，连结CF，使． 【答案】（1） 连结格点N与点C，交于点D，则点D为所求作； （2） 连结格点P与点C，交于点E，则点E为所求作； （3） 点F满足条件． 【解析】 【分析】（1）连结格点N与点C，交于点D，则点D为所求作； （2）连结格点P与点C，交于点E，则点E为所求作； （3）连结格点M与点C，交于点F，则点F为所求作； 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴对角线相互平分， ∴； 即点D满足条件； 【小问2详解】 由勾股定理， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点E满足条件； 【小问3详解】 解：连结格点M与点C，交于点F，则点F为所求作； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是作图的基础． 21. 为了倡导全民阅读，某校决定在双休日向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月共有1000人进馆，第三个月共有1440人进馆． （1）求进馆人数的月平均增长率； （2）已知该校图书馆每月能接纳人数不超过1750人，在进馆人数的月平均增长率不变的条件下，该校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数？请说明理由． 【答案】（1） （2）能接纳 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设进馆人数的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据第四个月的进馆人数第三个月的进馆人次数增长率，可求出第四个月的进馆人数，再与1750进行比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设进馆人数的月平均增长率是x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：进馆人数的月平均增长率是； 【小问2详解】 解：该校图书馆能接纳第四个月的进馆人数，理由如下： （人）， ， ∴该校图书馆能接纳第四个月的进馆人数． 22. 【问题提出】 如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】 如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程： 解：分别延长、交于点M． 四边形是平行四边形，． ，，． ， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程． 【问题拓展】 （1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为________．（用含m、n的代数式表示） 【答案】 如图，分别延长、交于点M， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ． （1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是通过构造平行线或延长线段，利用相似三角形的对应边成比例来转化线段关系． （问题解决）延长、交于，利用平行四边形性质得，得；结合是中点及，得，计算得结果． 问题拓展（1）同“问题解决”方法，设，用表示，通过比例关系，得． 问题拓展（2）作，构造平行四边形，利用，通过线段比例转化，得． 【详解】（问题解决）略 (问题拓展) （1）如图，分别延长、交于点M， 四边形是平行四边形， ， 设，则， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为． （2）如图，过D作，交延长线于点，交延长线于点L， ，， 四边形是平行四边形， ，， 设，， ，， ，， ， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为． 23. 定义：对于一元二次方程，如果a、b、c满足，那么该一元二次方程称为“零点方程”． （1）下列一元二次方程是“零点方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）求证：当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； （3）若某“零点方程”的一个根为，则这个方程可以是________． （4）关于x的方程是“零点方程”，且是这个方程的一个根，求p的值． 【答案】（1）①③ （2） 证明：一元二次方程是“零点方程”， ， ， ， ， ， 当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； （3）（答案不唯一） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和新定义，关键是掌握新定义的应用． （1）根据“零点方程”定义判断即可； （2）根据“零点方程”定义和判别式△证明即可； （3）根据方程的根为和，构造方程即可； （4）根据“零点方程”定义和解方程即可． 【小问1详解】 解：根据“零点方程”定义可知，是“零点方程”的一个根， 当时，①，是“零点方程”； ②，不是“零点方程”； ③，是“零点方程”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：“零点方程”的一个根为，另一个根为1， ∴这个方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：关于的方程是“零点方程”， ， ， 是方程的一个根， ， ， ， 解得或． 24. 如图，在中，，过点A作于点D，，．点P为边上一动点，连结，以为边作直角三角形，使，且，点Q与点B在直线的两侧． （1）求证：； （2）当时，的长为________； （3）当点Q落在边上时，求的长； （4）连结，当所在直线将的面积分成两部分时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，, ∴， ∵，且， 即， ∴， ∵， ∴； （2）3 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用对应边成比例且夹角相等即可证明； （2）证明，得，求得，即可求得； （3）由，得，进而有，，在中利用勾股定理建立方程求得的长，即可求解； （4）分两种情况：及，证明即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：3． 【小问3详解】 解：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设直线交于点E， ①当点P在点D的左边时，若，如图，则， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时点P与点D重合，点Q在上，的面积为0，不符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当点P在点D的右边，且，如图，则， 设，则， ∴，， 同理得，且， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：或， 由于，不符合题意， ∴， ∴， ∴； 综上，为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理及解一元二次方程等知识，注意分类讨论，利用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级质量调研题数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某班级有18位女同学和22位男同学，班上每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀．若老师随机从盒中抽出1张纸条，则抽到男同学名字的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在中，，点D、E、F分别为的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，与是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上，若，点A的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 化简：_______． 10. 计算：sin30°＋tan45°＝_____． 11. 二次根式有意义的条件是__________． 12. 若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是________． 13. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为________． 14. 如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连结、，与交于点F． 给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点．如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率． 18. 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 19. 如图，为了测量旗杆的高度，在距离旗杆底部11米的A处，用高1.50米的测角仪测得旗杆顶端C的仰角．求旗杆的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，） 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一点D，使； （2）在图②中的边上找一点E，使； （3）在图③中的边上找一点F，连结CF，使． 21. 为了倡导全民阅读，某校决定在双休日向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月共有1000人进馆，第三个月共有1440人进馆． （1）求进馆人数的月平均增长率； （2）已知该校图书馆每月能接纳人数不超过1750人，在进馆人数的月平均增长率不变的条件下，该校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数？请说明理由． 22. 【问题提出】 如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】 如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程： 解：分别延长、交于点M． 四边形是平行四边形，． ，，． ， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程． 【问题拓展】 （1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为________．（用含m、n的代数式表示） 23. 定义：对于一元二次方程，如果a、b、c满足，那么该一元二次方程称为“零点方程”． （1）下列一元二次方程是“零点方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）求证：当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； （3）若某“零点方程”的一个根为，则这个方程可以是________． （4）关于x的方程是“零点方程”，且是这个方程的一个根，求p的值． 24. 如图，在中，，过点A作于点D，，．点P为边上一动点，连结，以为边作直角三角形，使，且，点Q与点B在直线的两侧． （1）求证：； （2）当时，的长为________； （3）当点Q落在边上时，求的长； （4）连结，当所在直线将的面积分成两部分时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $