第4章 概率 习题课件 2025-2026学年湘教版数学九年级下册

该初中数学课件系统梳理了概率单元中随机事件与可能性的核心知识，涵盖事件分类（必然、不可能、随机、确定性事件）及概念辨析，通过选择、填空、解答题串联起从基础概念到实际应用的逻辑脉络。 其亮点在于结合生活情境（如“石头剪刀布”“成语典故”）和数学问题（三角形全等、二次函数交点），培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过辨析题（如可能性很小事件的判断）发展推理意识，开放性题目（如装球方案设计）强化模型意识，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准复习教学。

第4章　概率 4．2 概率及其计算 4.2.1　概率的概念 1．下列说法正确的是(　　) A．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面 C．标准大气压下，加热到100 ℃时，水沸腾 D．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该彩票一定会中奖 返回 C 2 D 返回 3 A 返回 4 A 返回 5 返回 3 6 返回 6．如图，有一个质地均匀的游戏转盘，随机转动转盘一次，当转盘停止转动后，指针落在“D”所示区域内的概率是________． 7 7．[2025岳阳模拟]如图，在3×3的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次(击中边界或没有击中游戏板，则重投一次)，飞镖击 中阴影部分的概率是________． 返回 8 A 返回 9 10 【答案】C 返回 10．[2025成都]从－1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为________． 13 返回 11．如图，点O是△ABC的重心，过O点作直线DE∥BC，分别交边AB，AC于点D，E，现随机向△ABC内部掷一枚小针，则针尖落在△ADE区域内的概率为________． 16 返回 12. 已知函数y＝(2k－1)x＋4(k为常数)，若从－3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x的增大而增大”的一次函数的概率为________． 18 返回 19 13. 如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数不同外，其他完全相同)，转盘甲上的数分别是－6，－1，8，转盘乙上的数分别是－4，5，7(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次)． (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是____，转盘乙指针指向正数的概率是______； (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数记为a，转盘乙指针所指的数记为b，求满足a＋b＜0的概率． 【解】同时转动两个转盘，指针所指的数之和所有可能出现的结果如下：－6－4＝－10，－1－4＝－5，8－4＝4，－6＋5＝－1，－1＋5＝4，8＋5＝13，－6＋7＝1，－1＋7＝6，8＋7＝15. 返回 14. 小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如图所示．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： (1)小深抽到“纸巾”的概率是________； (2)小深中奖的概率是________； 返回 【解】4张写着太阳伞，纸巾、牙刷各1张，谢谢参与3张．(答案不唯一) 15．[2025成都模拟]如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点P，求点P落在阴影部分的概率． 【解】如图，取BC的中点为O，设AE与以BC为直径的半圆的切点为F，CE＝x.∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，半圆的半径为1，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°. ∵BC为半圆的直径，∴AB切半圆O于点B，CD切半圆O于点C.∵AE切半圆O于点F，∴AF＝AB＝2，EF＝CE＝x，∴AE＝AF＋EF＝2＋x，DE＝CD－CE＝2－x，∴在Rt△ADE中，有AD2＋DE2＝AE2，即22＋(2－x)2＝(2＋x)2， 返回 2．[2025湖南]某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是(　　) A. B. C. D. 3．[2025永州月考]在四张质地、大小相同的卡片上，分别画上平行四边形、矩形、圆、等边三角形四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形既是轴对称图形也是中心对称图形的概率是(　　) A.　 B.　 C.　 D．1 4．[2025河北]抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1，2，3中的一个数字)，若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是(　　) 5．一个袋中装有5个红球、4个白球和x个黄球，每个球除颜色外都相同．如果从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么x的值为________． 8. 如图的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，灯泡能发光的概率为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 9．我们知道：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【点拨】正三角形的每个内角为60°，360°÷60°＝6，6是整数，可以进行镶嵌；正四边形的每个内角为90°，360°÷90°＝4，4是整数，可以进行镶嵌；正五边形的每个内角为＝108°，360°÷108°的结果不是整数，所以不能进行镶嵌； 正六边形中的每个内角为＝120°，360°÷120°＝3，3是整数，可以进行镶嵌；正八边形的每个内角为＝135°，360°÷135°的结果不是整数，不能进行镶嵌．故只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是. 【点拨】∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根，∴∴b2≥4a且a≠0.∵a，b共有6种等可能性的结果数，分别为 其中满足b2≥4a且a≠0的结果数有共3种，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为＝. 【点拨】连接AO并延长交BC于G，如图．∵O是△ABC的重心，∴＝.∵DE∥BC，∴△ADO∽△ABG，△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝＝，∴随机向△ABC内部掷一枚小针，则针尖 落在△ADE区域内的概率为. 【点拨】当2k－1>0时，k>，∴当＜k≤3时，y随x的增大而增大．又∵－3≤k≤3，∴得到的函数是具有性质“y随x的增大而增大”的一次函数的概率为 ＝. 共有9种等可能的结果，其中两个转盘指针所指的数之和为负数的结果有3种，∴同时转动两个转盘，指针所指的数之和为负数的概率为＝，即满足a＋b＜0的概率为. (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是，要求翻奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 解得x＝，∴DE＝2－＝.∵正方形ABCD的边长为2，∴正方形ABCD的面积为22＝4，∴阴影部分的面积为4－×π×12－××2＝，∴在正方形区域内任意取一点P，则点P落在阴影部分的概率是. $ 第4章　概率 4．2 概率及其计算 4.2.2　用列举法求概率 第1课时 用列表法求概率 返回 B 2 A 返回 3 A 返回 4 4．[2025永州模拟]五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的骰子(各面上的点数分别为1～6)，将两枚骰子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏(　　) A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 5 【点拨】列表如下： 第二枚 和　 第一枚　　　 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 6 【答案】A 返回 7 返回 5．湘绣、蜀绣、粤绣、苏绣为中国四大名绣，是历史上“丝绸之路”运输的重要商品之一．现有四张正面印有四大名绣的卡片，它们除正面图案不同外其余完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为________． 8 9 【点拨】列表如下：   直行 左转 右转 直行 (直行，直行) (直行，左转) (直行，右转) 左转 (左转，直行) (左转，左转) (左转，右转) 右转 (右转，直行) (右转，左转) (右转，右转) 10 返回 【答案】D 12 【点拨】列表如下：   HCl NaCl H2O NaOH HCl   (HCl，NaCl) (HCl，H2O) (HCl，NaOH) NaCl (NaCl，HCl)   (NaCl，H2O) (NaCl，NaOH) H2O (H2O，HCl) (H2O，NaCl)   (H2O，NaOH) NaOH (NaOH，HCl) (NaOH，NaCl) (NaOH，H2O)   13 返回 【答案】C 8．[2025长沙雨花区模拟]如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长． 15 如若从圈A起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈D，再从圈D开始顺时针连续跳4个边长落到圈B.设游戏者从圈A起跳，则一次游戏后能够回到圈A的概率是________． 16 【点拨】列表如下： 第二枚 和 第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 17 返回 9．[2025成都期末]小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图①所示的转盘(被平均分成9份)，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或 黄色，哥哥去(如果指针恰好指向白色 或指向分割线，则重新转动)． 19 (1)求小明去观看足球比赛的概率． 20 (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． 返回 21 22 返回 【解】如图，将转盘平均分为8份，其中红色占3份，白色占1份，蓝色和黄色共占4份，转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去；若转盘指针指向蓝色或黄色，小明去(如果指针恰好指向分割线，则重新转动)(答案不唯一)． 10．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2(注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜)．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： 24 (1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率． 25 26 (2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 27 【解】不是，齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是(C2A1，A2B1，B2C1)；齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是(C2A1，B2C1，A2B1)；齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是(A2B1，C2A1，B2C1)；齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是(A2B1，B2C1，C2A1)；齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是(B2C1，C2A1，A2B1)；齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是(B2C1，A2B1，C2A1)． 28 返回 综上所述，田忌获胜的所有对阵是(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2C1，A2B1)，(A2B1，C2A1，B2C1)，(A2B1，B2C1，C2A1)，(B2C1，C2A1，A2B1)，(B2C1，A2B1，C2A1)．齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，比赛的所有可能对阵是(A2A1，B2B1，C2C1)，(A2A1，C2B1，B2C1)，(B2A1，A2B1，C2C1)，(B2A1，C2B1，A2C1)，(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2B1，A2C1)，共6种，同理，齐王的其他出马顺序也都分别有相应的6种可能对阵， 29 1．[2025衡阳月考]小方家客厅里装有一种三位单极开关(如图)，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，既可单盏开，也可两盏、三盏齐开．若小方任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊 灯同时亮的概率为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 2．春节档上映的《哪吒之魔童闹海》收获了超高票房与口碑，掀起了一阵哪吒热潮，卡通贴纸也备受追捧．周末小光和小花一起去商场购买卡通贴纸，两人分别从“哪吒”“敖丙”“太乙真人”“申公豹”四款卡通贴纸中随机选择一款，则两人恰好同时选中“哪吒”贴纸的概率是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 3. 班长邀请A，B，C，D四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两名同学座位相邻的概率是(　　) A. B. C. D. 由表格可知，共有36种等可能的结果，其中点数之和正好能被3整除的结果有12种，点数之和除以3后余数是1的结果有12种，点数之和除以3后余数是2的结果有12种，所以他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的． 6． 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少有一辆车向右转的概率是(　　) A. B. C. D. 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一辆车向右转的结果有5种，∴至少有一辆车向右转的概率为. 7. 现有HCl，NaCl，H2O，NaOH四种液体，若从中任选两种混合在一起，能发生化学反应的概率为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中能发生化学反应的结果有：(HCl，NaOH)，(NaOH，HCl)，共2种，∴能发生化学反应的概率为＝. 由表格可知，所有等可能的结果共有36种，当两次掷得的点数之和为6的倍数，即为6或12时，才可回到圈A，共6种结果，∴所求的概率是＝. 【解】由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份，白色占1份，蓝色和黄色共占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，可知P(小明去观看足球比赛)＝＝. 【解】游戏公平．理由：同(1)可得P(哥哥去观看足球比赛)＝＝.∴P(小明去观看足球比赛)＝P(哥哥去观看足球比赛)，∴游戏公平． (3)请你利用图②所示的转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 【解】田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．此时，比赛的所有可能对阵为(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2C1，A2B1)，(C2A1，B2B1，A2C1)，(C2A1，A2C1，B2B1)，共4种，其中田忌获胜的对阵有(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2C1，A2B1)，共2种，故此时田忌获胜的概率为＝. 所以，此时田忌获胜的概率为＝. $ 第4章　概率 4．3 用频率估计概率 1．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是(　　) A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 返回 A 2 2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是(　　) A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得的频率的值也会相同 D．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近 D 返回 3 3. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程． 4 整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象(如图)，经分析可以推断盒子里个数比较多的是________．(填“黑球”或“白球”) 白球 返回 5 4. 2025年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验(在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的)，经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.3 左右，若一张邮票的面积是6 cm2，则邮 票上蛇形图案的面积约为________． 1.8 cm2 返回 6 3.16 5．小瑶同学在学习概率知识后做了一个随机事件的试验．她把100粒米随机撒到如图所示的一张画有正方形及圆的白纸上，经计数，恰好落在圆内的米粒数为79粒，由此她估计圆周率π的值约为________． 7 返回 6．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况：钉尖着地、钉尖不着地．下面是小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据． 9 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 钉尖不着地的频数m 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 a 0.62 b 0.61 c 10 (1)求出表中a，b，c的值； 【解】a＝360÷600＝0.60， b＝488÷800＝0.61， c＝610÷1 000＝0.61. 11 (2)请在下图中画出该试验中，抛掷图钉钉尖不着地的频率的折线统计图； 12 【解】折线统计图如图所示． 返回 (3)根据“抛掷图钉试验”的结果，请估计“钉尖不着地”的概率． 【解】通过大量试验，发现频率围绕0.61上下波动，且趋于稳定，于是可以估计“钉尖不着地”的概率是0.61. 14 【点拨】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，由题意可得≈，解得π≈3.16. $ 第4章　概率 4．1 随机事件与可能性 第1课时 事件的认识 返回 A 1．小美和小好同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是(　　) A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件 2 2. 成语是中华文化精髓的重要载体，其背后蕴含着丰富的历史典故与哲学智慧．下列成语所描述的事件中，不属于必然事件的是(　　) A．水涨船高 B．日出东方 C．异口同声 D．冬去春来 C 返回 3 3．下列说法正确的是(　　) A．“367人中至少有2人同一天生日”是必然事件 B．“任买一张电影票，座位号是偶数”是不可能事件 C．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛用抽样调查 D．可能性很小的事情是不可能发生的 4 【点拨】A.“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，说法正确，符合题意；B.“任意买一张电影票，座位号是偶数”是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；C.选出某校短跑最快的学生参加全市比赛用全面调查，故本选项说法错误，不符合题意；D.可能性很小的事情也有可能会发生，故本选项说法错误，不符合题意． 【点易错】误认为可能性很小的事件是不可能事件． 【答案】 A 返回 4． 如果在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，那么这两个三角形全等，这个事件是_________. (填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”) 随机事件 返回 7 5．下列哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)用长为4 cm，5 cm，6 cm的三条线段围成一个三角形； (2)在同一平面内，两直线平行，同位角相等； (3)他乡遇故知； (4)a2＋b2＝－1(其中a，b都是实数)； (5)两个连续正整数的积是偶数； (6)在数轴上任取一点，该点所表示的数是有理数． 8 返回 【解】(1)(2)(5)是必然事件，(4)是不可能事件，(3)(6)是随机事件． 6．已知实数a<0，下列事件： ①|a|>0；②a＋1>0；③a－1<0；④a2＋1<0. 其中确定性事件有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10 【点拨】①当a<0时，|a|>0是必然事件；②当a<0时，a＋1>0是随机事件；③当a<0时，a－1<0是必然事件；④当a<0时，a2＋1<0是不可能事件．故选C. 【答案】 C 返回 7． 班里有18名男生，15名女生，从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围是__________________． 返回 18<a≤33且a是整数 12 8．已知关于x的二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a，设事件A：“当x＜0时，y随x的增大而减小”，事件B：“二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴有两个交点”． 13 (1)小聪说A是必然事件，请你说明其中的道理； 【解】∵y＝3x2－12x＋12＋2a＝3(x－2)2＋2a，且3>0， ∴当x<2时，y随x的增大而减小． 又∵x<0是x<2的一部分， ∴当x<0时，y随x的增大而减小．∴A是必然事件． 14 (2)小明说B是随机事件，请你说明其中的道理． 返回 【解】∵(－12)2－4×3×(12＋2a)＝－24a， ∴当a>0时，－24a<0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴没有交点； 当a＝0时，－24a＝0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴只有一个交点； 当a<0时，－24a>0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴有两个交点．∴B是随机事件． 15 9. 盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，搅匀后每次从盒中随机地摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件； (4)“摸到两个黄球”是确定性事件． 16 返回 【解】答案不唯一．(1)盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件．(2)盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件．(3)盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件．(4)盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定性事件． $ 第4章　概率 4．1 随机事件与可能性 第2课时 随机事件可能性的大小 返回 B 1．天气预报显示，某地下周一到周五的降水可能性如图，则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是(　　) A．周一 B．周二 C．周四 D．周五 2 2. 下列诗句表述的事件中，发生的可能性最小的是(　　) A．离离原上草，一岁一枯荣 B．会当凌绝顶，一览众山小 C．危楼高百尺，手可摘星辰 D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴 C 返回 3 3. 在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是(　　) A．李东夺冠的可能性较小 B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局 C．李东夺冠的可能性较大 D．李东肯定会夺冠 4 【点拨】解本题时易对随机事件发生的可能性大小理解不透彻而致错，“李东夺冠的可能性是80%”表示李东有可能夺冠，且夺冠的可能性较大． 【点易错】可能性为80%的事件只是发生的可能性较大，不一定会发生，只有可能性为100%的事件才一定发生． 【答案】 C 返回 4. 如图，在A，B，C(AB>BC)三地之间的电缆有一处断点，断点出现在A，B两地之间的可能性为P1，断点出现在B，C两地之间的可能性为P2，则P1________P2.(填“>”“<”或“＝”) ＞ 返回 7 5． 从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”；②这张牌是“红桃”；③这张牌是“方块3”；④这张牌是“黑色的”．按其发生的可能性从小到大的顺序排列是____________．(填序号) 返回 ③①②④ 8 6．(1)不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球共20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，则黄球和蓝球共有________个． (2)一个不透明的袋子中装有白、红、黑三种球，其中白球有3个，红球有8个，黑球有m(m≥1)个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意摸一个球，摸到黑球的可能性最小，则m的值可能是________． 10 返回 1或2 9 7．如图所示，一个可以自由转动的转盘(被平均分成10份)，转3次得到3个数字，这3个数字能组成一个数． (1)你认为可能得到的最小数是多少？这种可能性大吗？ 【解】可能得到的最小数是0，这种可能性很小． 10 (2)利用这个转盘，可能得到的最大三位数是多少？可能得到的最小三位数是多少？它们哪一个出现的可能性大？ 返回 【解】可能得到的最大三位数是999，可能得到的最小三位数是100，它们出现的可能性相同． 11 8．某商家举行抽奖活动，设置如图所示的9个翻奖牌，翻奖牌的正面是编号1～9(图①)，背面是对应的奖品(图②)，若只能选择一个翻奖牌进行抽奖，请解决下面的问题： 12 (1)得到以下奖品的可能性最小的是(　　) A．平板 B．手机 C．球拍 D．水壶 B 13 (2)在图③中请你设计翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性． 14 返回 【解】∵抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性，∴“水壶”需要出现3次，“球拍”需要出现2次，“手机”需要出现1次．故设计如下． $ 第4章　概率 4．2 概率及其计算 4.2.2　用列举法求概率 第2课时 用树状图法求概率 返回 D 2 A 返回 3 3．甲、乙、丙、丁四名同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球到手上概率最高的同学是(　　) A．甲　　 B．乙　　 C．丙　　 D．丁 4 【点拨】画树状图如图． 【答案】A 返回 6 4．从－1，2，3，－6这四个数中任意选两个数，分别记作m，n，则点(m，n)在函数y＝－3x的图象上的概率是________． 7 【点拨】画树状图如图． 8 返回 9 返回 5．[2025安徽]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜(如图所示)．现从质量为10 g，20 g，30 g，40 g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 10 6．如图，这是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1，B1，B2，…，D3，D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下 方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙 继续下落的机会相等，直至圆球落入下 面的某个槽内．用画树状图法求圆球落 入③号槽内的概率． 11 返回 【解】根据题意，画树状图如图所示． 13 【点拨】设A表示“君问归期未有期”，B表示“巴山夜雨涨秋池”，C表示“何当共剪西窗烛”，D表示“却话巴山夜雨时”，画树状图如图． 【答案】D 返回 15 8．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6.连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位上的数，第二次正面朝上的数字作为个位上的数，则这个两位数能被3整除的概率为________． 16 【点拨】画树状图如图． 返回 18 19 返回 10. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由三行三列九个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各三个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的 填法中A>B的概率为________． 22 【点拨】由题意画出树状图如图所示： 返回 11．如图，五边形的顶点A处有一个跳蚤机器人，它每跳1步可以等概率地跳到相邻的顶点．顶点C处有一个陷阱，机器人跳到C处就会触发毁灭程序．机器人跳4步仍未毁灭的概率为________%. 50 25 【点拨】假设C处没有毁灭程序，机器人跳4步的路线画树状图如图： 返回 12．如图，正方形ABCD的顶点处各有一个圈，抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后若正面朝上就沿正方形的边顺时针移动到下一个圈；若反面朝上，就沿正方形的对角线移动到对角的圈．例如，若从圈A开始，第一次掷出正面，就顺时针移动到圈B； 若第二次掷出反面，就移动到对角 的圈D.设甲从圈A开始． 28 (1)抛掷一次硬币，甲移动到圈C的概率为________． (2)抛掷两次硬币，用画树状图的方法求甲移动到圈D的概率． 【解】画树状图如图①： 29 (3)抛掷三次硬币，甲移动到圈B与回到圈A的可能性一样吗？请说明理由． 【解】一样．理由如下：画出树状图如图②. 31 返回 13．一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放入若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得摸出一红一黄的概率等于摸出两红球的概率，求放入的红球个数． 【解】设放入n个红球，画树状图如图． 返回 由树状图可知，共有n(n＋1)种等可能的结果，其中摸出一红一黄的结果有n＋n＝2n(种)，摸出两红的结果有n(n－1)种．∵等可能的结果总数不变，P(摸出一红一黄)＝P(摸出两红)，∴摸出一红一黄的结果数＝摸出两红的结果数，∴2n＝n(n－1)，解得n1＝0(舍去)，n2＝3，∴放入的红球个数为3. 1. 中国古代四大发明(造纸术、印刷术、指南针、火药)对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是(　　) A.　 B. 　 C.　 D. 2． 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是(　　) A. B. C. D. 由树状图可知，经过2次传球后，共有9种等可能的结果，球到甲手中的结果有3种，球到乙手中的结果有2种，球到丙手中的结果有2种，球到丁手中的结果有2种，∴经过2次传球后，球到甲手中的概率是＝，球到乙手中的概率是，球到丙手中的概率是，球到丁手中的概率是.∵>，∴第二次传完后，球到手上概率最高的同学是甲． 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中点(m，n)在函数y＝－3x的图象上的结果有：(2，－6)，(－1，3)，共2种，∴点(m，n)在函数y＝－3x的图象上的概率是＝. 由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中落入③号槽内的结果有3种，∴P(圆球落入③号槽内)＝. 7. 四张背面相同的卡片上分别写有李商隐《夜雨寄北》的四句诗：“君问归期未有期，巴山夜雨涨秋池．何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时．”将四张卡片背面朝上打乱洗匀，然后依次抽出四张卡片，四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样的概率是(　　) A.　 B. 　 C.　 D. 由树状图可知，一共有24种等可能的结果，四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样的结果有1种，∴四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样的概率是. 由树状图可知，共有36种等可能的结果，其中组成的两位数能被3整除的结果有12，15，21，24，33，36，42，45，51，54，63，66，共12种，∴这个两位数能被3整除的概率为＝. 9．小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下上面的数后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数大于第一次抽取的数的概率是________． 【点拨】解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x>－2，∴不等式组的解集为－2<x≤2，∴不等式组的整数解为－1，0，1，2，共4个，画树状图如图． 由树状图可知，共有16种等可能的结果，第二次抽取的数大于第一次抽取的数的结果有6种，∴第二次抽取的数大于第一次抽取的数的概率为＝. 由树状图可知，不同的填法共有12种等可能的结果，其中A>B的填法的结果有6种，所以不同的填法中A>B的概率为＝. 通过树状图可知，共有16种等可能的结果，在路线中没有路过C处的结果有8种，∴机器人跳4步仍未毁灭的概率为＝50%. 由树状图可知，抛掷两次硬币，移动后所有等可能的结果共有4种，能移动到圈D的结果有2种，∴抛掷两次硬币，甲移动到圈D的概率为＝. 由树状图可知，抛掷三次硬币，移动后所有等可能的结果共有8种，能移动到圈B的结果有3种，回到圈A的结果有3种，∴P(甲移动到圈B)＝P(甲回到圈A)＝，∴抛掷三次硬币，甲移动到圈B与回到圈A的可能性一样． $