精品解析：广东省广州市第七十五中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题

广东省广州市第七十五中学 2025学年第一学期高二年级第二次阶段性测试数学试卷 命题人：杨月霞 审题人：陈智 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴上与轴上讨论，求的取值范围. 【详解】当时，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆. 综上，实数的取值范围. 故选：D 2. 已知点与点，则的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式可得结果. 【详解】由中点坐标公式可知，线段的中点坐标是，即为. 故选：B. 3. 如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】利用中，，， 所以． 故选：B． 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交过圆心 D. 相交不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的标准方程确定圆心、半径，再应用点线距离公式求圆心到直线的距离，并与半径比较大小，即可确定位置关系，注意直线是否过圆心即可. 【详解】由题设，圆的标准方程为， ∴圆心为，半径为4， 又到的距离为， ∴直线与圆的位置关系为相交且不过圆心. 故选：D 5. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设知，结合它们的坐标得即可求，进而求. 【详解】由，知：，则，解得，，故. 故选：C 6. 已知圆，直线，为任意实数，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 与m的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】将，转化为，利用 ，可以确定直线过定点，再利用定点在圆内部即可得出结论. 【详解】将直线的方程整理为， 由得 ， 所以直线过定点， 因为， 所以点在圆内部， 所以直线和圆恒有个交点，即直线和圆相交. 故选：B 【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查了直线和圆的位置关系，属于中档题. 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦点三角形的性质求椭圆离心率的值. 【详解】如图，不妨设在第一象限. 设，则, 由. 由. 所以椭圆的离心率. 故选：B 8. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，然后由直线与双曲线的左、右两支各有一个交点利用数形结合法求解. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示： 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以的取值范围为， 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 直线恒过定点 D. 若，则直线与直线垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】A化为斜截式判断；B特殊值判断即可；C化为，即可确定定点；D将参数代入直线方程即可判断. 【详解】A：将直线化为斜截式，有，即直线斜率为，错； B：当时，直线为也过第三象限，错； C：， 令，即直线过定点，对； D：由题设，，显然两线垂直，对. 故选：CD 10. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 左焦点到渐近线的距离为1 C. 直线双曲线有两个公共点 D. 过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的基本性质，以及直线和双曲线的位置关系逐项分析判断即可得解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 且点与原点连线的斜率小于， 所以可设双曲线方程为. 又双曲线过点，所以， 所以双曲线的方程为，A正确； 由双曲线方程知，，， 则左焦点为，渐近线方程为， 则左焦点到渐近线的距离，B正确； 由得， 代入双曲线的方程并整理得， 解得，所以， 故直线与双曲线只有一个公共点，C错误； 双曲线的通径长为， 因此过右焦点，两端点都在右支上且弦长为的弦有两条， 又双曲线的两顶点间距离为， 因此端点在双曲线左，右两支上且弦长为的弦只有一条，为实轴， 所以共有三条弦的弦长为，D正确. 故选：ABD. 11. 长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，分别在上，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线垂直、线线平行的向量证法可知AB正误；根据异面直线所成角、二面角的向量求法可知CD正误. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， ，，，，，，，， 对于A，，， ，与不垂直，A错误； 对于B，，，， 则，B正确； 对于C，，， ，即异面直线与所成角的余弦值为，C正确； 对于D，轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量，又，， ，令，解得：，，； ，， 即二面角的正切值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于A，B两点，若，，则C的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆对称性求出，由椭圆的定义求出，进而求得，即可求出离心率． 【详解】由题意知，，轴，故， 又，由，解得， 又，所以， 所以椭圆的离心率为． 故答案为： 13. ，若，则实数值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示，和向量垂直的坐标表示，求实数的值. 【详解】，则， 又，则，解得. 故答案为：2 14. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，直线过定点，曲线表示半圆，做出图像，利用数形结合的思想可得斜率的最大值，最小值. 【详解】 由题意得直线过定点，画出曲线的图像，如图所示， 结合图像可知，当直线与半圆相切于点时，斜率最大， 根据，可得，此时 当直线与轴重合时，斜率最小，此时 所以实数的取值范围为 故答案为: 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）判断出点为切点，根据切线的性质，即可求得答案； （2）设所求圆的圆心坐标为，结合圆心到直线的距离，根据弦长列式求出t的值，即可得答案. 【小问1详解】 可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上， 点与点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为， 所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得. 故圆的标准方程为或. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于两点. （1）求； （2）求的周长. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出过点且倾斜角为的直线方程，然后联立方程组写出韦达定理利用弦长公式求解即可； （2）的周长为，根据题意得出的表达式然后结合完全平方公式和韦达定理求解即可. 【小问1详解】 由题知，过且倾斜角为的直线斜率为： ， 所以直线的方程为即， 设，， 联立， 整理得：. 由， 所以. 所以 . 【小问2详解】 已知直线与双曲线左右两支分别交于两点， 如图所示： 记的周长为则：， 因为， 且， 所以 ， 又点是直线与双曲线的右支上交点， 所以，所以， 同理， 由点是直线与双曲线的左支上交点， 所以，所以， 所以 ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值. 【小问1详解】 因为，，，，底面为正方形， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，分别为，中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 由，即，令，则，，所以， 则，， 根据点到平面的距离公式. 【小问2详解】 首先设平面的法向量，，， 由，即，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则，，， 所以， 因为，所以， 则直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆几何性质列方程组求解可得； （2）利用点差法即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，则. 因为， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，则， 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 直线和轴的交点为， 该点在椭圆内，故直线和椭圆相交，满足条件. 19. 在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示. （1）求证：平面BCDE； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 【答案】（1） 因为，则， 且，可得， 将沿折起到的位置，始终有，， 因为，平面，所以平面， 由平面，可得， 且，，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，可得，进而可得平面； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）根据题意可得和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后， 由勾股定理得， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立如下空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 可得， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且， 因为直线与平面线面角为， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市第七十五中学 2025学年第一学期高二年级第二次阶段性测试数学试卷 命题人：杨月霞 审题人：陈智 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点与点，则的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交过圆心 D. 相交不过圆心 5. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知圆，直线，为任意实数，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 与m的值有关 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 直线恒过定点 D. 若，则直线与直线垂直 10. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 左焦点到渐近线的距离为1 C. 直线双曲线有两个公共点 D. 过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条 11. 长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，分别在上，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正切值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于A，B两点，若，，则C的离心率为______________. 13. ，若，则实数值为___________. 14. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是____________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于两点. （1）求； （2）求的周长. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 19. 在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示. （1）求证：平面BCDE； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $