24.2 解一元二次方程（第1课时)（教学课件）- 2025-2026学年冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，从“油漆刷正方体盒子”实际问题导入，通过“试一试”归纳x²=p的三种解的情况，再对比方程引出配方法，构建从具体问题到抽象方法的学习支架。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，如从油漆问题抽象出x²=25。通过配方法步骤探究发展数学思维，如二次项系数化1的推理。规范例题和随堂训练强化数学语言表达，学生能提升抽象能力和运算能力，教师可借助清晰结构高效教学。

第二十四章 一元二次方程 24.2　解一元二次方程 第1课时　配方法 1 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 学 习 目 标 1 2 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点） 运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点） 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点） 探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点） 3 4 新课导入 一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 问题情境 解：设其中一个盒子的棱长为dm，则一个正方体的表面积为62 dm2. 根据题意，得10×6 2=1500， 整理，得2=25. 根据平方根的意义，得=±5. 即1=5， 2=-5(不合题意，舍去). 答：其中一个盒子的棱长为5 dm. 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4； (2) x2=0； (3) x2+1=0. 解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 新课导入 知识讲解 ★ 直接开平方法解一元二次方程 思考：方程的左右两边满足什么形式时，利用平方根的意义，可以直接开平方解一元二次方程？ （2）当p=0 时，方程x2 = p有两个相等的实数根 =0； （3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 = p无实数根. 一般的，对于方程 x2 = p, （1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等 的实数根 ， ； 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+2)2= ， 解得 想一想：怎样解方程（x+2）2=25呢？ 于是，方程（x+2）2=25的两个根为 知识讲解 上面的解法中 ，由方程 得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念直接求解. 知识讲解 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=p或（mx＋n）2= p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x= 或mx＋n= 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 注 意 知识讲解 ★ 配方法解一元二次方程 （1） （2） 思考下列问题并回答： (1)方程（2）与方程（1）的区别是什么？ 方程(1)左边可以化简成完全平方式，方程（2）左边不是完全平方式. (2)把常数项移项，如何把方程（2）的左边化成与方程（1）的左边相同？ 移项，得，根据等式的性质，方程两边同时加1可以化成与（1）的左边相同.  知识讲解 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 做一做：填上适当的数，使下列等式成立 1.x2+12x+ =(x+6)2； 2.x2-6x+ =(x-3)2； 3.x2-4x+ =(x - )2； 4.x2+8x+ =(x + )2. 问题：上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？ 62 32 22 2 42 4 将方程转化为（x+m)2=n(n≥0）的形式的方法叫配方法. 对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 知识讲解 探究交流 怎样解方程x2+6x+4=0？ 1.把方程变成（x+n)2=p （p≥0）的形式 x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. (x+3)2=5 配方 知识讲解 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 2.用直接开平方法解方程(x+3)2=5 (x+3)2=5 开方 x+3=或x+3 = 求解 知识讲解 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解． 方法归纳 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的. 方程配方的方法 知识讲解 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 例1 用配方法解下列方程： （1） （2） 解：⑴移项，得 配方，得 即 两边开平方，得 所以 知识讲解 (2)移项，得 配方，得 即 两边开平方，得 所以 知识讲解 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 做一做 用配方法解方程： （1）该方程能不能按上边的方法先移项，然后直接配方？ 观察方程移项后，二次项系数不为1，所以不能直接配方. （2）观察该方程和上边方程有什么区别？ 二次项系数不为1. （3）如何把二次项系数化为1？ 根据等式的基本性质，方程两边同时除以二次项系数可得. (4)根据上边的分析，尝试完成解方程. 知识讲解 解：移项，得2x2+4x＝－1， 二次项系数化为1，得＝ ， 配方，得＝ +1， （）2= ,∴= ± ， ∴1=-1+ ，2=-1- . 知识讲解 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 配方法解方程的基本步骤 一般步骤 方法 一移 移项 将常数项移到右边，含未知数的项移到左边 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项，合并 知识讲解 例2 用配方法解方程： . 解：移项，并将二次项系数化为1，得 配方，得 , 即 两边开平方，得 所以 知识讲解 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为1，得 3x2－6x=-4, x2－2x=－ , x2－2x+12=－ +12， 即 (x－1)2=－ . 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 知识讲解 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 例2 ★ 配方法的应用 知识讲解 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 配方法的应用 类别 解题策略 求最值或证明代数式的值为恒正（或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值 完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4 利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2 知识讲解 1．对形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是( ) A．直接开平方得x＝－m± B．直接开平方得x＝－n ± C．当n≥0时，直接开平方得x＝－m ± D．当n≥0时，直接开平方得x＝－n ± 2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 随堂训练 C C 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 　　 解：方程两边都除以3，得(x＋1)2＝ ， 开平方，得x＋1＝± ，即x＋1= 或x＋1 ∴ x1＝－ ，x2＝－ . 　　   3.解下列方程 (1)3(x＋1)2＝； 解：开平方，得3x＋2＝ ± 5，即 3x＋2＝5或3x＋2＝－5， ∴ x1＝1，x2＝－ . (2)(3x＋2)2＝25； 随堂训练 4.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2. 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 解： 随堂训练 理解条件式证明的本质有助于更好地分解。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握恒等式证明的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决数学应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在行程问题的探究活动中，学生需要自主规范化。 解：正确的解答过程为： 移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2. 直接开平方，得2(2x－1)＝±5(x＋1)． 所以x1＝－7，x2＝－. ② ＝|a| 5.用直接开平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0. 小明的解答如下： 移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2.① 直接开平方，得2(2x－1)＝5(x＋1)．② 小明的解答有无错误？若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程． 随堂训练 课堂小结 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方 五解两个一元一次方程 特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上二次项系数一半的平方 基本思路 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 $