第17章 因数分解（单元测试）2025-2026学年人教版数学八年级上册

第17章 因数分解（单元测试）2025-2026学年人教版数学八年级上册 一、单选题 1．把 分解因式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．下列多项式中，与﹣x﹣y相乘的结果是x2﹣y2的多项式是（　　） A．y﹣x B．x﹣y C．x+y D．﹣x﹣y 5．若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（　　） A．100 B．0 C．-100 D．50 6．若k、n都是任意整数，如果的值总能被3整除，则不能取（　　） A． B．1 C．2 D．4 7．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值范围有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（       ） A． B． C． D． 9．已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法： ① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．分解因式： 　 　． 12．将多项式分解因式的结果是　 　． 13．已知，，，满足关系式，，则的值为　 　． 14．如图，边长为4的正方形ABCD中放置两个长宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形CHIJ，如图阴影部分的面积之和记为，长方形AEFG的面积记为，若，，则长方形AEFG的周长为　 　． 15．如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数为“八喜数”，把数分解成的过程，称为“八喜分解”． 例如；22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，故572是“八喜数”． 把一个“八喜数”进行“八喜分解"，即，与之和记为，与之差记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值与最小值的差是　 　． 三、解答题 16．因式分解： （1）； （2）． 17．（1）分解因式：3x2﹣27 （2）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a=﹣． 18．（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 19．我们对多项式x²+x﹣6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x2+x﹣6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab 所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．当然这也说明多项式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2． 像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题． （1）已知关于x的多项式x2+mx﹣15有一个因式为x﹣1，求m的值； （2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值． 20．已知，长方形的周长为30cm，两相邻的边长为xcm，ycm，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，求长方形的对角线长和面积． 21． 如图所示， 将一张长方形纸板按图中的虚线裁剪成 16 块， 其中①、②、③都剪成边长为 的大正方形，④、⑤、⑥都剪成边长为 的小正方形， 剩下的都剪成长、宽分别为 的小长方形． （1） 先观察图形，再分解因式： （2） 若每块小长方形的面积为 ， 六块正方形的面积之和为 ， 试求图中所有裁剪线 (虚线部分)长度之和． 22．阅读下面例题，并解答问题。 例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值 解：设另一个因式为 ，得 则 ∴ 解得： ， ∴另一个因式为 ，m的值为—21 请仿照上面的方法解答下面的问题： 已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值。 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解： =. 故答案为：B. 【分析】提取公因式a2，即可将原式分解因式，即可解答. 2．【答案】D 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故不符合； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合； C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合； D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合. 故答案为：D. 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，根据因式分解定义并结合各选项即可判断求解. 4．【答案】A 【解析】【解答】∵ ， ∴与 相乘的结果是 的是 . 故答案为：A. 【分析】根据平方差公式分解因式即可得出.平方差公式：x2-y2=（x+y）（x-y）． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b． 比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故答案为：C 【分析】因为因式分解是多项式乘法的逆运算，多项式中含有因式（x-2）和（x-1），得到（x2-3x+2）（x2+ax+b）=x4+mx3+nx-16；求出mn的值. 6．【答案】C 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积， ∴-15＝-1×15＝1×（-15）＝-3×5＝3×（-5）， ∴-k＝14，-14，2，-2， ∴k＝-14，14，-2，2. 故答案为：D． 【分析】由二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，再把常数项-15分为两个整数相乘，其和即为-k的值，即可确定出整数k的个数． 8．【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，直接利用因式分解的定义进而分析得出答案，掌握因式分解的定义是解题的关键， 【详解】解：A、a²-b²+2=（a+b)(a-b)+2，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意； B、（x+3)(x-2)=x2+x一6，是整式的乘法运算，故选项不符合题意； C、4m2-9n2=（2m+3n)（2m-3n)，故选项不符合题意； D、y²一4y+4=（y一2)²，是因式分解，故选项符合题意； 故选：D. 9．【答案】C 10．【答案】B 【解析】【解答】∵ ， ∴ 是2的最佳分解， ∴ ，即①正确； ∵ ， ， ， ， ， ∴ 是48的最佳分解， ∴ ，即②错误； ∵ ， ∴ ，即③正确； 若 是一个完全平方数，则设 （ 是正整数）， ∴ ，即④正确； 综上所述，①③④正确，共三个， 故答案为：B. 【分析】分别将①②③④中的数或式子进行分解，根据最佳分解的定义进行判断即可. 11．【答案】3 a（a-2） 【解析】【解答】3a²-6a=3a（a-2）， 故答案为3a（a-2）． 【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式即可。 12．【答案】 【解析】【解答】解：原式= 故答案为：． 【分析】先提取公因式a（a-b），再化简即可。 13．【答案】74 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】（1） （2） 17．【答案】解：（1）原式=3（x2﹣9） =3（x+3）（x﹣3）； （2）原式=1﹣a2+a2﹣4a+4=﹣4a+5， 当a=﹣时，原式=3+5=8． 【解析】【分析】（1）原式提取3，再利用平方差公式分解即可； （2）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 18．【答案】解：（1）解：①，， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）①利用完全平方公式将原式变形为，再计算即可； ②先求出，再求出即可； （2）先求出，，再求出，最后求出即可． 19．【答案】解：（1）由题设知：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n， 故m=n﹣1，﹣n=﹣15， 解得n=15，m=14． 故m的值是14； （2）由题设知：2x3+5x2﹣x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt， ∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=﹣1，2kt=b． 解得：k1=，k2=﹣1． ∴t1=﹣2，t2=3． ∴b1=b2=2kt=﹣6． 【解析】【分析】（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）解答思路同（1）． 20．【答案】∵长方形周长为30cm， ∴ ，化简得： ， ， = ， = ， = ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 则 ，即 ， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴ ， ∴长方形的对角线长： ， 长方形的面积： . 【解析】【分析】先将x3+x2y-4xy2-4y3=0化简为=0，可得即，再根据“长方形的周长为30cm”可得，再将代入计算可得，最后利用勾股定理求解即可。 21．【答案】（1）解：观察图形， 大长方形的边长分別为a+3b和3a+b而各部分面积之和为 （2）解： 小长方形的面积为 ， 六个正方形的面积之和为 ， ． ， ， 图中虚线长度的和为 图中所有域前线 (虚线部分) 长之和为 84 ． 【解析】【分析】（1）原式由三个整式3a2、10ab、3b2相加而成， 观察图形可知，3a2为大正方形 ①、②、③的面积和，3b2为小正方形 ④、⑤、⑥的面积和，而10ab为长、宽分别为a，b的所有长方形的面积和，三者相加就是整个长方形纸板的面积和从而即可得到因式分解； （2）首先，不难得出图中所有虚线长度的表达式为12a+12b，即解题的重点在于计算出a+b的值；然后，结合（1）的解答过程，利用条件 “ 小长方形的面积为 ”可计算出ab值，利用条件“ 六块正方形的面积之和为 ”可计算出的值，此时应联想到运用完全平方公式计算出a+b的值（注意由于a、b均表示实际边长，故a+b＞0）后，代入到12a+12b计算即可. 22．【答案】解：设另一个因式为 ，得 ， 则 ， ∴ ， 解得：， ∴另一个因式为 ，m的值为65 . 【解析】【分析】设另一个因式为(2x+a) ，根据恒等的关系列等式，根据等式两边x的相同指数项的系数对应相等，列出方程求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $