精品解析：江苏省扬州市广陵区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

扬州市梅岭中学教育集团2025-2026学年第一学期期中考试试卷 初三年级 数学学科 （时间：120分钟；命题人：金鑫 ；审核人：华云锋） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ） A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 6. 直线不经过第一象限，则关于的方程实数解的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 7. 如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 在比例尺为1﹕50000的地图上量出A、B两地的距离是8cm，那么A、B两地的实际距离是_____千米． 10. 已知是方程的一个根，则k的值是______． 11. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 12. 两个位似图形的对应线段长为和，且较小图形的周长为，则较大图形的周长为______． 13. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的侧面积是______． 14. 若一条弦分圆为1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______. 15. 已知为方程的一个根，则的值为__________． 16. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 _______．（精确到0.1） 17. 如图，矩形长为22，宽为15，内部是正方体的一种展开图，每个小正方形的边长相等，其中点A、B、C、D在矩形的四条边上，则小正方形的边长为______． 18. 在平面直角坐标系中，点，，以A为圆心3为半径作圆，点M是上一动点，以为斜边作，且，则的最小值为______． 三．解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． （1）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． （2）在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根． 22. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 23. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 24. 小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 m， m， m（点 在同一直线上）． 已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果精确到0.1m）． 25. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F，连接，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． （1）直接应用：已知实数，满足，，求的值； （2）间接运用： ①若，且，则（ ） A． B． C． D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 27. 在矩形中，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线． （1）若射线交于点F（如图1）且，求的长． （2）若射线交于点F（如图2）且，求的长． （3）若，射线交于点G（如图3），连接，H为中点，点E从点A开始运动，当点F与点G重合时，请直接写出点H的运动路径长． 28. 【问题发现】已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】 （1）如图1，若，，当A、D位于弦的异侧，且D是弧的中点，容易得到： ； （2）如图2，若，D是弦所对的优弧的中点， ①请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； ②若半径，则周长的最大值是 ． 【迁移应用】 （3）如图3，若，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市梅岭中学教育集团2025-2026学年第一学期期中考试试卷 初三年级 数学学科 （时间：120分钟；命题人：金鑫 ；审核人：华云锋） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、为一元一次方程，不符合题意； B、为一元二次方程，符合题意； C、为一元三次方程，不符合题意； D、，只有时，才是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离d与圆的半径r的大小即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内； 故选A． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．对于，当， 方程有两个不相等的实根，当， 方程有两个相等的实根，， 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ） A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°， ∴∠AOC=2∠B=150°． 故选A． 6. 直线不经过第一象限，则关于的方程实数解的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程根的判别式，关键是由直线不经过第一象限确定a的取值范围，再分类讨论方程解的情况． 由直线不经过第一象限得出，再分和两种情况讨论方程的实数解个数． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴． 当时，方程为，解得，有一个实数解； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴方程实数解的个数为1个或2个． 故选：D． 7. 如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 【详解】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，解一元二次方程． 利用已知方程得到，通过降次法将化简为，再结合求得的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 解方程得， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 在比例尺为1﹕50000的地图上量出A、B两地的距离是8cm，那么A、B两地的实际距离是_____千米． 【答案】4． 【解析】 【分析】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可． 【详解】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据题意得： 　8：x=1：50000 解得：x=400000，400000cm=4km． 故答案为4． 【点睛】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 10. 已知是方程的一个根，则k的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查方程的解，将已知根代入方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 故答案为：3． 11. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 【答案】cm 【解析】 【分析】利用勾股定理解得直角三角形的斜边，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，得出其外接圆的半径． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm， 直角三角形的斜边为： cm， 这个直角三角形的外接圆半径为： cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 两个位似图形的对应线段长为和，且较小图形的周长为，则较大图形的周长为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的性质，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：设较大图形的周长为． ∵两个位似图形的对应线段长为和， ∴相似比为， ∵较小图形的周长为， ∴， ∴． 即较大图形的周长为． 故答案为：60． 13. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算．熟练掌握圆锥的侧面积公式（l为母线长，r为底面半径）是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由题意，这个圆锥的侧面积是， 故答案为：． 14. 若一条弦分圆为1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______. 【答案】36°或144°. 【解析】 【分析】根据题意画出图形，得出这条弦所对的圆周角有两个，求出两段弧的度数，即可求出答案． 【详解】解： 连接OA、OB， ∵一条弦AB把圆分成1：4两部分，如图， ∴弧AC′B的度数是×360°=72°，弧ACB的度数是360°﹣72°=288°， ∴∠AOB=72°， ∴∠ACB=∠AOB=36°， ∴∠AC′B=180°﹣36°=144°， 故答案为36°或144°． 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 15. 已知为方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 16. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 _______．（精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：根据已知条件得下半身长是， 设需要穿的高跟鞋是， 根据黄金分割的定义得： 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：． 17. 如图，矩形长为22，宽为15，内部是正方体的一种展开图，每个小正方形的边长相等，其中点A、B、C、D在矩形的四条边上，则小正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，利用三角函数解直角三角形，勾股定理，解题的关键是利用函数值表示矩形的长和宽． 设正方形边长为x，由与边成的角为，与边成的角为，利用的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题． 【详解】解：如图，过P作于点H，延长交边于点M，过T作于点E，延长交边于点F， 设正方形边长为x，由与边成的角为， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在、中，可得 ， ， ∴， ， 解得， ∴， 解得， ∴，， ∴ 在，， 即， ， ， ∴ 解得或（舍去）． 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，点，，以A为圆心3为半径作圆，点M是上一动点，以为斜边作，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，位似，相似三角形的判定与性质以及点与圆的位置关系，勾股定理，两点的距离．解题的关键在于理解点的轨迹是一个圆，它与关于点位似．先判断点的轨迹是一个圆，它与关于点位似，当圆心在上时，求出点的运动轨迹所在的圆心的坐标及的半径，当点在线段上时，取得最小值，按此分析求解即可． 【详解】解：依题意可知，点的运动轨迹是一个圆，设点的运动轨迹为，且是以点为位似中心的位似图形， 当过圆心时，过圆心，， ， ， 过的顶点构造矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 令点， ， ， ， 解得，, 点的坐标为， ，， ， 在中，， ， ， ， ，即轨迹的半径为． 当点在上时，取得最小值，如图， ， ． 故答案为：． 三．解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 20. 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． （1）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． （2）在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2）①，；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质和定理进行推理和计算是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线性质找出圆的圆心即可； （2）①根据图形和已知点的位置写出坐标即可；根据勾股定理求出即可；求出，根据弧长公式求出弧的长，然后求出底面半径，最后根据圆的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）作图可知：，； 故答案为：，； ②的半径是：． 如图： 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， 弧的长为， 设底面的半径为r， 则，解得：． 扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得； 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 23. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 【答案】（1） （2） 预测月份的生产成本为：（万元）， ， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据下降率求出7月份该公司的生产成本，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得： ， 解得：，（舍去）， ∴每个月生产成本的下降率为； 【小问2详解】 略 24. 小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 m， m， m（点 在同一直线上）． 已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果精确到0.1m）． 【答案】楼高约为20.0m 【解析】 【详解】解：过点作，分别交于点，则 m， m． ， ∴△BGD∽△FHD， ． 由题意，知． ， 解之，得BG=18.75m． m． 楼高约为20.0 m． 25. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F，连接，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 26. 阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． （1）直接应用：已知实数，满足，，求的值； （2）间接运用： ①若，且，则（ ） A． B． C． D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 【答案】（1）7 （2）①A；② 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，由此即可得到答案； （2）①将方程变为，从而得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，即可得出答案； ②根据题意可得是一元二次方程的两个不相等的实数根，则，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵实数，满足，， ∴实数，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：方程两边同除以得： ， ∵， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 即，故A正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，即， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 27. 在矩形中，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线． （1）若射线交于点F（如图1）且，求的长． （2）若射线交于点F（如图2）且，求的长． （3）若，射线交于点G（如图3），连接，H为中点，点E从点A开始运动，当点F与点G重合时，请直接写出点H的运动路径长． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线间线段成比例，二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，继而证明，得到，则，即可解答． （2）设，则，过点F作于点G，作于点H，推导出，得到，则，继而推导出，，得到，则，求出，即可解答； （3）设，则，先证明，得到，求出，，取的中点M，连接，证明是的中位线，得到，，推断出点H在过点M且垂直于的直线上运动，由，得，抛物线开口向上，对称轴为，当时，取得最小值为，推导出当时，的值逐渐减小；当时，的值逐渐增大，分别求出当，，时的，值，得到点H的运动路径长为，即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 设，则． 过点F作于点G，作于点H，如图 ∴， ∴，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 即 解方程得，即． 【小问3详解】 设，则， 由， 得， ∴， 即， 解得， ∴． 取的中点M，连接，如图 ∵点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故点H在过点M且垂直于的直线上运动， 由，得 ，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值为， ∴当时，的值逐渐减小； 当时，的值逐渐增大． ∴时，； 时，； 时，． ∴点H的运动路径长为 答：点H的运动路径长为． 28. 【问题发现】已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】 （1）如图1，若，，当A、D位于弦的异侧，且D是弧的中点，容易得到： ； （2）如图2，若，D是弦所对的优弧的中点， ①请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； ②若半径，则周长的最大值是 ． 【迁移应用】 （3）如图3，若，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 【答案】（1）； （2）①如图，在上截取一点E，使得，连接，， ，D是弦所对的优弧的中点， ， ，，， 和都为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②，（3）或． 【解析】 【分析】此题属于圆的综合题，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，作辅助线，一定要注意将所学知识贯穿起来． （1）利用勾股定理求解即可； （2）①在上截取一点E，使得，连接，，根据，D是弦所对的优弧的中点，得到，利用同弧所对的圆周角相等证明和都为等边三角形，得到，再证明，得到，即可得到结论； ②过点O作于点M，连接，，先求出，则，继而得到，推导出，当为直径，即时，取得最大值，此时取得最大值，为，即可解答． （3）分两种情况讨论，①当点D是弦所对的劣弧的中点时，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F，根据四点共圆得到，点D是弦所对弧的中点，得到，，证明，得到，再证明，得到的长，在中，利用即可求解；②当点 D是弦所对的优弧的中点时，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G，由同弧所对的圆周角相等，得到，证明，得到，，证明，得到，在中，，得到，即可求出结果． 【小问1详解】 解：，， ， ，都是的直径， ， ， 故答案为：； （2）①略 ②如图，过点O作于点M，连接， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当为直径，即时，取得最大值，此时取得最大值，为． 故答案为：． (3)①当D是弦所对的劣弧的中点时，如图，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F， A，B，C，D四点共圆， ， ， ， 点D是弦所对弧的中点， ， ， 在和中， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， 点D是弦所对弧的中点，， ， 在中， ， ； ②当点 D是弦所对的优弧的中点时，如图，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，过点B作交于点G， 点D是弦所对弧的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $