第6章 幂函数､指数函数和对数函数 小结与复习（第2课时）教学设计 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学单元复习资料采用大单元设计，系统梳理指对幂函数的单调性、最值、图像应用及数学建模，通过复习回顾归纳复合函数“同增异减”规律、换元法等通性通法，结合四大题型典例构建“概念-方法-应用”知识网络。 其亮点是“题型分类-方法归纳-分层反馈”策略，如用销售利润问题建立分段函数模型培养数学建模能力，换元法求最值提升数学运算素养，课堂反馈题分层设计。助力学生巩固知识，教师精准把握学情，提高复习针对性。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 小结与复习（第2课时） ▍教学目标 1. 会求指对幂复合函数及分段函数的单调性． 2. 用换元法解决指对幂复杂函数的最值问题． 3. 利用指对幂函数的图象解决问题． 4. 会建立指对幂函数的数学模型解决实际问题． 逻辑推理：在研究指对幂函数过程中，善于利用类比、归纳、演绎等逻辑推理发现和提出问题，探索和论证命题． 数学运算：利用概念和性质理解数学对象，探究运算思路，选择运算方法，求得运算结果． 数学建模：从现实问题出发，发现和提出问题，抽象出指对幂模型解决问题． ▍复习回顾 [教师引导] 1. 复合函数的单调性：对于复合函数的单调性有如下表规律． （前提条件：在函数定义域内） 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2. 复杂函数求最值：会用换元法转化成二次函数求最值，注意换元后一定要求新元的范围． 3. 幂指对函数的图象变换及运用图象解决问题． [处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，可结合具体例题带领学生一起思考、归纳总结得出结论．有利于学生提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图． ▍典例精讲 题型一：复杂函数的单调性 角度一：指对幂复合函数的单调性 【例题1】 函数的单调递增区间为________． [思路分析] 先把复合函数拆分成几个简单函数，分别判断单调性，然后利用“同增异减”原则进行判定，要注意真数大于及底数对单调性的影响． [解析] 定义域为，由题意，设，则函数的对称轴为，单调递减区间为， 因为（）是减函数，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是．故答案为：． 【例题2】 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. [思路分析] 求出函数的定义域，根据二次函数与对数函数的单调性可得结果． [解析] 由得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在上递减，且为增函数， 所以函数的单调递减区间是．故选：C． 角度二：分段函数的单调性 【例题3】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. [思路分析] 研究分段函数单调性，先分析每一个函数在各自定义域上的单调性，结合图象，发现在拐点处要注意每个函数取值的大小关系． [解析] 因为函数在上单调递增， 所以解得，实数的取值范围是． 【变式1】 已知函数在上单调递增，则的范围为________． [思路分析] 本题首先可以设，则，然后根据复合函数的单调性判断出在上是减函数，最后根据二次函数性质即可得出结果． [解析] 令，则，， 因为在上是减函数，函数在上单调递增，所以在上是减函数， 因为函数对称轴为，开口向上， 所以解得，的范围为． 方法归纳 1. 复合函数的单调性：口诀是“同增异减”．若两个函数同增或同减，则复合后的函数为增函数；若两个函数一增一减，则复合后的函数为减函数．具体步骤：①求定义域；②拆分函数；③分别求，的单调性；④按“同增异减”的原则得出复合函数的单调性． 2. 结合图象研究分段函数单调性． 题型二：和型函数求最值 【例题4】 已知，． (1) 设，求的取值范围； (2) 求的值域． [思路分析] (1) 由函数在上是增函数即可求得结果； (2) 利用换元法，根据二次函数的性质即可求出值域． [解析] (1) 设，由函数在上是增函数，故有，所以的取值范围是； (2) 由，由(1)知，设，则， 利用换元法得：，，该二次函数的对称轴为，开口向上故当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为，所以的值域为 【例题5】 若函数，，求的是大值和最小值，并求此时的值． [思路分析] 对函数化简可得，令，由可得，计算二次函数，的最值即可． [解析] 令，由可得，则， 所以即时，， 当或即或时，， 综上所述：当或时，； 当时，． 【变式2】 设函数． (1) 解不等式． (2) 若，求函数的最大值． [思路分析] (1) 令，将原式变为，，判断得的值恒大于零，原不等式等价于，由此可求得不等式的解集； (2) 当时，由(1)中换元得．当时，，当时，， 根据基本不等式可求得的最大值． [解析] (1) 令，则原式变为，， 对于其，所以的值恒大于零， ∴，等价于，解得， ∴，，所以不等式的解集为； (2) 当时，由（1）中换元得． 当时，； 当时，， ∵，当且仅当时取等号， ∴的最大值为，经检验满足题意， 综上所述，的最大值为． 方法归纳 1. 求形如和的函数的最值时，常采用换元法，令或，根据定义域先求出或的值域，再求的最值． 2. 对数不等式的解法和对数函数的值域问题，解决问题的关键在于利用换元法，将原函数简化，换元后注意新元取值范围． 题型三：幂指对函数图象的运用 【例题6】 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. [思路分析] 先根据题意判断函数定义域为，且在单调递增，再根据奇偶性得函数为偶函数，进而可得答案． [解析] 由题知函数的定义域为，当时，为增函数，故排除ABD选项，由于，故函数为偶函数． 故选：C． 【例题7】 已知函数，实数，满足，且，若在上的最大值为，则________． [思路分析] 先画出函数图象并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案． [解析] 根据函数的图象，如图所示： 得 ，所以． 结合函数图象，易知当时在上取得最大值，所以，又，所以， 再结合，可得，所以．故答案为：． 方法归纳 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4) 从函数的特征点，排除不合要求的图象． 题型四：幂指对函数的应用 【例题8】 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超过部分为万元，则超出部分按进行奖励，没超出部分仍按销售利润的进行奖励．记奖金总额为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）． (1) 写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式； (2) 如果业务员老张获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ [思路分析] 读懂题意，建立数学模型，解决有关问题． [解析] (1) 由题意得： (2) 因为，，又， 所以，则，解得． 故老张的销售利润是万元． 方法归纳 1. 解决实际问题时，要读懂题意，建立恰当的数学模型． 2. 变量按取值不同，依不同的对应关系对应因变量，建立分段函数模型应注意： 1 分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 2 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 3 分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． ▍课堂反馈 1. 求函数的单调区间． [答案] 增区间为，减区间为 [解析] 由得．令，则． 因为函数在上单调递增，在上单调递减，而函数是减函数， 所以函数的增区间为，减区间为． 2. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. [答案] C [解析] 因为函数在上单调递增， 所以解得，实数的取值范围是． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. [答案] B [解析] 先判断函数奇偶性，可排除D，再取特殊值判断正负可排除AC． 的定义域为，且，则是偶函数，图象关于轴对称，故D错误； ∵，故A错误；∵，故C错误． 4. 某种型号的手机，经过几次降价，单价由原来的元降到元，已知每次降价都是在现价基础上打九折，则一共降了 次． [答案] [解析] 设一共降了次价，由题意知，解得． 故一共降了次价． 5. 求函数在上的最大值和最小值． [答案] 最大值为，最小值为 [解析] 设，因为，所以， 则． 所以当时，；当时，． ▍课堂总结 【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结． 学科网（北京）股份有限公司 $